Chương 1 hàm số

o Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu không sẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm  Dựa vào

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I – L Ý THUYẾT

1 C ác kiến thức cũ liên quan

1.1 B ảng đa ̣o hàm các hàm số cơ bản

11 cosx  sinx 12 cosu  usinu

13 sinx cosx 14 sinu u.cosu

1tan

1.2 Quy t ắc tı́nh đa ̣o hàm

Cho các hàm số uu x v ; v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định Ta có:

Cho hàm số y  f u x     f u  với u u x  Khi đó: y x y u u  x

1.3 Quy t ắc xét dấu :

Để lập bảng xét dấu của một biểu thức P x( ) ta th ực hiện theo các bước :

Bước 1 Tìm nghiệm của biểu thức P x( ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P x( ) không xác định

Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của P x( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu

2 Đi ̣nh nghı̃a:

Cho hàm số y  f x( )xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

• Hàm số y  f x( )đồng biến (tăng) trên K nếu x x1, 2 K x, 1 x2  f x 1 f x 2

• Hàm số y  f x( )nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1, 2 K x, 1 x2  f x 1 f x 2

3 Đi ̣nh lý:

3.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x   0, x K

• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x   0, x K

3.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu f x   0, x Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K

• Nếu f x   0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

• Nếu f x   0, x Kthì hàm số không đổi trên khoảng K

 Nếu f x   0, x K ( hoặc f x   0, x K) và f x 0chỉ tại một số điểm hữu

hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K )

D ẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Phương pháp giải

Phương pháp tự luận thuần túy

Xét tính đơn điệu của hàm số y= f x( ) trên t ập xác định

Bước 1: Tìm tập xác định D

Bước 2 : Tính đạo hàm y′= f x′( )

Bước 3 : Tìm nghiệm của f x′( ) hoặc những giá trị x làm cho f x′( ) không xác định

Bước 4 : Lập bảng biến thiên

 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;+ ∝ Ch) ọn B

Ví dụ 2 Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 4 2

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên: (−∞ −; 2) và ( )0; 2

Ví dụ 3 Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: 4 2

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghi ̣ch biến trên (−∞ − ; 2)

Ví dụ 4 Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 4

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên (− +∞ 1; )

Ví dụ 5 Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 3 2

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên D =  Chọn B

Ví dụ 7 Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 2

Bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 2 +∞

y′ − − 0 + +

y

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên(2;+∞ Ch) ọn B

Ví dụ 8 Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 3 1

1

x y

− −∞

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;1)và (1;+∞ )

Ví dụ 9 Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: 3 2

7

x y

x

−

=+

Ví dụ 10 Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: 2 2 1

5

12

x

x x

D ẠNG TOÁN 2: ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG K

a) Phương pháp giải

Phương pháp tự luâ ̣n thuần túy

 Lý thuy ết cần nhớ : Cho hàm số y f x m( , ) có tập xác định D, khoảng ( ; )a b D:

 Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b :

 Bước 1: Đưa bất phương trình ( ) 0 f x  (ho ặc ( ) 0 f x  ),  x ( ; )a b về dạng

( ) ( )

g x h m (hoặc ( )g x h m( )),  x ( ; )a b

 Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) g x trên ( ; ) a b

 Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của

Lưu ý:Điều kiện tương đương vẫn giữ nguyên nếu thay x   bởi  bớt đi một số hữu hạn điểm

 Phương trình f x ax2 bx  c 0 (a0) có hai nghi ệm x x th1, 2 ỏa:

 Nếu hàm số f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên tập D ,thế thì:

 Phân t ı́ch các sai lầm dễ mắc phải của ho ̣c sinh

• Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2 : “Nếu tam thức bậc hai ax2 bx c

có   thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với 0 a”

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2

tan

x y





 đồng biến trên khoảng 0;

1(0;1)

m m

m m

 Phân t ı́ch các sai lầm dễ mắc phải của ho ̣c sinh

• Bài toán chứa tham số m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta Nếu không tỉnh táo chúng

ta sẽ chọn luôn đáp án B

• Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số m t mà t  0;1vậy m  0;1

Ví dụ 3 Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y sinx cosx 2017 2mx đồng biến trên

 Gi ải theo tự luận

 Tính y' 3x3 6x2 m Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm x x và 1, 2 x1x2 2

 Theo Vi-et ta có 1 2

1 2

23

Ghi nhớ: “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng  thì phương trình đạo hàm

có hai nghi ệm và hiệu hai nghiệm bằng  ”

Với  là một số xác định thì m cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng  Đáp số phải là A hoặc C

• Với m  0 phương trình đạo hàm 3x2 6x  có hai nghiệm phân biệt 0 2

0

x x

  



 

 và khoảng cách giữa chúng bằng 2

 Đáp án A chính xác

Ví dụ 5 Tìm tất cả các giá trị thực m để f x   x3 3x2 m1x 2m3 đồng biến trên

một khoảng có độ dài lớn hơn 1

x y

D ẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀO GI ẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải :

D ạng 3.1: Tìm tập nghiệm của phương trình

Bước 1: Đưa phương trình về dạng ( )f u f v( ), (1)

Bước 2: Xét hàm số : y  f t( ) Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến

Bước 3 : Khi đó từ (1) suy ra : uv

(có được bằng cách chuyển 3 1 − + qua v x ế phải, sau đó cộng cả 2 vế cho 1)

 Xét hàm số f t 2t3 t2 1 liên tục trên khoảng0;

 Ta có: f t 6t2 2t  0, t 0;  Hàm sốf t đồng biến trên0;

N ếu yêu cầu không tính tập con rỗng thì: 2 1 n −

D ạng 3.2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng : ( )f u  f v( ) (1)

Bước 2: Xét hàm số y  f x( ) Dùng lập luân để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến

Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: u v nếu đồng biến ,u v nếu nghịch biến

Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về da ̣ng ( )f x A m( ).

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ( )f x trên D

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác đi ̣nh giá tri ̣ tham số ( )A m để đường thẳng yA m( )

nằm ngang cắt đồ thi ̣ hàm số y  f x( )

Bước 4: Kết luâ ̣n các giá tri ̣ của m để phương trı̀nh ( )f x A m( ) có nghiê ̣m (hoặc có k

nghiệm) trên D

 Lưu ý

o Nếu hàm số y f x( ) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thı̀ giá tri ̣ ( )A m cần

tı̀m là những m thỏa mãn: min ( ) ( ) max ( )

x D f x A m x D f x

o Nếu bài toán yêu cầu tı̀m tham số để phương trı̀nh có k nghiê ̣m phân biê ̣t, ta chı̉ cần

dựa vào bảng biến thiên để xác đi ̣nh sao cho đường thẳng y A m( ) nằm ngang cắt đồ

thi ̣ hàm số y  f x( ) ta ̣i k điểm phân biê ̣t

D ạng 3.4: Tìm m để bất phương trình có nghiệm với mọi x trên t ập D

Bước 1: Tách tham số m ra khỏi biến số x và đưa về da ̣ng ( )A m  f x( ) hoă ̣c ( )A m f x( )

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ( )f x trên D

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác đi ̣nh các giá tri ̣ của tham số m để bất phương trı̀nh có

o Khi đặt ẩn số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu không

sẽ làm thay đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm

 Dựa vào bảng biến thiên (*)m  Chọn A 0

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

 Dựa vào bảng biến thiên  tập giá trị của t làt   3;8

Bài 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I- Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa

Định nghĩa: Giả sử hàm số y= f x( ) xác định trên tập hợp D (D⊂R) và xo∈ D

• x o được gọi là một điểm cực đại của hàm số y= f x( ) nếu tồn tại một khoảng (a b ch; ) ứa điểm x sao cho o (a b; )⊂ và D

( ) ( ) ; \

f x < f x ∀ ∈x a b x Khi đó f x ( )o được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( )f x

• x o được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y= f x( ) nếu tồn tại một khoảng (a b ch; ) ứa điểm x sao cho o (a b; )⊂ và D

( ) ( ) ; \

f x > f x ∀ ∈x a b x Khi đó f x ( )o được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( )f x

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y= f x( ) đạt cực trị tại điểm xo Khi đó, nếu ( )f x có đạo hàm tại điểm x thì o f′( )xo = 0

Chú ý:

• Đạo hàm f′( )xo có thể bằng 0 tại điểm x o nhưng hàm số ( )f x không đạt cực trị tại điểm x o

• Hàm số có thể đạt cực trị tại một số điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm

• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm nằm trong tập xác định của hàm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không có đạo hàm Những điểm như thế gọi là những “điểm tới hạn”

• Hàm số đạt cực trị tại x và no ếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (xo; f x( )o ) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x o

Nói một cách khác, nếu f′( )xo đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x thì hàm so ố đạt cực tiểu tại

o

x

 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x o

Nói một cách khác, nếu f′( )xo đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x thì hàm so ố đạt cực đại tại x o

Định lý 3: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a b ch; ) ứa điểm x , o

( )o 0

f′ x = và ( )f x có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x o

• Nếu f′′( )xo < thì hàm số ( )0 f x đạt cực đại tại điểm x o

• Nếu f′′( )xo > thì hàm số ( )0 f x đạt cực tiểu tại điểm x o

D ẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp: Học sinh dùng định lí 2, định lí 3 để đọc bảng biến thiên và đọc đồ thị

Lo ại 1: Cho bảng biến thiên

V ı́ dụ 1: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

y y' x

0

• Do hàm số xác định tại x 1; ' 1y  0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x 1

nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1 Chọn D

M ở rộng: Trong bảng biến thiên của câu 1, ta thay đổi như sau:

Ví d ụ 1.1: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Hàm số có đúng một cực trị

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng  1

D Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1

Nh ận xét: Ta có thể mở rộng bài toán bằng cách thay đổi giả thiết để học sinh từ đó có thể tự mình

phát triển thành các câu hỏi khác từ bài tập của giáo viên

V ı́ dụ 2: Cho hàm số y f x  liên tục tại x0 và có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đã cho có:

A Hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu

B Một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu

C Một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu

D Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu

0

-1

Tìm m sao cho hàm số f x ( ) đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn hơn 1.−

A m> B 2 2

2

m m

Ta có nghiệm của f '( )x = cũng là hoành độ giao điểm của 0 g x( )=m

Khi đó từ bảng biến thiên ta có YCBT ⇔ > Chm 2 ọn A

Lo ại 2: Cho f ' x hoặc đồ thị của f ' x

Do x là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số 1

Do x0 là nghiệm đơn nên là điểm cực trị của hàm số

Do x  là nghiệm bội lẻ nên là điểm cực trị của hàm số Ch1 ọn B

V ı́ dụ 2: Hàm số f x   có đạo hàm f ' x trên khoảng K Cho đồ thị của hàm số f ' x trên khoảng

K như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' x  chỉ có một nghiệm đơn và hai nghiệm kép nên 0 f ' x

chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này Do đó suy ra hàm số f x   có đúng một cực trị Ch ọn A

M ở rộng: Ta còn có thể khai thác tiếp ví dụ 2 theo các hướng khác nhau để được các câu hỏi từ ví

V ı́ dụ 4: Hàm số f x   có đạo hàm f ' x trên khoảng K Cho đồ thị của hàm số f ' x trên khoảng

đó suy ra hàm số y f x 2x có hai điểm cực trị Chọn C

V ı́ dụ 5: Hàm số f x   có đạo hàm f ' x trên  Cho đồ thị của hàm số f ' x như sau:

Số điểm cực trị của hàm số   1 2

20182

Dựa vào đồ thị trên ta thấy phương trình ' 0y  có ba nghiệm x1; 2;1−

y f x  x  x có hai điểm cực trị Chọn B

Nhận xét: Học sinh có thể khó khăn trong quá trình xét dấu y’, giáo viên có thể gợi mở bằng câu

hỏi : Đường thẳng y= +x 1 chia mặt phẳng thành 2 miền, hãy xác định dấu mỗi miền ? Từ đó giúp

học sinh nhớ lại kiến thức cũ và căn cứ vào đó xác định được dấu y’

V ı́ dụ 6: Hàm số f x   có đạo hàm f ' x trên  Cho đồ thị của hàm số f ' x như sau:

Lo ại 3: Cho đồ thị của y f x 

V ı́ dụ 1: Hàm số yf x  có đồ thị như hình bên dưới Hỏi đồ thị hàm số có mấy điểm cực trị:

x y

O

L ời giải

Căn cứ vào sự đi lên đi xuống của đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị

Nh ận xét: từ các phép biến đổi đồ thị hàm số chúng ta có thể cho học sinh tìm ra số cực trị của hàm

x

V ı́ dụ 4: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm và liên tục trên , hàm số y= f x( )đồ thị như hình vẽ:

1 2 3 4 5 6

y=|2f(x)-3|

V ı́ dụ 5: Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm

y

x

-2 2 3

Đồ thị hàm số ( ) 2

1

y= f x  − có 13 điểm cực trị

Nhận xét: Như vậy học sinh có thể tự đặt ra các câu hỏi khác cho mình dựa trên các phép biến đổi

đồ thị hoặc có thể cho tham số vào để hỏi số cực trị

-1

0

y

x 2

-1

1 2 3 4 5 6 7 8

y=x − x −x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

 Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp án B

Sai lầm thường gặp của học sinh là

 Nhầm lẫn giữa giá trị cực trị với điểm cực trị nên chọn A

 Nhầm sang trường hợp hàm số là hàm bậc 4 trùng phương chỉ có 1 giá trị cực tiểu nên chọn

 Vâ ̣y điểm cực đa ̣i là ( )0; 4 Chọn D

 Có thể lập bảng biến thiên để kết luận

Ví d ụ 5: Cho hàm số 5 4 3 1

y= + −x − Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm s ố đạt cực đại tại x= −3; đạt cực tiểu tại x= 1

B Hàm s ố đạt cực tiểu tại x= −3; đạt cực đại tại x= 1

C Hàm s ố đạt cực tiểu tại x= − và 3 x=1; đạt cực đại tại x= 0

D Hàm s ố đạt cực đại tại x= − và 3 x=1; đạt cực tiểu tại x= 0

• Trường hợp 2: ab<0 Khi đó f x có hai nghi( ) ệm phân biệt khác 0

⇒ f′( )x có ba nghiệm và f′( )x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm này⇒ f ba cực trị

M ột số công thức áp dụng giải toán cực trị hàm số 4 2

D ẠNG 4 TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ

ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước

1

m m

• Áp dụng vi-et tìm giá trị của m

Các bài toán so sánh một số α với các nghiệm x x1; 2của tam thức bậc hai

1 2

1 2

1 232

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

⇔ PT y' = 3(m+2)x 2 + 6x+ m = 0 có 2 nghi ệm dương phân biệt

4< <m 5 D

5475

m

m m