CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11 CÓ LỜI GIẢI

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng sử dụng hình chiếu Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng d

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu)

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song)

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian (dùng quan hệ song song)

+ Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH

+ Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH

Trang 2

- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:

+ Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì

+ MH là đường cao của tam giác MAB thì

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA =

3a Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a Khoảng cách từ S đến BC bằng baonhiêu?

A 2a B 4a C.3a D 5a

Hướng dẫn giải

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Trang 3

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều

cạnh bằng a Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD Khoảng cách từ C đếnđường thẳng AM bằng

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đườngcao và MC = a√3/2

Trang 4

+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có:

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi

một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Chọn đáp án B

Trang 5

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH

⇒ tam giác SAH vuông tại S

Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều

cạnh bằng a Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD Khoảng cách từ A đếnđường thẳng BD bằng:

Trang 6

Chọn D

Ta có:

(Định lý 3 đường vuông góc)

⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều)

+ AC vuông góc ( BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C

⇒

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh

bằng a và ∠B = 60° Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC

Trang 8

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình

vuông cạnh bằng a Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC

Trang 9

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi

một cạnh bên và mặt đáy bằng α Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bênbằng

Chọn D

Trang 10

+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên : ∠SDO = α

Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d(O, SD) = OH

Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2

+ Xét tam giác vuông OHD:

OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα

C Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi

một Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6 Khoảng cách từ B đến SC bằng

A a√2 B 2a C 2a√3 D a√3

Hiển thị lời giải

Chọn B

+ Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥

SB

Trang 11

+ Kẻ BH ⊥ SC, khi đó d(B; SC) = BH.

Ta có:

Trong tam giác SBC vuông tại B ta có:

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Khoảng cách từ

đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Gọi M là trung điểm của CD’

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnha√2

+ Tam giác ACD’ có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao AM ⊥CD'

Trang 12

d(A; CD’) = AM = AC.sin(ACM) = a√2.sin60°= (a√6)/2

Đáp án: B

đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’ bằng

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB’

Ta có:

⇒ AD ⊥ AB'

Xét tam giác ADB’ vuông tại A; đường cao AH:

Trang 13

Đáp án D

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Khoảng cách từ ba

điểm nào sau đây đến đường chéo AC’ bằng nhau ?

A A’, B, C’ B B, C, D C B’, C’, D’ D A, A’, D’

Dễ thấy các tam giác ABC’, C’CA, ADC’ là các tam giác vuông bằng nhau nêncác đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau

Vậy: d(B; AC’) = d(C; AC’) = d(D; AC’)

Đáp án B

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO

= a√3/3 Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

Trang 14

Chọn B

Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao

⇒ O là tâm của tam giác ABC

+ Gọi I là trung điểm cạnh BC

Tam giác ABC đều nên

Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d(O; SA) = OH

Xét tam giác SAO vuông tại O:

Trang 15

đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng

Gọi M là trung điểm của CD’

Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnha√2

Trang 16

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a Trên tia Ax vuông

góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a Khoảng cách từ A đến (SBC)bằng

Trang 17

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đườngcao) Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)) Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥AH

Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật.

Biết AD = 2a; SA = a Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Trang 19

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng

đôi một Biết SA = a√3, AB = a√3 Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

Trang 20

Trong tam giác vuông SAB ta có:

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật.

Biết AD = 2a; SA = a Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Trang 21

Chọn C

Kẻ AH ⊥ SD

Ta có: nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (1)Lại có; AH vuông góc SD (2)

Từ (1); (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) và d(A, (SCD)) = AH

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Trang 22

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ

S đến mặt phẳng đáy bằng a√3 Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến mộtmặt bên:

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)

Trang 23

Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO =a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC

Trang 24

Chọn B

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

⇒ OB = OC = OD (do tam giác BCD là tam giác đều)Lại có: AB = AC = AD = a

⇒ AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

⇒ AO ⊥ (BCD)

Trang 25

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc

∠BAD = 60° Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO =3a/4 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:

Chọn C

Trang 27

Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau

một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D Đường cao DM củatam giác ABD bằng 12 cm Khoảng cách từ D đến (ABC) bằng

A 3√3 cm B 6√3 cm C 6 cm D 6√2 cm

+ Gọi M là trung điểm AB

Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM ⊥ AB; DM ⊥ ABsuy ra: AB ⊥ (CDM)

+ Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc60° nên ∠CMD = 60°

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM

⇒ DH = d(D, (ABC))

Xét tam giác DHM có:

DH = DM.Sin 60° = 6√3

Chọn đáp án B

Trang 28

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khoảng cách từ A đến

(B’CD’) bằng

Ta có: AB’ = AC = AD’ = B’D’ = B’C = CD’ = a√2

⇒ Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều

Gọi I là trung điểm B’C và G là trọng tâm tam giác B’CD’

Trang 29

Theo tính chất trọng tâm ta có:

Trong tam giác vuông AGD’ có:

Chọn C

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB =

a Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đềutạo với mặt đáy một góc 45° Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy(ABC)

Trang 30

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) , vì mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC)nên H ∈ BC

Dựng HI ⊥ AB, HJ ⊥ AC, theo đề bài ta có ∠SIH = ∠SJH = 45°

Do đó: ΔSHI = ΔSHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra : HI = HJ

Lại có ∠B = ∠C = 45° ⇒ ΔBIH = ΔCJH ⇒ HB = HC

Vậy H trùng với trung điểm của BC

Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2

Tam giác SHI vuông tại H và có ∠SIH = 45° ⇒ ΔSHI vuông cân

Do đó: SH = HI = a/2

Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d,

với d < b√3 Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới

Trang 31

Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ (ABC) ⇒ d(S, (ABC)) = SH

Chọn C

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh bằng a Gọi M là trung điểm

của AD Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng (C1D1M) bằng bao nhiêu?

Trang 32

Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và

Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD (c.g.c)

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng

2a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:

Trang 33

A 4a B 3a C a D 2a

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC)

Tam giác SAG vuông tại G có:

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng

a√2 Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:

Trang 34

Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD

Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

Kẻ OH ⊥ SM, ta có:

Trang 35

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc

∠BAD = 120°, đường cao SO = a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng(SBC)

Trang 36

Vì hình thoi ABCD có ∠BAD bằng 120° nên ∠ABC = 60°

⇒ tam giác ABC đều cạnh a

Kẻ đường cao AM của tam giác ABC ⇒ AM = a√3/2

Kẻ OI ⊥ BC tại I ⇒ OI = AM/2 = a√3/4

Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC)

⇒ d(O; (SBC)) = OH

Xét tam giác vuông SOI ta có:

Chọn D

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC =

120° Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G củatam giác ABD, ∠ASC = 90° Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tínhtheo a bằng

Trang 37

Xác định khoảng cách:

- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ∠ABC = 120° nên ∠ABD = 60° và tam giácABD đều cạnh a

Ta có: AC = a√3, AG = a√3/3

Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên

Xét hình chóp S ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB =

SD = a

- Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD): Kẻ đường cao AH của tam giácSAO với O là tâm của hình thoi

Trang 38

AH = a√6/3

Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a Do đó S.ABD là tứdiện đều, vậy AH = SG = a√6/3

Chọn đáp án D

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°.Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA Khoảng cách từ điểm A đếnmặt phẳng (SCM)?

Trang 39

+ Ta có: nên BC ⊥ (SAB)

Khi đó; SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30° nên ∠CSB = 30°

Trang 40

+ Xác định khoảng cách: d(A; (SBC)) = AH

Tính AH:

Chọn đáp án B

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là

tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm

H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biếtrằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30° Khoảng cách từ

M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng

Trang 41

+ SC có hình chiếu vuông góc lên mp(ABCD) là HC ⇒ (SC, (ABCD)) = ∠SCH =30°

Đặt AD = 4x (x > 0)

Xét tam giác SAD vuông tại S ta có:

Chọn D

Trang 42

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung

điểm của cạnh AB Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trungđiểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60° Khoảng cách từđiểm H đến mặt phẳng (SAC) là

Chọn A

+ Do góc giữa SA và mp(ABC) là 60° nên ∠SAH = 60°

+ Ta có; CI = CA.sin60° = (a√3)/2; AI = AB/2 = a/2

Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra

Trang 43

Trong tam giác SHA vuông tại H và ∠SAH = 60° suy ra SH = AH √3 = a√21/4Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE Khi đó d(H; (SAC)) = HF

Ta có:

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song)

A Phương pháp giải

TH1: Dựng đường thẳng AH // (α)

Trang 44

Lúc đó: d(A, (α)) = d(H, (α))

TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I}

Lúc đó:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật.

Biết AD = 2a; SA = a Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:

Trang 45

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ

S đến mặt phẳng đáy bằng a√3 Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)

Trang 46

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)

Lại có: SA = SB = SC ( vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO =a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

Trang 47

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d(A, (SBC))= 3.d(O; (SBC)) = 3OH

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a,

∠BAC = 120° Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng vớitrọng tâm G của tam giác ABC Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc αsao cho tanα = 3/√7 Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo abằng

Trang 48

Chọn B

Ta có:

Gọi H là hình chiếu của J lên AB

Gọi Z là hình chiếu của G lên AB

Gọi I là hình chiếu của G lên SZ

+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:

Trang 49

+ áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH

+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa cạnh

bên và mặt đáy bằng 60° Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng

Trang 50

Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC)

Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp (ABC) là 60° nên ∠SCG = 60°

Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = (a√3)/2 và CG = 2/3.CM = (a√3)/3Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC√3 = ((a√3)/3).√3 = a

Trang 51

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.

Khi đó d(C, (SMN)) = 3 d(G; (SMN))= 3 GF

Ta có :

Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a,

BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S xuống mặtphẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI Khoảng cách từ điểm C đến mặtphẳng (SAB) tính theo a bằng

Trang 53

Chọn A

C Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu

vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO góc giữa (SCD) và (ABCD)

là 60° Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tínhtheo a bằng

Định dạng
Số trang	152
Dung lượng	2,65 MB