KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC HÌNH 12 CÓ ĐÁP ÁN

+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng  được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song + d, = dM, , trong

KHOẢNG CÁCH

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a

d(M, ) = MH, , trong đó H là hình chiếu của M trên 

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ()

, trong đó H là hình chiếu của O trên ()

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N  thì

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N  (M, N không trùng với I) thì

Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì

+ nếu I là trung điểm của MN thì

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC)

Cách 5 Sử dụng phương pháp tọa độ

Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:

+ với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương

+ với là đường thẳng đi qua và có vtcp

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

+ d(, ()) = d(M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên 



  

+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+ d((), ) = d(M, ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()

+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b + Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b

+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa AD, 2a ; cạnh bên SAa và vuông

góc với đáy Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng SBD là: 

Áp dụng công thức đường cao của tứ diện vuông SABD

vuông tại A, ta có d A SBD ;   AH với

Trong tam giác vuông SAI ta có 1 2  12  12

Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân tại B và ABa SA ABC Góc giữa cạnh bên

SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là:

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân,

AB = BC = 2a , ABC1200, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm

2

.2

Khi đó áp dụng vào bài toán ta thấyACSBDO

do vậy áp dụng hệ quả trên ta được :    

 

SA ABCD SA CD, CD ADCDSAD  SAD  SCD mà SAD  SCDSD

nên AH SCD, do đó d A SCD ,   AH

Hình vuông ABCD cạnh a 3 có đường chéo ACa 3 2a 6

Tam giác SAC vuông tại A theo định lí Pytago ta tính được SAa 3

Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao nên

Câu 8: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa AC, a 3 Tam giác SBC

đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC 

Hướng dẫn giải:

Gọi H là trung điểm của BC , suy ra SH BCSH ABC

Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AC

a Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng SBC 



ABCD

a S

3 2

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Ta có d B SAD ,  2d O SAD ,  4d H SAD ,  

66

BAC , hình chiếu của

đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 600 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a

Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH và cắt SD

tại E Khi đó ta có tứ diện OECD vuông tại O và

Câu 21: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a Khi đó, khoảng cách

d AD SBC d A SBC d O SBC với O là tâm hình vuông ABCD

Gọi I là trung điểm         

62

Câu 22: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật có ABa AD, a 3 Biết

góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Khoảng cách giữa đường thẳng B’C và C’D theo  là:

với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H trên cạnh

BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) là:

 a

34

 a

34

SA ABC suy ra AB là hình chiếu vuông góc

của SB lên (ABC)

Góc giữa SB và (ABC) là góc SBA600

0tan 60 3

Hướng dẫn giải:

Bài toán này có công thức tính nhtôi, nhưng tôi không trình bầy ở đây Tôi sẽ trình bầy

cách tư duy để làm ra bài toán này nhé !

CH x Quan sát hình vẽ ta thấy : tính được độ dài các đoạn thẳng CK, CI, sau đó ta biểu diễn

được HK, HI theo CH, và ta tìm được mối quan hệ giữa HK, HI

Tính CK:

01

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S

và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4 3

2

2

42

34

a HK

a a

Chọn đáp án B

Câu 27: Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 1 1 1 1 a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai .mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo

II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

Câu 1: Lăng trụ đứng ABCA B C đáy tam giác vuông cân tại B, cạnh bên ' ' ' CC'a 3 Biết thể tích khối trụ bằng 2 3a Khoảng cách hai đường thẳng AB và CC’ bằng 3

Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác ’ ’ ’

vuông tại B với AB4 ,a BC3a,AC5a, cạnh bên BB'9a Gọi

M là điểm thuộc BB’ sao cho BB' = 3B'M Khoảng cách giữa B’C và

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính khoảng cách giữa hai đường

(SBC) chứa SC và song song với AD Đường thẳng qua

O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F Vì O

là trung điểm của È nên ta có:

Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K Suy ra, AK vuông góc (SBM)

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a, góc tại bởi cạnh bên và mặt 1 1 1

phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A B C1 1 1thuộc đường thẳng B C 1 1

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và 1 B C theo a bằng: 1 1

Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A’

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích của khối lăng trụ là

3

34

a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

Gọi M là trung điểm của BC , dựng MNAA ' tại N (1)

Gọi O là trọng tâm của ABCO là hình chiếu của A’ lên

ABC

V3a

AC a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:

Vì BDAC, BDCC’ BD(OCC’) (BC’D)(OCC’)

Trong (OCC’),kẻ CHOC’(H thuộc OC’) => CH(BC’D)d C BC D , ’  CH

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAa và vuông góc với đáy Tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

a

Chọn đáp án B

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 0

a 3;ABC120 và cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

600 Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SBD 60 0 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO

Ta có SAB SAD c g c , suy ra  SBSD

Lại có SBD600, suy raSBD đều cạnh

2

SB SD BD a

Trong tam giác vuông SAB , ta có SA SB2AB2 a

Gọi E là trung điểm AD, suy ra OE AB và AEOE

A 3a

3.7

- Chứng minh được BDSHI và HJ SBD

3 32

2 cos 60 7

77

và A B C theo giả thiết thì góc AA1 1 1 1H bằng 300

Xét tam giác vuông AHA có 1

Suy ra góc giữa CA’ và (AA B B' ' ) chính là góc

giữa CA’ và IA’ và bằng góc CA I'  30

2tan '

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là điểm thuộc SC sao cho MC=2MS Biết AB=3, BC= 3 3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM là:

77

Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC)

và (ABC) bằng 60o Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C)

A

3 '

Theo như đề bài dữ kiện thì ta có thể dễ dàng tính được thể tích

của khối lăng trụ tam giác đều ban đầu, từ đó suy ra thể tích của

khối tứ diện AB’BC Để tính được khoảng cách từ B đến (AB’C)

thực chất là tìm chiều cao của tứ diện, đến đây bài toán sẽ được giải quyết nếu quý độc giả tìm được diện tích tam giác AB’C

Vì đề bài cho dữ kiện ((A’BC), (ABC))=60o

, nên ta sẽ đi xác định góc này bằng cách gọi H là trung điểm của BC Tam giác ABC đều nên AHBC (1)

A’A(ABC) ⟹A’ABC (2)

Từ (1) và (2) ⟹BCA’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o

+ Kẻ đường cao CH của tam giác ABC. Có CH

AB ;CHAA’ suy ra CH(ABB’A’),Do đó

góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc

Hướng dẫn giải:

Có 2 cách để tiếp cận một bài toán hình học không gian thông

thường là kẻ thêm hình và tọa độ hóa Ở bài toán này, phương

pháp tọa độ có nhiều ưu điểm hơn hẳn

Gọi D' là trung điểm B C ta có ' ' DD DC DA'; ; đôi một vuông

( ' , ') ( ,( ))

42



a a

3) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q), 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EMF tính được

Khi cạnh bên tăng lên 2 lần thì thể tích là 1 3

(2 ) tan '12

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD) là:

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD) Gọi H là trung điểm của AB, SHHC SA, AB Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) Giá trị của tan là:

Do đó SAABCD nên  SC ABCD, SCA

Trong tam giác vuông SAC, có tan 1

3tan2

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) Tam giác ABC là

hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I

Gọi E là trung điểm của BB' Khi đó AME/ / 'B C nên ta có:

Gọi E là trung điểm của BB’

Ta có: d B AME( ;( ))h

Tứ diện BEAM có các cạnh BE, BM, BA đôi một vuông góc

nên là bài toán quen thuộc Ta có

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, ABa 2 Biết góc tạo bởi SC và (ABC) bằng 0

Hướng dẫn giải:

Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong

mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S

MP//SO nên MPABCD , suy ra  0

Tam giác SQR vuông tại S có 2 : 10 5