CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

Dạng 2.2.4: Mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng P và thỏa mãn một điều kiện cho trướcDạng 2.3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P Dạng 2.4: Viết phương trình m

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

Dạng 2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I

Dạng 2.1.1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và bán kính R

Dạng bài 2.1.2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Dạng bài 2.1.3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng

Dạng bài 2.1.4: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt mặtphẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo một đường tròn có bán kính r

Dạng bài 2.1.5: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l cho trước

Dạng 2.2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng d

Dạng 2.2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B

Dạng 2.2.2: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng h

Dạng 2.2.3: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng Δ theo một dây cung

có độ dài l và tâm I cách đường thẳng Δ một khoảng là h

Dạng 2.2.4: Mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Dạng 2.3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P

Dạng 2.4: Viết phương trình mặt cầu tiếp ngoại tiếp tứ diện

Dạng 2.5: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 1)

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 2)

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 3)

Chủ đề: Phương trình mặt cầu

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để một

phương trình là phương trình một mặt cầu.

1 Phương pháp giải

● Xét phương trình (S): (x- a)2 + ( y- b)2 + ( z- c)2 = R2

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b;c), bán kính R

● Xét phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Điểu kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 –

d > 0

Khi đó mặt cầu có

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Mặt cầu (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kínhbằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x +12y +2 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2/3 = 0

Đây là phương trình đường tròn có tâm I( 1; -2; 0), bán

Chọn D

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có

phương trình: x2 + y2 +z2 + 2x - 4y + 6z – 2= 0 Tính tọa độ tâm I vàbán kính R của (S)

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có

phương trình: x2 + y2 + z2 – (2m - 2) x + 3my + ( 6m – 2)z – 7= 0 Gọi

R là bán kính của (S) , giá trị nhỏ nhất của R bằng:

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Ví dụ 2: Nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4;

2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:

Do N( 4; 0; 2) ∈ (S) nên 42 + 02 + 22 - 2.4a- 2.0b - 2.2c + d = 0 hay – 8a– 4c + d= - 20 (2)

Do P(4; 2; 0) ∈ (S) nên 42 + 22 + 02 – 2.4a - 2.2b - 2.0.c + d = 0 hay –8a – 4b + d = -20 (3)

Do Q(4; 2; 2) ∈ (S) nên 42 + 22 + 22 - 2.4 a -2.2b – 2.2c + d = 0 hay –8a – 4b – 4c + d = -24 (4)

Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

Suy ra, mặt cầu (S) thỏa mãn có tâm I(1; 2; 1)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d( I; (P)) = R = 1

Suy ra, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 1

Chọn C

Ví dụ 4: Cho các điểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường

thẳng Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộcđường thẳng d Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A 3√3 B √6 C.3 D.2√3

Hướng dẫn giải:

A (x+ 3)2 + (y+1)2 + (z - 3)2 = 4/9 B (x- 3)2 +(y - 1)2 + (z+ 3)2 =4/9

C (x+3)2 +(y+ 1)2 +(z+3)2 = 4/9 D (x-3)2 +( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9

Hướng dẫn giải:

Do tâm I ∈ d nên I(t; -1; - t)

Mà mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:

R= d(I; (P)) = d(I; (Q))

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB Suy ra

độ dài AH (với H là trung điểm AB)

• Bước 3: Tính IA theo định lý Pitago cho tam giác vuông AIH Suy rabán kính R= IA

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo đườngtròn giao tuyến (C)

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

• Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròngiao tuyến Suy ra bán kính mặt cầu

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường

thẳng tại hai điểm A, B với AB = 16

A.( x- 2)2 + ( y- 3)2 +(z + 1)2 = 76 B (x-2)2 + (y - 3)2 + (z+ 1)2 = 46

C (x- 2)2 +( y - 3)2 + (z+ 1)2 = 56 D ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+1)2 = 66

Hướng dẫn giải:

Chọn M(-1; 1; 0) ∈ Δ => IM→(-3; -2; 1) Đường thẳng Δ có một

VTCP là u→(1; -4; 1).

Ta có: [IM→; u→] = (2; 4; 14)

Từ đó, khoảng cách từ I đến Δ là :

Gọi H là trung điểm của AB ta có: AH= HB= AB/2 = 8

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) Khi

Phương trình tham số của đường thẳng ∆:

Do tâm I là giao điểm của đường thẳng ∆ và (P) nên tọa độ I là nghiệmcủa hệ phương trình:

Vậy phương trình mặt cầu ( S) cần tìm là: (x- 1)2 + y2+ (z-1)2 = 110/3Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1/2;√3/2;0) và mặt cầu

(S): x2 + y2 + z2 = 8 Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặtcầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt Tính diện tích lớn nhất S của tamgiác OAB

A S = √7 B S= 4 C S = 2√7 D S = 2√2

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 2√2

Vì OM= 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu (S)

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu Gọi H là chânđường cao hạ từ O của tam giác OAB

Đặt x= OH, ta có , đồng thời

Vậy diện tích tam giác OAB là :

Khảo sát hàm số f(x) = x√(8-x2) trên (0 ; 1] , ta được max f(x) = f(1) =

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1;

0); B(1; 1; -1) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – 3 = 0 Mặtphẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 3;4) và bán kính R= 4.

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α)

là:

Suy ra mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo một đường tròn

Ta có điểm M ∈ (α) < ; IM = √14 < R nên điểm M nằm trong mặt cầu(S)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) => H(1; 1;2)

Để đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S) theo mộtđoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất thì Δ ⊥MH

Từ đó suy ra Δ có véctơ chỉ phương là: u→ = [n α →; MH→] = (1; -2; 1)

Vậy phương trình

Chọn B

Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng, mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện T

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0,

H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) Phương trình mặtcầu (S) có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm Anằm trong mặt cầu là:

A (x- 8)2 + ( y- 8)2 + (z+ 1)2 = 196 B (x + 82 +(y+ 8)2 + (z - 1)2 =196

C (x + 16)2 + ( y+4)2 + (z- 7)2 = 196 D.(x- 16)2+ ( y- 4)2 +(z+ 7)2 =196

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 ⇔ R = 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH⊥ (P) => I ∈ d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Do đó: I(8; 8; -1)

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x- 8)2 +( y – 8)2 + (z+1)2 = 196

Chọn A

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x+ 2y – 2z + 2= 0 và điểm A(2; -3; 0) Gọi

B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng(P) có bán kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A (0; 1; 0) B.(0; -4; 0) C.(0; 2; 0) hoặc (0; -4; 0) D (0; 2; 0)

Hướng dẫn giải:

Vì B thuộc tia Oy nên B(0; b; 0) (với b > 0)

Bán kính của mặt cầu tâm B, tiếp xúc với (P) là R= d(B; (P))= |2b+2|/3 Theo giả thiết R= 2 nên:

Bán kính mặt cầu là R= IA =

Phương trình mặt cầu (S): ( x+3)2 +(y+ 7)2 + (z- 3)2 = 56

Chọn A

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P);(Q) có phương trình (P): x- 2y + z - 1=

0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0 Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) vàtiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng(Oxy) và có hoành độ xM = 1 có phương trình là:

A.(x - 21)2 + ( y - 5)2 + ( z + 10)2 = 600 B (x+19)2 + ( y+ 15)2 + (z 10)2 = 600

-C (x- 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 100 D (x+ 21)2 + ( y+ 5)2 + (z 10)2 = 600

-Hướng dẫn giải:

Vì M ∈ (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y ; 0)

Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M ∈ Q

=> 2.1 + y - 0+ 3 = 0 => y = -5

Tọa độ điểm M(1; -5; 0)

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm

Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM⊥(Q)

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n→(2; 1; -1).

Ta có: IM⊥(Q)

Ví dụ 5: Cho hai điểm M(1;0;4); N(1; 1; 2) và mặt cầu (S): x2 + y2 +

z2 – 2x + 2y – 2= 0 Mặt phẳng (P) qua M; N và tiếp xúc với mặt cầu(S) có phương trình:

- Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 0) và bán kính R= 2; MN→(0; 1; -2)

- Gọi n→(A;B;C) với A2 + B2 + C2 > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặtphẳng (P)

A Phương pháp giải & Ví dụ

+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S)

có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện

a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây

là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm vàbán kính của mặt cầu đó

a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương

trình sau là phương trình mặt cầu

a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0

Hướng dẫn:

a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 làphương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi m = 1

Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13

Thử trực tiếp đáp án, điểm (2; 1; 9) thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Bài 5: Mặt cầu ( S ): x2+ y2 + z2 - 4x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính

Phương trình có a=-2;b=0;c=0 ⇒ I(-2;0;0)

Bài 8: Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I(-1;1;0) ?

Mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4 có tâm I (0; 0; 2) ⇒ OI=2

Bài 10: Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm

Giao điểm của 3 trục tọa độ là điểm O (0; 0; 0)

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm O (0; 0; 0) và bán kính R = 3 là

x2+y2+z2=9

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

Dạng 2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và bán kính R

Gọi I là trung điểm của AB

Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu

(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Bài 4: Cho đường thẳng và điểm A (5; 4; -2) Viếtphương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d vớimặt phẳng (Oxy)

Dạng bài 2.1.2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt

phẳng (Oxy)

Bài 3: Cho 4 điểm A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2).

Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Hướng dẫn:

BC→=(-3;0;1); BD→=(-4; -1;2)

⇒ [BC→ , BD→ ]=(1;2;3)

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n→ =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n→=(1;2;3) và đi qua điểm

Bài 4: Cho mặt phẳng ( P ): 2x + 3y + z - 2 = 0 Mặt cầu (S) có tâm I

thuộc trục Oz, bán kính bằng 2/√(14) và tiếp xúc mặt phẳng (P) cóphương trình:

Khi đó, tồn tại 2 điểm I thỏa mãn là (0; 0; 2) và (0; 0; 0)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

Gọi M là điểm bất kì trên d, u→ là vecto chỉ phương của d Khi đó,

khoảng cách từ I đến d được tính theo công thức:

Bài 2: Cho điểm A ( -3; 1; 4) và đường thẳng d có phương trình:

Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:

Bài 3: Cho điểm I (0; 1; 2); B (-1; 1; 0) và C (2; -3; 1) Viết phương

trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng BC

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo một đường tròn có bán kính r

Phương pháp giải

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0

và điểm I (2; 1; 3) Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P)theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là:

Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 4) và mặt phẳng (P): x + y + z =1 Viết

phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P)theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π

Hướng dẫn:

Gọi r là bán kính thiết diện

Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 =

0 và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) cótâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một đường tròn

Độ dài dây cung l=AB

+ Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là:

d=d(I;(Δ))

trong đó M là điểm thuộc Δ, u→ là VTCP của ∆

+ Gọi R là bán kính của mặt cầu

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường

thẳng

tại 2 điểm A, B với AB = 16

Gọi H là chân đường vuông góc của I trên AB

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có:

(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2=72

Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; 6; -4) và cắt trục Oz tại 2

điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6√5

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng Oz là :

Điểm O(0; 0; 0) thuộc Oz ⇒ OI→=(3;6; -4)

Một vecto chỉ phương của Oz là u→= (0; 0; 1)

⇒ [OI→ ; u→ ]=(6; -3;0)

Khoảng cách từ I đến trục Oz là:

Ta có: SIAB=1/2 IH AB=1/2 3√5 AB=6√5 ⇒ AB=4

Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct)

Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B cho trước nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒ Tìm được t

⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho các điểm A (1; 3; 1); B(3; 2; 2) Viết phương trình mặt cầu

đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz

Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) và B (2; 2; 1) và đường

thẳng Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm

A, B và tâm thuộc đường thẳng d

Hướng dẫn:

Phương trình tham số của

Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t)

Ta có: IA2= (1+2t)2+(2-t-1)2+(3-2t-3)2=9t2+2t+2

Bài 3: Cho các điểm A (-2; 4; 1) và B (2; 0; 3) và đường

thẳng Gọi (S) là mặt cầu đi qua A, B và có tâmthuộc đường thẳng d Tính bán kính mặt cầu (S)

Hướng dẫn:

Phương trình tham số của

Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1 + 2t; -2 – t; 3 – 2t)

Ta có: IA2=(1+2t+2)2 +(-2-t-4)2 +(3-2t-1)2 =9t2 +16t +49

IB2=(1+2t-22 +(-2-t)2 +(3-2t-3)2 =9t2 +8t +5

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct)