Để vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần xác định hai điểm nó đi qua.. Phương trình hoành độ để xác định giao điểm.. Hai đường thẳng này có thể trùng nhau, song song nhau hoặc cắt nhau tạ
Trang 1CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9 MÔN: TOÁN
TÊN CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT – ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠0)
THỜI LƯỢNG: 10 tiết
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ ( 3tiết)
1 Hàm số bậc nhất.
Hàm số bậc nhất là hàm số được nho bỡi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hệ số, a ≠0
Trong trường hợp b = 0 ta được hàm số y = ax đã học ở lớp 7 Rõ ràng là hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị thực của x
Từ tính chất trên, thường xuất hiện dạng toán sau: Cho hàm số bậc nhất y = ax + b mà
a phụ thuộc vào tham số m( hay chữ số nào đó) Vấn đề là xác định m để hàm số đồng biến hay nghịch biến Với dạng này ta chỉ cần nhớ rằng: a > 0 thì hàm số đồng biến; a < 0 thì hàm số
nghịch biến
Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m-2)x + 1 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
R? Nghịch biến trên R?
Giải
+ Hàm số đồng biến khi a > 0 ⇔m -2 > 0 ⇒ m > 2
+ Hàm số nghịch biến khi a < 0 ⇔m -2 < 0 ⇒ m < 2
2 Đồ thị hàm số bậc nhất.
Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm Để vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần xác định hai điểm nó đi qua Có thể sử dụng một trong hai cách sau đây:
Cách1: Xét y = ax + b
Cho x = 0 ⇒ y = b A(0; b)
Cho y = 0 ⇒ x =
a
b
Đồ thị là đường thẳng AB
Cách 2: Cho x bằng hai giá trị tùy ý ( nhưng phải thích hợp) để tìm hai giá trị y tương
ứng Chú ý rằng giá trị x mà ta cho phải khôn khéo( hợp lý) để giá trị y tính được thật nhanh, đồng thời số tính được phải là số biểu diễn dễ dàng trên đồ thị
3 Phương trình hoành độ để xác định giao điểm.
Cho hai đường thẳng y = ax + b và y = cx + d Hai đường thẳng này có thể trùng nhau, song song nhau hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất
Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, gọi M( x0; y0) là giao điểm Khi đó, M nằm trên đường thẳng y = ax + b nên ta phải có y0 = ax0 + b Mặt khác, M cũng nằm trên đường thẳng y = cx + d nên ta cũng có y0 = ax0 + d Như vậy:
ax0 + b = cx0 + d Nói cách khác, x0 chính là nghiệm của phương trình bậc nhất
ax + b = cx + d ⇔(a – c)x + (b – d) = 0 (1)
Vì vậy, ta thường nói rằng (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng
đã cho
4 Hệ số góc của đường thẳng, đường thẳng song song, đường cắt nhau.
Cho đường thẳng y = ax + b Khi đó, ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng này
Xét hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b':
Nếu a ≠ a' thì hai đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm.
Nếu a = a'( Hệ số góc hai đường thẳng bằng nhau):
Trang 2Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
Khi b = b' thì hai đường thẳng đó trùng nhau
Khi b ≠ b' thì hai đường thẳng song song
Nếu a a' = -1 thì hai đường thẳng vuông góc nhau
5 Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b Ta đã biết, đường thẳng đi qua điểm nào thì tọa độ của nó thõa mãn phương trình đã cho Nếu biết trước rằng đồ thị đường thẳng đi qua hai điểm thì ta sẽ xác lập được hai phương trình cho phép giải ra a và b
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1; y1) và B( x2; y2)
Giải
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng y = ax + b Ta cần xác định a, b khi biết rằng đường thẳng này đi qua A, B
Vì đường thẳng đi qua A nên nta có: y1 = ax1 + b (1)
Vì đường thẳng đi qua nên nta có: y2 = ax2 + b (2)
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được:
y2 - y1 = a(x2 – x1 ) ⇒ a =
1 2
1 2
x x
y y
−
− (3) Thay a ở (3) vào (1) ta được:
y1 = −
−
1 2
1 2
x x
y y
x1 + b ⇒ b = y1 -
−
−
1 2
1 2
x x
y y
x1 =
1 2
1 2 2 1
x x
x y x y
−
−
Vậy phương trình của đường thẳng là: y =
1 2
1 2
x x
y y
−
−
x +
1 2
1 2 2 1
x x
x y x y
−
−
II BÀI TẬP.(7 tiết)
Bài 1: Tìm phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và N(6; 5)
Bài 2: Tìm Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường thẳng y =
2x + 3
Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua N( 5; 2) và vuông góc với đường thẳng y =
2x + 1
Bài 4: Xác định phưong trình đường thẵng đi qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3).
Bài 5: Xác định phương trình đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ α ≠0
và cắt trục tung tại điểm có tung độ β ≠ 0
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 0) và vuông góc với đường thẳng
(k) có phương trình y = 2x – 3
Bài 7: Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + 1 ; y =
3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2x + 15
Bài 8: Cho hai đường thẳng 3x – 5y + 2 = 0; 5x – 2y + 4 = 0 Viết phương trình đường
thẳng qua giao điểm hai đường thẳng trên và
a) song song với đường thẳng 2x – y + 4 = 0
b) qua thêm điểm M(1; 4)
Bài 9: a) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng qui:
2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0
b) Xác định m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
(m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 c) Xác định điểm trên trục hoành nói ở câu trên
Trang 3Bài 10: Lập phương trình của đường thẳng (d) qua B(2; 0) và vuông góc với đường
thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1)
Bài 11: Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – 2 = 0; 2x + y – 13 = 0; x
– 2y + 6 = 0 Hãy vẽ tam giác này, xác định tọa độ của các đỉnh và chứng minh tam giác đó vuông
III HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP.
Bài 1: Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và N(6; 5).
Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm có dạng: y =
1 2
1 2
x x
y y
−
−
x +
1 2
1 2 2 1
x x
x y x y
−
−
2 2
1 4
8 4
2 2 6
2 5 6 3 2 6
3
−
− +
−
−
y
Bài 2: Phương trình đường thẳng đi qua M( 2; 3) và song song với đường thẳng y = 2x +
3.
Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b
Vì nó song song với đ/t y = 2x + 3 nên a = 2
Phương trình của đường thẳng trở thành: y = 2x + b
Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 3) nên: 3 = 2.2 + b
Suy ra b = -1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x – 1
Bài 3: Phương trình đường thẳng đi qua N( 5; 2) và vuông góc với đường thẳng y = 2x +
1.
Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b
Vì nó vuông góc với đ/t y = 2x + 1 nên a.2 = -1 ⇒ a =
2
1
− Phương trình của đường thẳng trở thành: y = −12x + b
Vì đường thẳng cần tìm qua N(5; 2) nên: 2 =
2
1
− 5 + b Suy ra b = 29
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = −21 x – 92
Bài 4: Xác định phưong trình đường thẵng đi qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3).α
Tương tự bài tập 1: Đáp số: y = x + 1
Bài 5: Xác định phương trình đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ α ≠0và
cắt trục tung tại điểm có tung độ β ≠ 0.
Đây là trường hợp đặc biệt với hai điểm A(α ; 0) và B( 0;β)
Tương tự bài tập 1: Đáp số: y = - β
αβx+ (Đây được xem như công thức tổng quát để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm với hai điểm đó nằm trên hai trục tọa độ)
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 0) và vuông góc với đường thẳng
(k) có phương trình y = 2x – 3.
Phương trình của đường thẳng có dạng y = ax + b
Vì nó vuông góc với đ/t y = 2x – 3 nên a.2 = -1 ⇒ a = −21
Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 0) nên: 0 = −21 2 + b
Trang 4Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
Suy ra b = 1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = −21 x + 1
Bài 7: Tìm phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + 1 ; y =
3x – 4 và song song với đường thẳng y = 2x + 15
Hoành độ giao điểm của hai đưởng thẳng y = 2x + 1 ; y = 3x – 4 là nghiệm của phương
trình 2x + 1 = 3x – 4, hay x = 5 Suy ra tung độ giao điểm là y = 2.5 +1 = 11 vậy ta có giao điểm M(5; 11)
Đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 15 có phương trình y = 2x + b
vì đường này đi qua M nên 11 = 5 2 + b, suy ra b = 11 - 5 2 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
y = 2x + 11 - 5 2
Bài 8: HD: Đưa các phương trình của các đường thẳng về dạng y = ax + b.
3x – 5y + 2 = 0 ⇔y =
5
2 5
3 +
x
5x – 2y + 4 = 0 ⇔ y = 2
2
5 x+ 2x – y + 4 = 0 ⇔ y = 2x +4
a) Tương tự bài tập 8: Đáp số: y = 2x + 1930
b) Tương tự bài tập 8 nhưng tìm tìm b bằng cách thay tọa độ M vào hàm số rồi tính Đáp số: y = 3578x+3562
Bài 9: a) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng qui:
2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0.
Viết lại phương trình của hai đường thẳng 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0 như sau: y = 2x
+ 3; và y = -x – 3 Giao điểm của hai đường thẳng này có hoành độ là nghiệm của phương trình 2x + 3 = -x -3 Từ đó, giao điểm là M(-2; -1 ) Để ba đường thẳng đồng qui, tọa độ M phải thõa mãn phương trình đường thẳng thứ ba, tức phải có: a(-2) +1 -1 = 0 ⇔a = 0
b) Xác định m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
(m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0
Điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0 Do đó, muốn hai đường thẳng (m – 1)x
+ my – 5=0 và mx + (2m – 1)y + 7 = 0 có giao điểm nằm trên trục hoành thì ta có:
(m – 1)x + m.0 -5 = 0 và mx +(2m – 1).0 + 7 = 0
hay: (m – 1)x – 5 = 0 và mx + 7 = 0
Theo định nghĩa hàm số bậc nhất, ta phải có m – 1 ≠ 0 và m ≠ 0
Từ mx + 7 = 0 ta có x= −m7
Thay vào phương trình (m – 1)x – 5 = 0
⇔mx – x – 5 = 0 ⇔m
m
7
−
-
m
7
−
- 5 = 0 ⇔m =
12 7
c) Xác định điểm trên trục hoành nói ở câu trên.
Thay m = 127 vào phương trình thứ` hai ta được 7 0
12
7 x+ =
Từ đó ta có x = -12 Dễ dàng kiểm tra được x = -12 cũng thõa mãn phưuơng trình (m –
1)x + my – 5 = 0.
Vậy hai đường thẳng đã cho cùng cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (0; -12)
Bài 10: Lập phương trình của đường thẳng (d) qua B(2; 0) và vuông góc với đường thẳng
MN, với M(0; -3), N(1; -1).
Trang 5Lập phương trình đường thẳng MN: y =
1 2
1 2
x x
y y
−
−
x +
1 2
1 2 2 1
x x
x y x y
−
−
=
3 2 0
1
0 )
1 ( 1 3 0
1
)
3
(
−
−
−
− +
−
−
−
Tiếp theo tương tự như BT 7 ta được y = 1
2
1 +
Bài 11: Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – 2 = 0; 2x + y – 13 = 0; x
– 2y + 6 = 0 Hãy vẽ tam giác này, xác định tọa độ của các đỉnh và chứng minh tam giác đó vuông.
Viết lại ba phương trình đường thẳng:
1 2
1 +
−
y ; y = -2x + 13 ; 3
2
1 +
= x y
Hệ số góc của ba đường thẳng này khác nhau nên chúng cắt nhau từng đôi một Ngòai
ra, rõ ràng hai đường thẳng y = -2x + 13 ; 3
2
1 +
= x
y có tích các hệ số góc bằng -1 nên chúng vuông góc nhau Tiếp tục vẽ ba đường thẳng trên cùng mp tọa độ rồi xác định ba giao điểm
Mai Đình Công