Phát triển một lược đồ chữ ký số mới có độ an toàn dựa trên bài toán Logarit rời rạc trên vành Zn

Bài viết đề xuất một lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán Logarit rời rạc theo modulo hợp số, một biến thể của lược đồ chữ ký số Elgamal.

Z N Lê Văn Tu n +, B Truy n+ u Tân+ * Khoa công nghệ thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự * Viện mô phỏng, Học viện Kỹ thuật Quân sự * + Học viện Kỹ thuật mật mã : ộ ợ ồ ữ ố ự

ố

ọ ớ ợ ồ ữ ố ớ ộ

ữ ự ố

ộ T

ộ ợ ồ ữ ố ự

ợ ố ộ ợ ồ ữ ố ợ ồ ợ ữ ợ ợ ồ ữ

ợ ự

Digital Signature Scheme, Discrete logarithmic problem, order problem, Hash Function I Ớ T U V ệ ợ ồ ữ ố ự ợ ồ ữ ớ

ọ ậ ớ

ộ ợ ồ ữ ố

ợ ồ ữ ố ợ

ọ ớ ợ ồ ữ ố S ợ ồ ữ

ố S ự

ợ ồ ộ ộ

ộ nhóm nhân ộ ố ố Mộ â â â

ữ ộ ậ

ợ ồ ữ ố ộ ự

â ậ ợ

ợ ồ ộ ố ữ

ộ ậ

ợ ồ ợ ồ ợ ồ ữ ố S S ồ ũ

ợ ồ ữ ợ

ợ ồ

T

ố ộ ậ ự ộ ầ ộ

ợ ồ â

ệ X -fei, Shen Xuan-jing và Chen Hai- ộ ợ ồ ử ổ Mộ ợ ợ ồ ộ ậ ầ ử sinh và ộ ậ ộ ợ ồ

ỡ Đ ộ ậ ầ ử

â ự ợ ồ ữ ố ộ

ự

ữ ậ cùng ớ é ộ é â ộ ữ ợ

ố ố = là các ố ố â ệ T ợ =

nhân ẽ ậ ớ -1)(q-1) và ệ ợ

â ậ

nhóm nhân ợ ữ ậ

ữ ộ ộ

ậ ố ớ ệ

ậ

- S

ậ ậ R

ậ -Hellman [18]

ữ

ọ ợ ồ ữ ộ

ự ộ

ữ ợ ồ Girault ; w T [20 ; S T

; O T

; w T

ồ ữ ợ ệ ố ự

ệ ữ ớ ự ệ ợ ự

ọ ộ

ẫ T ợ ồ w

T ố ợ ố ố

é ẽ ớ ố ợ

ố ố Đ T Q ố

ồ ẽ

ệ T ợ ồ ữ

S T ố

ợ ữ ộ ậ ợ ồ ữ

ố S “

chosen- ” T ợ ồ ũ

ố

ớ ợ ồ ữ ố S

ớ ớ ớ

ợ ồ ữ ố

ớ ự ợ ồ ợ

ữ ự ố ộ

ợ ồ Elgamal

Mộ ố ọ

ộ ợ ồ ữ

ố ợ ồ ữ ố

ợ ợ ợ ồ

é ộ ợ ồ

chúng tôi ộ ợ ồ

ữ ố l ự ớ ợ ồ S

(Hình 2, hình 3) ớ ợ ồ

Elgamal

é ộ ộ ớ ợ

ồ ũ ự ợ ồ S

ớ ợ ồ Elgamal

ư, l ợ ồ ữ ố

ớ ợ ồ S ợ

â ầ

B ợ ổ ầ ớ

ệ ầ ộ ố ệ

l ầ ợ ồ

ố ộ ố ử

ệ ậ ệ

II MỘT SỐ VẤ ĐỀ LIÊN QUAN

MỘT SỐ ĐỊ Ĩ Á M

ịn ng ĩa 1 Hàm Num() ổ ộ â â

ố T ệ Num: ℕ{0,

1}H ℤ Ứ T 0b1 bH1 ố = 0 + b12

+ + bmin(T,H) 12min(T,H)  1

ịn ng ĩa 2 Hàm Str() ổ ố

â â â T+

ệ Str: ℤ 0 {0, 1}T+1 Ứ ố â

= b0 + b12 + + bT12T1+ 2T thành xâu b0b1 bT11

ịn ng ĩa 3 Hàm Random: Hàm random là hàm

ẫ ộ ố

ệ Random(a, b)

Đ ĩ ậ ố - ố

ố ỏ ỏ :

gm = 1 mod n (1)

ƯỢ ĐỒ Ữ Ý SỐ M

am số:

ộ ố ố ớ ộ ệ

Length(p), là L

ầ ử nhân p-1 trên ℤp ớ

0 < g < p

ợ ữ ậ ; ợ ọ

ộ ẫ ẫ  1]

y là khóa công khai ớ = x mod p

ố ậ ỗ ò

ợ ọ ; ợ ọ ộ ẫ

ẫ p  1]

ộ ợ ọ ò ợ

ọ

Sinh ữ ký:

T ậ Input: (p, g, x), m Output: (r, s)

1 while (k, p-1) 1 k  Random(1, p-1)

2 r  gk mod p

3 s  (m- x.r) mod p-1

4 if (r = 0) or (s = 0), then goto 1

5 return (r, s)

Xá n ận ữ ký:

T ậ Input: (p, g, y), (r, s), m

Output: "accept" or "reject"

1 if (r = 0) or (s = 0), then return "reject"

3  mod p

4  mod p

5 v  mod p

6 if (v = ), then return "accept" else return "reject"

Phân tích tính an toàn:

T ớ ệ ẫ

ố ệ

ộ ộ ầ

ự ệ ệ M

s = (k1(m - r.x)) mod p-1

ễ ợ

x = ((m-s.k).r1) mod p-1 (2)

ợ dùng trùng

s= (k1(m - r.x)) mod p-1 k= s-1

(m-r.x) mod p-1(3) s'= (k1(m' - r.x)) mod q = ’-1(m’-r.x) mod p-1(4)

T (3) và (4) ng th c sau:

s-1(m-r.x) = ’-1 ’-r.x) mod p-1 T

dễ ợc khoá bí mậ x= ( m)( mod p-1 (5)

ân tí độ p tạp tính toán:

T ậ 3 ồ é ũ

é â p ử ệ ML ộ

ộ é â ℤp có

Length(p)= L Mộ é ũ p, gk

mod p ớ Length(p)= L ộ é

toán gk LML. Vậ ộ ậ

ợ ớ ợ

CG (2L+2)ML (6)

Độ ậ 4 ậ

â ệ ớ ớ é ỹ u1

.yu2) mod p) mod q Do Length(u1) N và Length(u2) N,

ổ ậ ợ ớ ợ

là:

Cv (3L+1)ML (7)

ữ Đố ớ ợ ồ S ỗ

ữ ồ ầ ầ ố

ớ Length = ầ ớ

Length(q)=224 ầ

Length = T ợ ổ ợ ồ

ữ S ẽ ầ ữ ỗ

ữ ớ = Length(q)

ƯỢ ĐỒ Ữ Ý SỐ S

á t am số ủa

ộ ố ố ớ ộ ệ

Length(p), là L

ớ ố  ớ Length(q) = N

ầ ử ℤ ớ <

g < p

ợ ữ ậ ; ợ ọ

ộ ẫ ẫ

 1]

ớ = x mod p

Số ố ậ ỗ

ò ợ ọ ; ợ ọ ộ

ẫ ẫ  1]

ộ ợ ọ

ộ ợ ọ

ký

uật toán s n ữ ký

T ậ

Input: (p, q, g, x), k, M

Output: (r,s)

1 z  Num(N, Hash(M))

2 k  Random(1, q)

3 r  (gk mod p) mod q

4 w  (z + x.r) mod q

5 if (r = 0) or (w = 0), then goto 2

6 s  (k1.(z + x.r)) mod q

7 return (r, s)

Xá n ận ữ ký

T ậ 4:

Input: (p, q, g, y), (r,s), M

Output: "accept" or "reject"

1 w  s1 mod q

2 z Num(N, Hash(M))

3 u1 (z.w) mod q

4 u2 (r.w) mod q

5 v  ((gu1.yu2) mod p) mod q

6 if (v = r) then return "accept" Else return "reject"

ộ p tạp tín toán

ử ệ ML ộ

ộ é â ố

có Length = có Length = ệ MN Độ

ậ ậ é k

mod p) mod q

K ộ é k O(logk ML) N Do ậ ớ

ợ

CG NML + (N+3)MN) (8)

Độ ậ 4 ậ

â ệ ớ ớ é ỹ u1.yu2) mod p) mod q Do Length(u1) N và Length(u2) N,

ổ ậ 4 ợ ớ ợ

Cv 2NML + (2+N)MN (9)

ín an toàn ủa lượ đồ ữ ký số

T ộ ợ ồ ữ ệ " " ợ ữ ợ ệ

ữ ố ò ọ " ữ "

ỏ ọ ệ ữ

ẫ ệ ộ ố

g trên ℤ ợ nên trong FIPS_186- ầ

ớ ữ

ầ = = ò = (3072, 256) an to T

ớ ệ ẫ

ố S

ìn uống t n t: ộ

ộ ầ ự ệ ệ M

s = (k1(z + r.x)) mod q

ễ ợ ậ sau:

x = ((s.k  z).r1) mod q

ìn uống t a : u hai thông báo khác

ợ ớ ộ

ử ợ

M M' ữ ớ M M’ ầ ợ ' ẻ ẽ ợ

ậ Đầ z z’

ợ z = Num(N, Hash(M)) và z' = Num(N, Hash M' ’ ợ

sau:

s= (k1(z + r.x)) mod q k= s-1(z+r.x) mod q(10) s'= (k1(z' + r.x)) mod q = ’-1 z’+ 11)

T 10) và (11 s-1 z+ = ’

-1 z’+ s-1z- ’-1z’= ’-1 s-1).r.x mod q

T ễ ợ ậ sau: x= r-1(s-1.z- ’1z’ ’-1 s-1)-1 mod q

ELGAMAL TRÊN

VÀNH ℤn

ƯỢ ĐỒ CHỮ KÝ SỐ ĐƯỢ ĐỀ XUẤT

ự â ra những

ố ợ ồ chữ ký số Elgamal

DSA ng, chúng tôi ộ ợ ồ ữ

ố ớ trên vành kh c ph ợc một số ợ m ra trong hai ợ ồ Elgamal S ộ ph c t ớ S

ự ợ ồ chữ ký số mới ợ â ự ự ộ ố â

- T ợ ồ ộ ự

â m ợ ố T ợ ồ S

ự

â q ố ố - T ầ ữ ợ ồ

ợ ự ợ ồ S - Đ ệ ọ ợ ồ

ầ ữ ợ ớ ầ z ầ ữ

z  Num(N, H(T||Str(r))) (12) - T ầ ữ ợ ồ

ợ

s  (z- x) mod m (13)

ợ ầ ợ ồ ữ

Elgamal

s  (m- x.r) mod p-1 (14) Trong 13) ầ ợ ồ ợ ỡ ỏ

ố z 12) Sự

ộ ợ ồ

ữ ộ é â

ậ ữ ộ é ũ

- ậ ợ ồ

Length(m),g,y) Đ ệ ợ ồ ớ

ợ ồ S ỡ ậ ầ ử sinh g(Length ữ ậ

Đâ ọ ợ ồ ố ợ ố ộ

T ậ ớ â ợ ồ ợ â ự

am số và k óa: = ớ ố ố ỏ

ệ â ố

ợ ữ ậ ; m = p1.q1 ớ 1, q1 ố ỏ ệ sau: p1 | (p  1), q1 | (q 1), p1 ∤ (q 1), q1 ∤ (p 1) ộ Length(m), N= Length(m) ầ ử

ỏ ệ ố là khó ợ ữ ậ ; ợ ọ ẫ 1]

ớ = x mod n ố ậ ỗ ò ợ ọ ; ợ ọ ẫ 1]

N ậ

ố g,

n ữ ký: T ậ 5:

Input: (n, m, g, x), T { } Output: (r,s) 1 while (k, m) 1 k  Random(1, m-1) 2 r  gk mod n 3 z  Num(N, H(T||Str(r))) 4 s  (z- x) mod m 5 if (r = 0) or (s = 0), then goto 1 6 return (r, s) Xá n ận ữ ký: T ậ 6:

Input: M, (r, s), (n, N, g, y) Output: "accept" "reject" 1 z  Num(N, H(M||Str(r))) 2 u  (rs.y) mod n 3 v  (gz) mod n 4 if (u = v) return "accept" else return "reject" ín đúng đắn: ễ

(rs.y) mod n =

= v

ìn ưu đồ m t quá trìn s n k óa

ký và á n ậ ữ ký

B PHÂN TÍCH ƯỢ ĐỒ

ân tí an toàn:

ớ â é ộ ố ố â

ợ ồ Elgamal ớ ợ ồ

Tr ợ ộ

ậ ẽ ợ

â

s  k-1.(z - x) mod m x (z - k.s

ợ ữ ậ ẻ

ợ ậ

Tr ợ hai:

ử T T’ ộ

ậ ẽ ợ

zNum(mbit,H(T||r))

Num (mbit,H( ||r))

s  k-1.(z - x) mod m k= s-1.(z-x) mod m

 k-1.( - x) mod m k= .( -x) mod m

x= mod m

ợ ữ ậ ẻ

ợ ậ

Tr ợ ba: ẻ ợ

ậ ộ ữ T

ầ ữ

r= gk mod n

zNum(mbit,H(T||r))

s  k-1.(z - x) mod m

ợ ữ ậ ẻ

ợ ầ ữ

Chi phí tính toán

ử ệ CG ổ

ữ CV ổ ậ

ữ ử ệ ML ộ

é â ố ℤn và MN là

ộ ộ é â

ℤm có Length(m)= N ễ ộ ò

ậ 3 Độ ỗ

ò é ũ a gk mod n trên vành ℤn

ộ é ầ ử k1

mod m

Theo [27 ộ é k

O(L.ML ớ = Length Đ ớ ợ ộ

é k1 mod m

ộ é k1

mod m

O N.MN) ớ = Length(m) Vậ ộ

ỗ ớ ẽ

ệ ò k, m)

= k k có

Prob(gcd(k, m) = 1)=

m

φ(m)

=

m

q

p1 1)( 1 1)

(  

(16)

Vớ ớ (gcd(k, m) = 1)

Vậ ổ ậ ữ ệ

CG

CG LML + (N+1)MN (17)

Độ ậ ậ é toán rs.y mod n gz mod n ử ML ệ

ộ ộ é â ℤn

có Length(n) = L, thì ổ

ậ ệ V sau:

â ộ ố ớ ợ

ồ ỗ ữ ồ ầ

ầ ố ớ Length = ữ

ỗ ữ Vậ â ợ ồ ữ

ố Elgamal ợ ồ ợ ố

ng t qu p ân tí

C T M

T ầ ử ệ é ộ ầ

ợ ố

ợ ồ ợ ồ DSA, RSA, Elgamal ợ ồ

V ợ ử ử ệ

ợ M Số ầ ử ệ

ỗ ộ ố ầ S

ợ ử ậ ậ ữ

ợ ồ ử ệ

ữ ậ ++ ợ QT

ệ W w ộ

ử z ộ ớ T ố ử

ệ ợ ồ ữ ố ớ

ầ ớ ố ự ợ

ậ ử ệ

ợ

ng t qu t ng m

ữ ợ

ọ ớ â ố ệ ữ

ỡ

ìn 2 ố quan g ữa t g an s n ữ ký và

ủa k óa

ậ ữ ợ

ọ ớ â ố ệ ữ

ậ ữ ỡ

ìn 3 ố quan g ữa t g an á n ận ữ

ký và ủa k óa

IV

Zn ớ

máy tính ự ợ

ồ ữ ố ợ

ầ ự

ĩ ự ậ

ớ ĩ ự ố ò

â ự ộ ợ ồ

ữ ‎‎ ố ớ ộ ự

ớ

ợ ố minh ệ

ợ ồ ớ ợ ồ S ầ

ử ệ ử

ệ trên ữ ++ ử ệ

ữ â ọ ớ

ử ệ ồ T ũ

ầ ử ự ợ

ồ ầ ợ ỹ ộ

ũ ệ ự ệ â

ẽ ớ ệ

[1] T ElGamal “A public key cryptosystem and signature scheme based on discrete logarithms,” IEEE Transaction on Information Theory 1985, IT-31(4): pp 469 - 472

[2] W C Kuo, "On ElGamal Signature Scheme,"

Future Generation Communication and Networking (FGCN 2007), Jeju, 2007, pp 151-153

[3] C P Schnorr, ”Efficient signaturegeneration for smartcards,” Journal of Cryptology Vol 4, pp

161-174, 1991

[4] T S Ng, S Y Tan and J J Chin, "A variant of Schnorr signature scheme with tight security

reduction," 2017 International Conference on

Convergence (ICTC), Jeju Island, Korea (South),

2017, pp 411-415

[5] H Morita, J.C Schuldt, T Matsuda, G Hanaoka, T Iwata “On the security of the schnorr signature scheme and DSA against related key attacks.” International Conference on Information Security and Cryptology — CRYPTOLOGY ’15, pp 20–35, Springer, 2015

[6] National Institute of Standards and Technology (NIST), FIPS Publication 186: Digital Signature Standards (DSS)(1994)

[7] Sung-Ming Yen and Chi-Sung Laih, "Improved

digital signature algorithm," in IEEE Transactions

on Computers, vol 44, no 5, pp 729-730, May

1995

[8] Z M Chen “An inproved encryption algorithm on ELGamal algorithm,” Computer Applications and Sostware, vol 22 2005, pp.82- 85

[9] J.-m.Liu,X.-g.Cheng,andX.-m.Wang,”Methods to forge elgamal signatures and determine secret key,”in Advanced Information Networking and Applications, 2006 AINA 2006.20th

International Conferenceon, vol.1.IEEE, 2006, pp 859–862 [10] L Xiao-fei, S Xuan-jing and C Hai-peng, "An Improved ElGamal Digital Signature Algorithm

Based on Adding a Random Number" 2010 Second

International Conference on Networks Security, Wireless Communications and Trusted Computing,

Wuhan, Hubei, 2010, pp 236-240

0

10

20

30

40

50

60

DSA RSA

Proposed Scheme Elgamal scheme

0

10

20

30

40

50

60

70

80

DSA RSA

Proposed Scheme Elgamal

[11] Z Meng, S Wang and S Nu, "A DSA

Multi-Signature Protocol and Applying in Bank and

Voting," 2010 2nd International Conference on

E-business and Information System Security, Wuhan,

2010, pp.1-5

[12] X.Li,X.Shen,andH.Chen,”Elgamal digital signature

algorithm of adding a random number,” Journal of

Networks,vol.6, no.5, pp.774–782, 2011

[13] C Y Lu, W C Yang and C S Laih, "Efficient

Modular Exponentiation Resistant to Simple Power

Analysis in DSA-Like Systems," 2010 International

Conference on Broadband, Wireless Computing,

communication and Applications, Fukuoka, 2010,

pp 401-406

[14] Z Ping, K Yingzhan and J Keke,

"Instruction-Cache Attack on DSA Adopting Square-Multiply

Method," 2012 Second International Conference on

Instrumentation, Measurement, Computer,

Communication and Control, Harbin, 2012, pp

905-908 6-11

[15] B Yang, "A DSA-Based and Efficient Scheme for

Preventing IP Prefix Hijacking," 2014 International

Conference on Management of Commerce and

e-Government, Shanghai, 2014, pp 87-92

[16] Z Ping, W Tao and C Hao, "Research on L3

Cache Timing Attack against DSA Adopting

Square-and-Multiply Algorithm," 2015 Fifth

International Conference on Instrumentation and

Measurement, Computer, Communication and

Control (IMCCC), Qinhuangdao, 2015, pp

1390-1393

[17] J M Pollard, Monte carlo methods for index

computation (mod p), Mathematics of Computation

32 (1978), no 143, 918-924

[18] Stephen C Pohlig and Martin E Hellman, “An

improved algoritm for computing logarithms over

GF(p) and its cryptographic significance”, IEEE

Transaction Theory IT-24 (1979), no 1, 106-110

[19] M Girault, ”An identity-based identification

scheme based on discrete logarithms modulo a

composite number” In Advances in Cryptology -

Eumcrypt’SO, Lecture Notes in Computer Science

473, Springer-Verlag, pp.481-486, 1991

[20] Chik How Tan, Xun Yi and Chee Kheong Siew,

"Signature scheme based on composite discrete

logarithm," Fourth International Conference on

Information, Communications and Signal

Processing, 2003 and the Fourth Pacific Rim

Conference on Multimedia Proceedings of the

2003 Joint, 2003, pp 1702-1706 [21] S K Tripathi and B Gupta, "An efficient digital signature scheme by using integer factorization and

discrete logarithm problem," 2017 International

Udupi, 2017, pp 1261-1266

[22] E Okamoto and K Tanaka, "Key distribution system based on identification information," in

Communications, vol 7, no 4, pp 481-485, May

1989

[23] Boyd, C.Digital signature and public key cryptosystem in a prime order subgroup of First International Conference on Information and Communications Security, ICICS' 97 (LNCS1334), pages 346-355.Springer,1997

[25] E Okamoto and K Tanaka, "Key distribution system based on identification information," in

Communications, vol 7, no 4, pp 481-485, May

1989

[26] Tuan Le Van, Truyen Bui The “Developping pollard algorithm to compute order of elements in

ℤ ” The research journal of military science and technology, No.42, 04- 2016, ISSN 1859 – 1043 [27] D.R Stinson, “Cryptography Theory and Practice”, CRC Press, pp 176, 2003

[28] Tuan Le Van, Truyen Bui The “Building a method for deterministic prime generation”, The research journal of military science and technology, No.42, 04- 2016, ISSN 1859 – 1043

[29] Richard Crandall, Carl Pomerance “Prime Numbers, A Computational Perspective”, Second Edition, Springer Science + Business Media, Inc,

2005

[30] L Harn, M Mehta and Wen-Jung Hsin,

"Integrating Diffie-Hellman key exchange into the

digital signature algorithm (DSA)," in IEEE

Communications Letters, vol 8, no 3, pp 198-200,

March 2004

DEVELOPING A NEW SIGNATURE

SCHEME ITS SECURITY BASED ON THE

DISCRETE LOGARITHMIC PROBLEM ON

RING Z N

Abstract: In 1985, ElGamal proposed a

digital signature scheme that based on prime

discrete logarithm Until now, there have been

many research results that pointed out the two

these scheme be insecure from some basic types of

attacks, such as: forgy attacks base on session key

revealing or session key coinciding In this paper,

we proposed a digital signature scheme in which

the security is based on composite discrete

problem The proposed scheme overcame the

disadvantages of two signature schemes above and

it can be applied into practice

Keywords: Digital Signature Scheme, Discrete

logarithmic problem, order problem, Hash

Function

S Tố ệ

Đ ọ T ;

ậ ỹ TT

Đ ọ ộ ;

Tố ệ T ỹ TT

ọ ệ ỹ ậ Q â

ự ệ

ọ ệ ỹ ậ Q â ự

ĩ ự ậ

thông tin

Tel 0989394556

Email: levantuan71@yahoo.com

Đ Tâ S ố ệ

Đ ọ Tổ ợ ộ ; ậ

ỹ ọ â ệ

â ệ ọ Mậ ộ

ọ ệ TMM

ĩ ự ọ -

ậ Tel: 0978254363

Tố ệ ọ ệ ỹ

ậ Q â ự V TQS

ậ T

ỹ

ệ V ệ – V ệ

ệ ỏ –

V TQS ớ

M ỏ - ự ệ

Mậ

Tel 0985245868

Email: Buithetruyen@gmai.co