f Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác trong AD1 và chân D2 đường phân giác ngoài AD2 của a Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.. e Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác trong A
Trang 1G I
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A Lý thuyết cần nhớ
1 Diện tích của hình bình hành ABCD
2 Diện tích tam giác ABD
3 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 3’ Thể tích tứ diện ABCD
4 Một số tính chất của tích vô hướng và tích có hướng
cùng phương
đồng phẳng
5 Toạ độ trọng tâm của tam giác và trung điểm của đoạn thẳng
B Bài tập
và
2 Tìm toạ độ của vectơ x biết rằng
tâm của tam giác ABC
Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD
4 Cho điểm M có toạ độ (x; y; z) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M:
a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz
c) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M1), qua trục Ox (M2), qua trục Oy (M3), qua trục Oz (M4), qua mặt phẳng Oxy(M5), qua mặt phẳng Oxz(M6), qua mặt phẳng Oyz (M7)
5 Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng:
a) Chứng minh ABCD là hình bình hành b) Tính AB, AD và diện tích hình bình hành ABCD
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC
c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A
a) ( ) b) ( ) c) + + d) 3 -2( ) + e) 4 + -5
Trang 2-11 Tìm góc giữa hai vectơ sau:
12 a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: ;
13 Xét sự đồng phẳng của ba vectơ sau:
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác (Chứng minh A, B, C không thẳng hàng)
b) Tính chu vi và diện tích tam giác
c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A
e) Tính các góc của tam giác ABC
f) Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác trong AD1 và chân D2 đường phân giác ngoài AD2 của
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A
16 Cho tam giác ABC biết: ; ; Tìm độ dài các đường phân giác trong
17 Chứng minh các tính chất của tích có hướng của hai vectơ sau:
a) Tính chu vi và diện tích tam giác
b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A
d) Tính các góc của tam giác ABC
e) Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác trong AD1 và chân D2 đường phân giác ngoài AD2 của
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng) b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A
d) Tìm toạ độ tâm hình tứ diện ABCD
e) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D
f) Tìm toạ độ hình chiếu K của D lên mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông
b) Tìm toạ độ chân của đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC)
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD
c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng mặt phẳng
b) Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD
đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh E của tam giác
H của P lên mặt phẳng ABC
Trang 3a) Tính cosin của góc tạo bởi và
b) Tính diện tích tam giác BCD
c) Tính độ dài đường cao của hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A Kiến thức cần nhớ
1 Phương trình mặt cầu tâm , bán kính R:
Dạng chính tắc:
- Tâm:
- Bán kính:
2 Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thiết diện là một đường tròn C tâm I’, bán kính r: C(I’,r)
- d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P:
- Tâm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P)) và mặt phẳng (P)
- Bán kính:
* Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì: I I’ và R=r
3 Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R):
B Bài tập: Phương trình mặt cầu
1 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
2 Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn Xác định tâm và bán kính của nó
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
5 Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với ; ; ;
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và
có bán kính lớn nhất
Mặt cầu đi qua các điểm
8 Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính
b) Tâm I(5; -3; 7) bán kính R = 2
c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3)
d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ
e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5)
g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3)
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7)
Trang 4-5x - 4y + 3z + 20 = 0 3x - 4y + z - 8 = 0
2x + 4y -z - 7 = 0 4x +5y +z - 8 = 0
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2)
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz)
9 Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC)
10 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng (d):
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16
11 Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4)
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12 Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
13 Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8)
a) Viết phương trình đường thẳng AC
b) Viết phương trình mặt phẳng (P)
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5 Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC
d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
14 Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0
b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0
c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0
d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3)
f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy tại M(5; -1; -1) g) Tâm I nằm trên (d): và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0 h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz
15 Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ tiếp điểm
16 Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P)
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P)
Trang 58x - 11y + 8z - 30 = 0
x - y - 2z = 0
x - 2y - z + 3 = 0 2x - 4y + z - 1 = 0
2x - y - 1 = 0
z - 1 = 0
x - 2y - z - 1 = 0
x + y + 2 = 0
x - 2y - z + m = 0
x + y + 2 = 0
2x + y - z - 1 = 0
x - 2z - 3 = 0
17 Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C Viết phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18 Viết phương trình mặt phẳng:
f) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với mp: 4x +3z -17 = 0
g) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0
h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc:
i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)
l) Tiếp xúc với mặt cầu và vuông góc với đường thẳng (d):
19 Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu Xác định tiếp điểm
20 Cho mặt cầu (S): và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t
a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d)
b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B
21 Cho mặt cầu (S): Viết phương trình tiếp diện của (S):
a) Đi qua T(1; 1; 1)
b) Đi qua đường thẳng:
c) Đi qua đường thẳng:
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
22.Cho mặt cầu (S): Xét vị trí tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3) b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4)
23 Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d) với mỗi mặt cầu (S) sau:
c) (S):
24 Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d): với mặt cầu (S):
25 Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
Trang 6-x - 2y - 3 = 0 2x + z - 1 = 0
x - 2y + 3z - 2 = 0
x + y - z = 0
x - 2y - 1=0
z - 1 = 0
d) , (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t)
Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến)
26 Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3
a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó:
- có vectơ chỉ phương là:
- vuông góc với mặt phẳng:
- Song song với đường thẳng (d’):
27) Cho mặt cầu (S): Viết phương trình tiếp tuyến của (S):
a) Có vectơ chỉ phương và đi qua A(-4; 3; m)
b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n)
28 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng:
a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t
b)
c)
Vị trí tương đối của hai mặt cầu
29 Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S1) và (S2) sau:
Đường tròn trong không gian
Điều kiện: (Aa + Bb + Cc) 2 < R 2 (A 2 + B 2 + C 2 ) hay (R- R’) 2 <(a- a’) 2 + (b- b’) 2 + (c- c’) 2 < (R+ R’) 2
30 Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau:
31 Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3)
a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó viết phương trình đường tròn b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1 Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm Tìm toạ độ 32.Cho đường tròn (C) có phương trình:
Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O
33 Cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) có phương trình là:
Trang 7(d): (C):
Tìm phương trình đường thẳng (d) tựa trên (C), cắt (d) và vuông góc với (d)
34.Cho đường tròn (C) xác định bởi:
(C):
a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C)
b) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0
Phần 3: Phương trình mặt phẳng
I Phương trình mặt phẳng
A Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với , là vtpt của mp b) Phương trình mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến có dạng:
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng:
e) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng: với
B Bài tập
1 Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0
a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ
2 Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0
a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz
3 Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó
4 Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp
c) Đi qua và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)
d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy
e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M1M2 với M1(0; 2; -3) và M2(1; -4; 1) f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0
g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0
h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ
i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0
j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ
k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ và
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0
m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3)
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P1):x + 2y - 3z + 1 = 0 và (P2):2x - 3y + z + 1 = 0 o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1)
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0
q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P1): 2x + y - z - 2 = 0 và (P2): x - y - z - 3 = 0
r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0
Trang 8-s) Qua A( 1; 0; 2), song song với và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0.
t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)
v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2)
x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0
y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0)
z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0
5 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:
a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2) b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6)
c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2) d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1)
e) M1M2 với M1(2; 3; -4), M2(4; -1; 0) f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1)
6 Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7)
b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2)
7 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Với:
a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6) b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3)
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1) d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1)
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0) f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1)
g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0) h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5)
8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần lượt tại
B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O)
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A0, B0, C0 sao cho:
9 Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5) G là trọng tâm của tứ diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I
10 Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3) Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz Tìm phương trình của mặt phẳng (UVR)
11 Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC) Tính OH
c) Tính diện tích S của tam giác ABC
d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn không đổi Khi nào S đạt giác trị lớn nhất? Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất
12 Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình các mặt của tứ diện
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB
13 Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là: và A0, B0, C0 thoả mãn điều kiện:
II Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.
A Lý thuyết cần nhớ
Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Chùm mặt phẳng là tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng Có dạng:
Trang 9x + 2y - z -6 = 0
2x - y + 3z + 13 = 0
3x - 2y + 3z + 16 = 0
với
B Bài tập
1 Xác định m, n, để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0 b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0 c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0 d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0
e) 2x + y + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0 f) ( -2)x + ( +1)y+ z+ =0; x+my+ (m+ )z+1=0 g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x + y - 3z + 1 = 0 h) mx + 3y - 2z - 1 = 0; 2x - 5y - z = 0
2 Viết phương trình mặt phẳng:
a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - 7 = 0
c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz)
d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với 2 mp x - 3y + 2z + 5 = 0; 3x - 2y + 5z + 4 = 0
e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với 2 mp 3y - 2z + 11 = 0; z = 0
f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + 5 = 0
g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz)
h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với 2 mp: 3x - 2y + 2z + 7 = 0; 5x - 4y + 3z + 1 = 0
i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 mp: 2x - z + 1 = 0; y = 0
3 Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:
a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15 b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - 1 = 0
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0 d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0
4 Cho ba mp:(P):(4 - )x- ( -5)+ z+ = 0,(Q):2x + 3y + mz + 5 = 0,(R):
a) Định m, để (P)//(Q) b) Định , để (P)//(R)
5 Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y - 7z - 4 = 0 b) x - 2y + z + 3 = 0; 2x - y + 4z - 2 = 0
c) x + y + z - 1 = 0; 2x + 2y - 2z + 3 = 0 d) 3x - 2y -3z + 5 = 0; 9x - 6y -9z - 5 = 0
e) x - y + 2z + 4 = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = 0 f) 5x + 6y - 3z + 8 = 0; -5x + 6y - 12 = 0
g) 2x - 2y - 4z + 5 = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = 0 h) 3x - 4y + 3z + 6 = 0; 3x - 2y + 5z - 3 = 0
6 Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau?
Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0
7 Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0 b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc với mp: 2x + y - 3z - 2 = 0 c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1)
d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và song song với mp: 2x - y+ 19 = 0 e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0 f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0
g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1)
h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và song song với hai mp: 2x - z + 7 = 0 i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0
j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0 k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z+ 6 = 0
8 Xác định m, n để mp: 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm
9 Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng: x + 2y - 3z + 1 = 0 và 2x - 3y + z + 1 = 0
a) Với m cho trước lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và song song với vectơ
b) Xác định m để có mặt phẳng (Q) đi qua (d) và vuông góc với
10 Cho ba mặt phẳng có phương trình:
(P): (1+m)x - y + mz - m = 0 (Q): x + 2y - mz + 1 = 0 (R): (m+2)x + y = 0
Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng đó cùng đi qua một đường thẳng
11 Với giác trị nào của để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng
12 Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
Trang 10-13 a, b, c là ba số khác 0.
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua điểm (1; 1; 1) và chứa trục Ox
b) Tìm phương trình (S) qua điểm (a; b; c) và chứa trục Oy
c) Tìm phương trình của mặt phẳng (Q) qua ba điểm (0; b; c), (a; 0; c), (a; b; 0)
d) Tìm phương trình của mặt phẳng (R) qua điểm (a; 0; và có vectơ pháp tuyến
e) Giả sử và , tìm điểm chung của ba mặt phẳng (P), (Q), (R)
14 Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2)
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC)
b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương ,
c) Với giá trị nào của thì
d) Định để (P) song song với mặt phẳng
15 Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật:
7x + 4y - 4z + 30 = 0, 36x - 51y + 12z + 17 = 0
14x + 8y - 8z - 12 = 0, 12x - 17y + 4z - 3 = 0
16 Cho mặt phẳng (P) qua (-1; ; 0) có vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (Q) qua 3 điểm (-3; 2; 1), (1; 3; -4), (3; -1; )
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q)
b) Định , m để (P)//(Q)
c) Tìm hệ thức giữa , m để
III Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
A Kiến thức cần nhớ
1 Khoảng cách từ đến mặt phẳng có phương trình Ax + by + Cz + D = 0 là:
2 Khoảng cách giữa hai mp // là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
B Bài tập
1 Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD
2 Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O Xác định toạ độ đỉnh D Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD) Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD)
3 Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0 b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0 c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0 d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0
e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0 f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0
4 a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0
b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0
c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0
d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5
e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0
f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0
g)Tính khoảng cách từ các điểm M1(1; -1; 2), M2(3; 4;1), M3(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= 0 h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
i) Tính khoảng cách từ S(1; 3; -2) đến đi qua 3 điểm A(3; 6; -7) B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2) Tính
