bài toán LOGARIT phần2

Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.

GTLN, GTNN BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT

x

Câu 2: Cho mloga 3 ab

, với a1,b1 và Plog2a b16logb a Tìm m sao cho Pđạt giá trị nhỏ

nhất

12

b P

A P Max 2. B . P Max 1. C P Max 0. D P Max 3.

Câu 6: Cho 0  a 1 b , ab1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức log 1 log 4.log



P

B Pmin 1 C . Pmin 3 D Pmin 9

Câu 8: Xét các số thực , a b thỏa mãn 1 b và a b a Biểu thức �  loga 2 log � �b� �� �

b

a

b đạt giá trị

A Pmax   1 2 3. B Pmax   2 3. C Pmax  2 D . Pmax   1 2 3.

Câu 11: Xét các số thực , a b thỏa 1 �a b Biểu thức 2

Câu 13: Cho các số thực a b c, , 1 thỏa mãn log2a�1 log 2blog2clog 2bc Tìm gái trị nhỏ nhất của

biểu thức S 10 log22a10 log22blog22c.

Câu 14: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn 5log22a16log22b27 log22c1 Tính giá trị lớn nhất

của biểu thức Slog2alog2blog2blog2clog log2c 2a.

Câu 16: Cho các số thực a b c, , 1.Tính logb ca

khi biểu thức Sloga bc 2logb ca 9logc ab

đạt giá trị nhỏ nhất

A 2 2. B 8 2 2 1 

7

 C 3 2. D 8 2 27



Câu 17: Cho các số thực dương , ,a b c khác 1 thỏa mãn

2 3

S  m M .

A

23

S 

13

S  C S  3 D S 2

Câu 18: Cho ,a b là hai số thực thỏa mãn 0 b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



1 2 103



10 23



Câu 20: Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 0 , , 1a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

loga logb logc

Câu 21: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn log loga blog logb c3log logc a1 Biết giá trị nhỏ

nhất của biểu thức Plog2alog2blog2c là

Câu 23: Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thứcmin

9log alog alog a 1

Khi đó giá trị của A5m2M là

a

a a

b

a b

� �

� �

� � đạt giá trịnhỏ nhất

114

S 

43

S  D S 3.

Câu 27: Cho hai số thực a1, b1 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4

Câu 29: Cho , ,a b c Biết rằng biểu thức 1 Ploga bc logb ac 4logc ab đạt giá trị nhỏ nhất

bằng m khi logb c n Tính giá trị m n

A m n  12 B

252

m n 

C m n  14 D m n  10

Câu 30: Xét các số thực a b, thỏa mãn a b 1, biết

4 2 4

T 

3710

T 

172

T 

352

T 

Câu 31: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b� 1 Biết rằng biểu thức

1

loglogab a

a P

đạt giá trịlớn nhất khi có số thực k sao cho b a k Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

10



23 16 22



23 8 22



23 8 22



Câu 33: Cho hai số thực a b� 1 Biết rằng biểu thức

2

loglogab a

a T

P

238

P

198

P

4916

A m9. B . m12. C

232

m

252

log

A maxP3log 22 B . maxPlog 122 C maxP12 D maxP16

Câu 41: Cho các số thực x x1, , ,2 x thuộc khoảng n

1

;14

b a

1

1 4

3 1log 12 log4

A T 15. B T 12. C

373

T 

283



3 2 22



5 22



Câu 48: Cho , ,a b c là các số thực thuộc đoạn  1; 2

thỏa mãn log32a log32b log32c� 1 Khi biểu thức

Câu 2: [DS12.C2.3.D04.d] Cho mloga 3ab

, với a1,b1 và Plog2a b16logb a Tìm m sao

cho Pđạt giá trị nhỏ nhất

12



m

C m4. D m2.

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì a1,b1, ta có:

1

1 log3

2 2

t Theo BĐT Cosy

2 2

t t t

Câu 5: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực ,a b thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị lớn nhất P của biểu Max

b P

A P Max 2. B . P Max 1. C P Max 0. D P Max 3.

Hướng dẫn giải Chọn B

2 2

Do 0  a 1 b , ab1 nên suy ra loga b0.

Mặt khác ta có logb ab0 �logb a 1 0

1 log

0log

a b

b �loga b 1 0.

Ta có log 1 log 4.log

b

b b

Đặt t loga b Do a  1 b 0���loga blog 1 0a  ���t0.

log

 a b

Ta có P loga bc  logb ca  4logc ab  loga b loga c logb c loga a 4 log c a logc b

Điều kiện bài toán, ta có

   Ta có kết quả như trên.

Câu 14: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn 5log22a16log22b27 log22c1.

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức Slog2alog2blog2blog2clog log2c 2a.

Đặt xlog ,2a y log ,2b zlog2c, ta có 5x216y227z2  và 1 S xy yz zx  .

Hướng dẫn giải Chọn A

S 

13

S  C S  3 D S 2

Hướng dẫn giải

Đặt xloga b y, logb c xloga b y, logb c�P x y  và thay vào điều kiện ta được:

Xét điểm A a ;10 ,a B b ;logb

Do đồ thị của hai hàm số y10 ,x ylogxđối xứng nhau qua đường thẳngy x Do đó khoảng cách giữa hai điểm ,A B là AB P đạt giá trị nhỏ nhất khi ,A B đối xứng nhau qua

y x .

Vì vậy A, B cùng nằm trên đường thẳng y   x m

Khi đó tọa độ các điểm là A a ;10 ,a B 10 ;a a

1( ) 2 10 min ( ) log



1 2 103



10 23



Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt xloga b, ylogb c �P x y  và thay vào điều kiện ta có x2y2   xy x 2y 1

Câu 20: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 0 , , 1a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức Sloga blogb c logc a.

Ta có loga b , log b c , log c a 0 với 0 , , 1a b c

Sử dụng bất đẳng thức Coossi ta có:

loga blogb c�2 log loga b b c2 loga c.

Do đó S�2 loga c logc a �2 2 loga c logc a 2 2.

Câu 21: [DS12.C2.3.D04.d] Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn

log loga blog logb c3log logc a1 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A T 64. B T  16 C T 102. D . T 22.

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 2: mẹo trắc nghiệm, vai trò của x và z là như nhau nên cho xz ta có

M  khi

Với điều kiện đề bài, ta có

2

f t�  �t

Khảo sát hàm số, ta có min

1152

9log alog alog a 1

Khi đó giá trị của A5m2M là

Hướng dẫn giải Chọn D

Rút gọn biểu thức

1log log 3log 13

S  

C S  3 4. D S 2 1 3 4

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

3

a

a a

b

a b

S 

43

S  D S 3.

Hướng dẫn giải Chọn C

a a

Câu 28: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a b, �1;2 thỏa mãn a b Biết giá trị nhỏ nhất của biểu

4 4

b  b �b vì tương đương với b1 b24 �0

.Dấu bằng đạt tại b2.

Khi đó logab24b4 �loga b3 3loga b

.Đặt xloga b x 1 .

Câu 29: [DS12.C2.3.D04.d] Cho , ,a b c Biết rằng biểu thức 1 Ploga bc logb ac 4logc ab đạt

giá trị nhỏ nhất bằng m khi logb c n Tính giá trị m n

A m n  12 B

252

Câu 30: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a b, thỏa mãn a b 1, biết

4 2 4

T 

3710

T 

172

T 

352

T 

Hướng dẫn giải Chọn B

21

x y

x x

Ta có 1 log log   log log



23 16 22



23 8 22



23 8 22



Hướng dẫn giải Chọn B

a T

đạt giátrị lớn nhất là M khi có số thực m sao cho b a m Tính P M m  .

A

8116

P

238

P

198

P

4916

P

Hướng dẫn giải Chọn A

b

b

b b

2 1 log

a a

24

13

Câu 36: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực ,a b thỏa a b  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức1

b

a a

a

b b

a b

f x

x x

P� � �f � �� �

Dấu bằng xảy ra tại

3

1log

m

252

m

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 38: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực ,a b thay đổi thỏa mãn a b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của

Biến đổi và sử dụng AM-GM, ta có

2

Câu 39: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực dương x y, thay đổi thỏa mãn x24y2  Tìm giá trị lớn1

nhất của biểu thức Plog2x2 log 2y 2 x4y .

Theo giả thiết, ta có x2y x  2y 1 suy ray x2y x12y.

21

4 2

x y

Nếu y� Ta có:0.

2 2

44.2

P P

Vậy giá trị lớn nhất của P là log 12.2

Câu 41: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực x x1, , ,2 x thuộc khoảng n

1

;14

� �

� �

� � Tính giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

logx logx logx n

P� x  x   x 2 log x1x2logx2 x3  logx n x1

b a

1

1 4

1

4

Hướng dẫn giải Chọn B

ab P

Ta có log 2 4 2 1 log   1log   5 log 1log

T 

283

T 

Hướng dẫn giải Chọn D

.Đặt xlog a b x 1 với mọi 0  b a 1.

2 3

3

1log 12

log

a

a

b P

b a

M  m

Vậy

283

Ta biến đổi đưa về cơ số là a như sau: loga b2 2loga b và

b

b a

a a

b b





Đặt tlog 0a b   t 1 với mọi a b 1.

3 2 22



5 22



Hướng dẫn giải Chọn C

Khi đó  3    3 3  3 3

2x  x  1 �3 2x x � 2x 3 2x x�x 1Tương tự

2y 3 2y y�y 1và 2z 3 2z z �z 1

 P�x3y3z3 3 4

.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z; ;   0;0;1 và các hoán vị của nó

a b c; ;   1;1; 2 và các hoán vị của nó �a b c  4.