Bài giảng Chương 1. HÀM SỐ

Chản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm.. Chương này ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm.. Chương này ủa ấn mạnh rằng một hàm có thể được ện trong tính toán và

Ch ương 1 ng 1 HÀM S Ố

Các đ i tư ng c b n mà chúng ta xem xét trong gi i tích là các hàm Chản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ư ng này

kh i ngu n b ng cách th o lu n các ý tản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ư ng c b n liên quan đ n các hàm, đ th c aản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ến các hàm, đồ thị của ị của ủa chúng, cách bi n đ i và k t h p chúng Chúng ta nh n m nh r ng m t hàm có th đến các hàm, đồ thị của ến các hàm, đồ thị của ấn mạnh rằng một hàm có thể được ạnh rằng một hàm có thể được ột hàm có thể được ể được ư c

bi u th trong nhi u cách khác nhau: b ng m t phể được ị của ột hàm có thể được ư ng trình, trong m t b ng, b ng m tột hàm có thể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ột hàm có thể được

đ th , hay b ng l i Chúng ta xem xét các ki u c b n c a các hàm xu t hi n trong tínhị của ể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ủa ấn mạnh rằng một hàm có thể được ện trong tính toán và mô t quá trình s d ng các hàm nh là các mô hình toán h c c a các hi n tản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ử dụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ư ọc của các hiện tượng ủa ện trong tính ư ng trong th gi i th c Chúng ta cũng th o lu n v vi c s d ng các máy tính đ h a và ph nến các hàm, đồ thị của ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ện trong tính ử dụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ọc của các hiện tượng ần

m m đ h a cho máy tính.ọc của các hiện tượng

1.1 B n cách đ bi u th hàm s ốn cách để biểu thị hàm số ể biểu thị hàm số ể biểu thị hàm số ị hàm số ốn cách để biểu thị hàm số

1.1.1 Các cách bi u th hàm s ểu thị hàm số ị hàm số ố

 Đ i sạnh rằng một hàm có thể được (B ng công th c tức tường minh) ư ng minh)

 S (Theo các giá tr trong m t b ng)ị của ột hàm có thể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này

 Tr c quan (D a vào đ th )ị của

 L i nói (Mô t b ng l i nói)ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này

A Di n tích A c a hình tròn ph thu c vào bán kính r c a nó M i liên h gi a A và rện trong tính ủa ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ột hàm có thể được ủa ện trong tính ữa A và r

đư c cho b i phư ng trình A = rπr 2 V i m i giá tr dỗi giá trị dương của r có một giá trị A tương ị của ư ng c a r có m t giá tr A tủa ột hàm có thể được ị của ư ng

ng, và ta nói A là hàm c a r

B Dân s th gi i P ph thu c th i gian t và đến các hàm, đồ thị của ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ột hàm có thể được ư c cho b i B ng 1 v i m t s năm nh tản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ột hàm có thể được ấn mạnh rằng một hàm có thể được

đ nh Ví d , P(1950) ≈ 2 560 000 000 (ngị của ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ư i) V i m i giá tr c a t có m t giá tr c a Pỗi giá trị dương của r có một giá trị A tương ị của ủa ột hàm có thể được ị của ủa

tư ng ng, và ta nói r ng P là hàm c a t.ức tường minh) ủa

C Dao đ ng d c a c a b m t Trái đ t đột hàm có thể được ọc của các hiện tượng ủa ặt Trái đất được đo bằng địa chấn kế trong các trận động ấn mạnh rằng một hàm có thể được ư c đo b ng đ a ch n k trong các tr n đ ngị của ấn mạnh rằng một hàm có thể được ến các hàm, đồ thị của ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ột hàm có thể được

đ t là m t hàm c a th i gian t Hình 1 cho th y m t đ th đấn mạnh rằng một hàm có thể được ột hàm có thể được ủa ấn mạnh rằng một hàm có thể được ột hàm có thể được ị của ư c t o ra b i ho t đ ngạnh rằng một hàm có thể được ạnh rằng một hàm có thể được ột hàm có thể được

đ a ch n trong tr n đ ng đ t Northridge làm rung chuy n Los Angeles vào năm 1994.ị của ấn mạnh rằng một hàm có thể được ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ột hàm có thể được ấn mạnh rằng một hàm có thể được ể được

Đ i v i m t giá tr nh t đ nh c a t đ th cung c p m t giá tr tột hàm có thể được ị của ấn mạnh rằng một hàm có thể được ị của ủa ị của ấn mạnh rằng một hàm có thể được ột hàm có thể được ị của ư ng ng c a a.ức tường minh) ủa

D Giá ti n C c a m t lá th ph thu c vào tr ng lủa ột hàm có thể được ư ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ột hàm có thể được ọc của các hiện tượng ư ng w c a nó M c dù không có côngủa ặt Trái đất được đo bằng địa chấn kế trong các trận động

th c đ n gi n liên h gi a w và C, nh ng b u đi n có m t quy t c đ xác đ nh C khi đãức tường minh) ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ện trong tính ữa A và r ư ư ện trong tính ột hàm có thể được ắc để xác định C khi đã ể được ị của

bi t w.ến các hàm, đồ thị của

1.1.2 Các hàm đ ược định nghĩa theo từng khoảng c đ nh nghĩa theo t ng kho ng ị hàm số ừng khoảng ảng

Có nh ng hàm đữa A và r ư c xác đ nh b i các công th c khác nhau trên nh ng kho ng khácị của ức tường minh) ữa A và r ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này nhau

Ví d 1 ụ 1 Cho hàm s đư c xác đ nh b i ị của

f ( x )={1−x x ≤−1 x2 x >−1

Đánh giá f(-2), f(-1) và f(0), và phác th o đ th c a hàm s đó.ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ị của ủa

L i gi i ời giải ải Ta ph i d a vào quy lu t sau đây: ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của

N u x ≤ -1 thì f(x) = 1 – x, ến các hàm, đồ thị của trái l i n u x > -1 thì f(x) = xạnh rằng một hàm có thể được ến các hàm, đồ thị của 2

Vì -2 ≤ -1 nên f(-2) = 1 – (-2) = 3

Vì -1 ≤ -1 nên f(-1) = 1 – (-1) = 2

Vì 0 > -1 nên f(0) = 02 = 0

Đ th nh Hình 2.ị của ư

Ví d 2 ụ 1 Vẽ đ th hàm tr tuy t đ i f(x) = |x|.ị của ị của ện trong tính

L i gi i ời giải ải Theo đ nh nghĩa c a tr tuy t đ i, ta cóị của ủa ị của ện trong tính

f ( x )={−x x <0

Vì v y, bên trái g c t a đ , đ th c a |x| trùng v i đận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ọc của các hiện tượng ột hàm có thể được ị của ủa thị của

c a hàm f(x) = -x, còn bên ph i g c t a đ thì đ th c a |x|ủa ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ọc của các hiện tượng ột hàm có thể được ị của ủa

trùng v i đ th c a hàm f(x) = x Đ th trên Hình 3.ị của ủa ị của

1.2 Các hàm c b n ơng 1 ải

(a) Các hàm tuyến tính (Linear functions)

Là các hàm có d ng f(x) = ax + b, v i a và b là các h ng s Đ th c a các hàm này làạnh rằng một hàm có thể được ị của ủa

nh ng đữa A và r ư ng th ng.ẳng

(b) Các hàm đa thức (Polynomial functions)

P ( x )=a n x n+a n−1 x n−1+…+ a1x +a0

Các h ng s ak đư c g i là các h s c a đa th c, aọc của các hiện tượng ện trong tính ủa ức tường minh) n ≠ 0, n đư c g i là b c c a đa th cọc của các hiện tượng ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ủa ức tường minh) P(x) Ngư i ta thư ng dùng ký hi u Pện trong tính n(x) đ bi u th đa th c b c n c a x.ể được ể được ị của ức tường minh) ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ủa

Mi n xác đ nh c a các hàm này là toàn b tr c th c (-∞, +∞) ị của ủa ột hàm có thể được ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng

(c) Các hàm lũy thừa (Power functions)

Là các hàm có d ng f(x) = xạnh rằng một hàm có thể được α, trong đó là m t s th c Sau đây ta xem xét m t sα ột hàm có thể được ột hàm có thể được

trư ng h p riêng c a ủa α

Mi n xác đ nh là (-∞, +∞) Mi n giá tr là [0, +∞) n u n ch n và (-∞, +∞) n u n l ị của ị của ến các hàm, đồ thị của ẵn và (-∞, +∞) nếu n lẻ ến các hàm, đồ thị của ẻ

 α = 1/n với n là số nguyên dươngn v i n là s nguyên dư ng

Mi n xác đ nh và mi n giá tr trùng nhau, t c là [0, +∞) khi n là s ch n và (-∞, +∞)ị của ị của ức tường minh) ẵn và (-∞, +∞) nếu n lẻ khi n là s l ẻ

Khi đó f(x) = x-1 = 1/n với n là số nguyên dươngx, đư c g i là hàm ngh ch đ o (ciprocal function), đ th c a nóọc của các hiện tượng ị của ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ị của ủa

có d ng c a m t hyperbol đ i x ng qua các tr c t a đ ạnh rằng một hàm có thể được ủa ột hàm có thể được ức tường minh) ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ọc của các hiện tượng ột hàm có thể được

Hàm này xu t hi n trong các lĩnh v c v t lýấn mạnh rằng một hàm có thể được ện trong tính ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của và hóa h c, khi liên h t i đ nh lu t Boyle:ọc của các hiện tượng ện trong tính ị của ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của

Trong môi trư ng nhi t đ không đ i, thện trong tính ột hàm có thể được ể được tích V c a m t ch t khí t l ngh ch v i ápủa ột hàm có thể được ấn mạnh rằng một hàm có thể được ỷ lệ nghịch với áp ện trong tính ị của

su t P: ấn mạnh rằng một hàm có thể được

V = C/n với n là số nguyên dươngP, v i C – const

(d) Các hàm phân thức (Rational functions)

Là các hàm có d ng ạnh rằng một hàm có thể được f ( x )= P m ( x )

Q n(x ), trong đó Pm và Qn tư ng ng làức tường minh) các đa th c b c m và n c a x Mi n xác đ nh c a f(x) là nh ng đi mức tường minh) ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ủa ị của ủa ữa A và r ể được

mà Qn(x) ≠ 0

(e) Các hàm đại số (Algebraic functions)

Là các hàm đư c xây d ng trên các đa th c cùng v i cá phép toán đ i s (c ng, tr ,ức tường minh) ạnh rằng một hàm có thể được ột hàm có thể được ừ, nhân, chia và khai căn) Hàm phân th c đức tường minh) ư ng nhiên là hàm đ i s ạnh rằng một hàm có thể được

M t ví d v hàm đ i s xu t hi n trong thuy t tột hàm có thể được ụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ạnh rằng một hàm có thể được ấn mạnh rằng một hàm có thể được ện trong tính ến các hàm, đồ thị của ư ng đ i: Kh i lư ng m c a ch tủa ấn mạnh rằng một hàm có thể được

đi m v i v n t c v là ể được ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của

m=f (v )= m0

√1−v2/c2

trong đó m0 là kh i lư ng ngh (rest mass) c a ch t đi m và c = 3.0×10ỉ (rest mass) của chất điểm và c = 3.0×10 ủa ấn mạnh rằng một hàm có thể được ể được 5 km/n với n là số nguyên dươngs là v n t cận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của

c a ánh sáng trong chân không ủa

(f) Các hàm lượng giác (Trigonometric functions)

sin x= ´ OQ

cos x= ´ OP

tan x= ´ AD

P

C

y

B

cotan x = ´ BC

sin ( π−x )=sin x

cos(−x )=cos x

sin(π2−x)=cos x

 cos(π2−x)=sin x

 sin ( x +2 π )=sin x , cos( x +2 π )=cos x

 tan( x +π )=tan x , cotan( x +π )=cotan x

(g) Các hàm mũ (Exponential Functions)

Là các hàm có d ng ạnh rằng một hàm có thể được f ( x )=a x S a (a > 0, a ≠ 1) đư c g i là c s ọc của các hiện tượng

a x+ y

=a x

/a y

a x b x

b x=(a b)x

N u a > 1 thì hàm đ ng bi n, n u 0 < a < 1 thì hàm ngh ch bi n.ến các hàm, đồ thị của ến các hàm, đồ thị của ến các hàm, đồ thị của ị của ến các hàm, đồ thị của

(h) Các hàm logarith (Logarithmic Functions)

Là các hàm có d ng ạnh rằng một hàm có thể được f ( x )=log a x

S a (a > 0, a ≠ 1) đư c g i là c s ọc của các hiện tượng

Đây chính là hàm ngư c c a hàm mũ y = aủa x

loga|xy|=loga|x|+loga|y|

loga|x / y|=loga|x|−loga|y|

loga x=(log a b)log b x

loga(a x

)=x, aloga x

=x ,(x>0)

loga¿x∨¿m=m log a¿x∨¿ ¿ ¿

loga n x=1

nloga x

1.3 Các hàm khác

1.3.1 S bi n đ i c a các hàm ự biến đổi của các hàm ến đổi của các hàm ổi của các hàm ủa các hàm

B ng cách bi n đ i đ th c a m t hàm cho trến các hàm, đồ thị của ị của ủa ột hàm có thể được ư c, ta nh n đận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ư c các đ th c a cácị của ủa hàm tư ng ng ức tường minh)

Phép d ch ngang và d c ị hàm số ọc V i c > 0, đ nh n để được ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ư c đ th c a:ị của ủa

 y=f ( x )+c: d ch đ th c a ị của ị của ủa y=f (x) lên phía trên m t kho ng là cột hàm có thể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này

 y=f ( x )−c: d ch đ th c a ị của ị của ủa y=f (x) xu ng phía dư i m t kho ng là cột hàm có thể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này

 y=f ( x+c ): d ch đ th c a ị của ị của ủa y=f (x) sang bên trái m t kho ng là cột hàm có thể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này

 y=f ( x−c ): d ch đ th c a ị của ị của ủa y=f (x) sang bên ph i m t kho ng là cản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ột hàm có thể được ản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này

Phép co dãn và đ i x ng ốn cách để biểu thị hàm số ứng V i c > 1, đ nh n để được ận các ý tưởng cơ bản liên quan đến các hàm, đồ thị của ư c đ th c aị của ủa

 y=cf (x ): dãn đ th c a ị của ủa y=f (x) theo chi u d c v i h s cọc của các hiện tượng ện trong tính

 y=(1/c )f ( x ): co đ th c a ị của ủa y=f (x) theo chi u d c v i h s cọc của các hiện tượng ện trong tính

 y=f (cx ): co đ th c a ị của ủa y=f (x) theo chi u ngang v i h s cện trong tính

 y=f ( x /c ): dãn đ th c a ị của ủa y=f (x) theo chi u ngang v i h s cện trong tính

 y=−f ( x ): l y đ i x ng đ th c a ấn mạnh rằng một hàm có thể được ức tường minh) ị của ủa y=f (x) qua tr c xụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng

 y=f (−x ): l y đ i x ng đ th c a ấn mạnh rằng một hàm có thể được ức tường minh) ị của ủa y=f (x) qua tr c yụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng

1.3.2 S k t h p c a các hàm ự biến đổi của các hàm ến đổi của các hàm ợc định nghĩa theo từng khoảng ủa các hàm

T ng, hi u, tích, th ổng, hiệu, tích, thương ệu, tích, thương ương 1 ng Gi s mi n xác đ nh c a các hàm f và g tản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ử dụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ị của ủa ư ng ng là Dức tường minh) f và Dg

( f +g ) (x )=f ( x )+ g (x ) (f −g) ( x)=f ( x )−g( x )

( fg )( x )=f (x ) g ( x)(f g)( x )= f (x )

g(x )

Mi n xác đ nh c a ị của ủa f +g , f −g và fg là Df∩Dg, c a ủa g f là {x ∈ Df∩Dg | g(x) ≠ 0}

Hàm h p ợp Gi s có hai hàm f và g, trong đó mi n giá tr c a g n m trong mi n xác đ nhản mà chúng ta xem xét trong giải tích là các hàm Chương này ử dụng các hàm như là các mô hình toán học của các hiện tượng ị của ủa ị của

c a f Khi đó ta đ nh nghĩa hàm h p c a f v i g, vi t là ủa ị của ủa ến các hàm, đồ thị của f ∘ g, nh sau:ư

( f ∘ g) (x)=f(g ( x ))

Nh ng không t n t i ư ạnh rằng một hàm có thể được g ∘ f vì mi n giá tr c a f không n m trong mi n xác đ nh c a g.ị của ủa ị của ủa

Ví d 1 ụ 1 Cho f ( x )=√xvà g ( x )=√2−x

Tìm các hàm cùng mi n xác đ nh: ị của (a ) f ∘ g (b) g ∘ f (c ) f ∘ f (d ) g ∘ g

L i gi i ời giải ải

D g=(−∞ , 2], R g=[0,+∞) , D f=[0,+∞), R f=¿

(a) ( f ∘ g) (x )=f( √2−x)=√ √2−x=4

√2−x

D f ∘ g={x ∈ D g∨g ( x ) ∈ D f}={x ∈ D g}=¿

(b) ( g ∘ f ) (x )=g(√x)=√2−√x

D g∘ f={x ∈ D f∨f (x ) ∈ D g}={x ∈ D f∨f ( x )∈[0,2]}=[0, 4]

(c) ( f ∘ f )( x)=f( √x)=√ √x=4

√x

D f ∘ f={x ∈ D f∨f ( x) ∈ D f}={x ∈ D f}=¿

(d) ( g ∘ g) ( x )=g(√2−x)=√2−√2−x

D g∘ g={x ∈ D g∨g ( x) ∈ D g}={x ∈ D g∨g ( x ) ∈[0, 2]}=[−2, 2]

1.4 M t s tính ch t đ c bi t c a hàm s ột số tính chất đặc biệt của hàm số ốn cách để biểu thị hàm số ất đặc biệt của hàm số ặc biệt của hàm số ệu, tích, thương ủa hàm số ốn cách để biểu thị hàm số

1.4.1 Hàm ch n, hàm l ẵn, hàm lẻ ẻ

Định nghĩa 1 Giả sử f: A → B Hàm f được gọi là hàm chẵn nếu f (−x )=f (x ), được gọi là hàm

lẻ nếu f (−x )=−f ( x), ∀x ∈ A.

Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục y, đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

Hàm cos x , x2

, x4 là hàm chẵn, hàm sin x ,x , x3 là hàm lẻ

1.4.2 Hàm tu n hoàn ần hoàn

Định nghĩa 2 Nếu ∃T > 0 sao cho f ( x +T )=f (x) với mọi x, thì f được gọi là hàm tuần hoàn.