Tuyển tập tích phân_hay

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNI.. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân fx có thể phân

BÀI TẬP Bài 1 Tính các tích phân sau:

a)

1

2

0

(3x - 5x+1)dx

1

2 1

2

(2x+1)(x - x+3)dx

c)

4

1

1

x

2 3

x

e)

2 2

0

1

x

+

1

0 ( 1)( 2)

dx

x+ x+

g)

3

2

dx

x - x+

2

1 ( x+ x+ x dx)

2 3 1

1

x

j)

1

x x

e +e- dx

4

4 0

x

x e dx

Đáp số :

g) – 2

3 + 2 + 5 - 60 ; i) 3(3 34)

j) 1 1

ç - ÷

Bài 2 Tính các tích phân sau:

a)

3

1

2

x- dx

3

2 0

1 2x x dx- +

2

1 2

1

x

d)

2

2

2

2

3 4

0

1 sin2xdx

p +

1

Đáp số :

4;

Bài 3 Tính các tích phân sau:

a)

2

2

3

cos xdx

p

p

0

sin xdx

p

0

1 cos cos

x dx x

p

d)

3

6

sin cos

dx

p

p

3

4

cos2 cos sin

xdx

p

p

0 sin2 cos3x xdx

p

g)

2

2

sin7 sin2x xdx

p

p

2 4

sin

x tg x dx x

p

p

6

3

1 sinx dx

p

p

Đáp số :

2 ; d) 4 3

3 + 2; f) – 45;

p

Bài 3 Chứng minh rằng

0

dx x

p

+

3 4

2 4

dx x

p

p

7

2 2 1

xdx x

+

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân f(x) có thể phân tích thành tích của một hàm số hợp g[ j (x)] và đạo hàm của hàm số ở bên trongj ’(x) tức là f(x) = g[ j (x)] j ’(x) Khi đó, để tính:

( ) [ ( )] '( )

f x dx= g xj j x dx

ta thực hiện phép đổi biến số t = j (x) và ta có

( ) [ ( )] '( )

f x dx= g xj j x dx

b

a

Trong đó, a và b được xác định bởi a = j (a) và b = j (b)

Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng: Khi

đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta cũng phải đổi luôn cận lấy tích phân từ a, b sang a , b và ta tính toán với những cận mới ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất định

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau:

1)

2

4

1

(2x- 1) dx

1 2

2 3 4 0

1

5 3 6 0

4)

3 3

2

x dx

x

3

1( 1)

xdx x

3 2 1

2

x

dx

+

7)

2

0

8

x - x dx

1

0 1

x - x dx

1

0 1

x - x dx

10)

3

0

1

x +x dx

x +

3 2

0

1 1

x

+ +

3

13)

7

3

3

0

1

x

+

+

2 3

x +

1

2 1

3

2

dx

x x

16)

2 3

2

dx

x x +

0

xdx

p

4

6

cotgxdx

p

p

19) 2

0

sin

1 3cos

x

dx x

p

+

0 sin xcosxdx

p

0

cos2

1 2sin2

xdx x

p

+

22)

3

2

4

1 sin2

cos

x dx

x

p

p

+

0

cos xdx

p

2 5

4

sin xdx

p

p

0

sin2

1 cos

x dx

x

p

+

0

4cos

1 sin

x dx x

p

+

0

4sin

x dx

co x

p

+

0 sin 9cos

dx

p

+

0

sin4

xdx

p

+

0

sin2

1 sin

x dx x

p

+

0 (sin 2cos )

dx

p

+

4 4 3 cos

dx x

p

p

2 4 3 sin

dx x

p

p

2

sin

4

.sin2

x

p

p

0

sin

xdx

p

+

0

sin

1 cos

xdx x

p

+

37)

4

1

x

e dx

x

ln2 2

x x

e dx

e +

1

0 1

x x

e dx e

-+

40)

e

x x

dx

e - e

1

1

1 ln

e

x dx x

+

e

e

dx

43)

1

sin(ln )

e

x dx

x

2

1

1 ln

e

x dx x

+

1

ln

e

xdx

xéêë x + ùúû

46)

2 3

1

e

x

+

1 2

0 1

dx x

+

2 3 2

dx

x +

49)

3

2

dx

x - x+

1

dx

1

xdx

x +x +

52)

1

2

0

1 x dx

2

0 4

x - x dx

2

2

0 1

x

0

a

x a - x dx

2 2 4 1

1 1

x dx x

-+

1 5

4 1

1 1

x dx x

+ + +

58)

1 5

4 2

1

1 1

+

+

2 2 0

x - xdx

0

1 2sin

1 sin2

x dx x

p -+

Đáp số :

1) 121

168; 4) 4 + 8ln 7

15; 5) 3

15; 9) 4

15 ; 13) 46

4 3; 17) 1

2ln2; 18) 1

3ln2; 20) 9

64; 21) 1ln3

4 ; 22) 3+ ln2 – 1; 23); 23; 24) 43 2

120 ;

6

p

-;

5

29) ln2; 30) p4; 31) 16; 32) 6 3 4

3

33) 10 3

27 ; 34) e – e ; 35) p4; 36) p4;

37) 2e(e – 1); 38) 2 2

1

e e+ ; 40) 1 + 2arctge – 41) 2

4 ; 43)1 – cos1; 44)

2

45) 12ln2; 46) 9 33 3 23

8 - 4 ; 47) p4; 48) 6p; 49) 4p; 50)ỉççç18- 363ư÷÷÷÷p

8p ; 52) 4p; 53) p ; 54) p8- 14; 55) 2

16

a

p

; 56)

6 2 19 2ln

17 4

57) 4 2p ; 58) p4; 59) 1; 60) 12ln2;

* Vài đề thi

1) (A, 2005) 2

0

sin2 sin

1 3cos

x

p

+

=

+

2) (B, 2005) 2

0

sin2 cos

1 cos

x

p

=

+

3) (D, 2005) 2( sin )

0

cos cos

x

p

p

4) (TN, 2005) 2( 2 )

0 sin cos

p

p -

5) (CĐKTĐN, 2005) I =

e

e2

x

ln x ( ) ln ln x + ( ( ) )

x

⌠





⌡

d

(2ln2 1

2 + )

0 sin ln 1 cosx x dx

p

+

II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì :

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

b a

u x v x dx=u x v x - v x u x dx

Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể viết gọn là

b

udv=uv - vdu

Tích phân dạng ( )

b

x n a

P x ea +bdx

ị , trong đó Pn(x) là đa thức bậc n theo biến

x

Phương pháp :

'( ) ( )

n

Chú ý: Ta phải tính tích phân từng phần theo n lần.

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau

1)

1

0

x

xe dx

1 2 0 (x +2 )x e dx x

ln 2 0

x x

xe dx

7

4) 2

3

ln

1

ln .

e

x

x e dx

x

1

2 0

(e-x+x dx)

Đáp số:

4

e e

-4) 12; 5) - 21e2+176 - 4e

Tích phân dạng I1 =

2

Phương pháp :

* Để tính I1 ta đặt :

ta có

'( ) ( )

n

ï

ì =

* Để tính I2 ta đặt :

ta có

'( ) ( )

n

ï

ì =

Bài tập: Tính các tích phân sau:

1) 2

0

sin

p

0 s

xco xdx

p

0 (x 1) sco xdx

p

4) 6

0

(2 x)sin3xdx

p

0 cos

p

0

sin cos

p

7)

2

3

s

x co x dx

p

p

3

2 3 0

sin xdx

p

ỉ ư÷

ç ÷

ç ÷

çè ø

2

4

0 sin

p

Đáp số:

p

4

p

- ; 4) 59; 5) 481 p -3 18p ; 6) 12;

p

12 2

p

 Tích phân dạng I = ( )[ln( )] , * và ( ) 1

b

n a

x

Phương pháp :

1 1

ln ) (ln )

,

n

n du n x dx

x

-ìï

Ta tính tích phân từng phần n lần.

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau:

1)

1

ln

e

xdx

2

1

ln

e

x dx x

5

2

2 ln(x x- 1)dx

1

(ln )

e

x dx

1 ln

e

2

1

ln

e

x dx x

ỉ ư÷

çè ø

1

ln

e

x dx

x

1 ( 1)ln

e

2 2 1

ln(1 x)

dx x

+

10)

3

2

6

ln(sin )

cos

x dx

x

p

p

2

2 0

ln( 1+x - x dx)

1 ln

e

Đáp số:

9

4) e – 2; 5) 2 1

4

7) 2 23

4

e

e

4

10) 3ln 33

ỉ ư p÷

ç

çè ø ; 11) 2ln( 5 – 2) + 5 –1; 12) 4

1

16 e + ;

* Khối D, 2004) Tính tích phân I =

3 2 2 ln(x - x dx)

Đáp số : I = 3ln3 – 2.

ea +b mx n dx hay+ ea +b mx n dx+

1

x

m

a +b

(Hoặc đặt ngược lại)

Ta lấy tích phân từng phần hai lần rồi giải phương trình

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau:

1) 2

0

cos

x

p

0 cos3

x

p

p

4)

1

0

sin

x

1 sin(ln )

e

x dx

1 s(ln )

e

7) cos

0

(e x x)sinxdx

p

+

0 (x sin2 )x dx

p +

3 2 4 sin

xdx x

p

p

Đáp số:

1) 2 1

2

e

p

13

ep+

8

ep- ; 4)

2

2

( 1)

e

2

; 6)e2(sin1 + cos1 –1) 7) p + e + 1

MỘTSỐ ĐỀ THI

I CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP.

Tính các tích phân sau:

TN, 1994 (2 điểm)

ĐS: 1) 8

9

e

TN, 1996 (2 điểm)

ĐS: 1) 248 2 35

3

TN, 1997, đợt 1 (2 điểm)

ĐS: 1) 18ln3 − 8ln2 − 5 ; 2) 16 8 2

15

+

11

TN, 1997, đợt 2

8

ln −

TN, 1998, Đề chính thức (2 điểm)

2

TN, 1998, đợt 1 (2 điểm)

e

TN, 1998, đợt 2 (2 điểm)

4 − ln

TN, 1999, đợt 1 (2 điểm)

4

π

TN, 1999, đợt 2 (2 điểm)

15)

TN, 2000

1) Cho hàm số Hãy tính đạo hàm và giải phương trình

; 2) Có 5 tem thư khác nhau và 5 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên

3 bì thư đã chọn Mỗi bì thư chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy

TN, 2000 − 2001 (1 điểm)

32 − π)

TN, 2001 − 2002 (2 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

F(x) = 2cos2x + 4sinx trên đoạn 0

2

;π

2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau?

TN, 2002 − 2003 (2 điểm)

1) Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số

Biết rằng

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và đường thẳng

(TN 2003 – 2004) Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số và các đường

TN không phân ban, 2006)

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

và đường thẳng

13

2 Tính tích phân

Đáp số 1) 2)

(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Cho hình giới hạn bởi các đường

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình quanh trục

(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

II CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

1 (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Đáp số

2 (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Đáp số

Tính các tích phân sau:

3 (Dự bị 1, 2002) (Đáp số: 1 2

2

ln

−

)

4 (Dự bị 2, 2002) (Đáp số 2 − 1)

5 (Dự bị 4, 2002) (Đáp số 32 4

4e −7).

6 (Dự bị 5, 2002)

Đáp số: 12

91)

7 (Khối A, 2003) (Đáp số: 1 5

4ln ).3

8 (Khối A, Dự bị 1, 2003) (Đáp số: 1 2

8 4ln

9 (Khối A, Dự bị 2, 2003) (Đáp số: 2

15)

10 (Khối B, 2003) (Đáp số: 1 2

2ln )

11 (Khối B, Dự bị 1, 2003) (Đáp số: 20

3 )

12 (Khối B, Dự bị 2, 2003) Cho hàm số Tìm a và b sao cho và

15

Đáp số: 8

2

=



 =



14 (Dự bị 1, Khối D, 2003) ĐS

15 (Dự bị 2, Khối D, 2003) ĐS

16 (Khối B, 2004) (Đáp số: 116

135)

17 (Khối A, 2004) (Đáp số: 11 4 2

3 − ln )

18 (Khối D, 2004) (Đáp số: 3ln3 − 2)

20 (Dự bị 2, 2004)

ĐS

26 (D, 2005) Đ.S:

29 (Dự bị 3, 2005)

ĐS

35 (Dự bị 1, A, 2006) ĐS

36 (Dự bị 2, A, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

37 (Dự bị 1, D, 2006) ĐS

38 (Dự bị 2, D, 2006) ĐS

39 (Dự bị 1, B, 2006) ĐS

40 (Dự bị 2, B, 2006) ĐS

17

41 (D, 2007) ĐS

42 (A, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

ĐS

43 (Khối B, 2007)

ĐS