boi duong toan 8

Những hằng đẳng thức Đáng nhớA.

Những hằng đẳng thức Đáng nhớ

A Kiến thức cơ bản

1) (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2

2) (A-B) 2 =A 2 -2AB+B 2

3)(A-B)(A+B).= A 2 -B 2

* Nâng cao:

a b c + + = a + + + b c a b a c b c + +

a b c − − = a + + − b c a b a c b c + −

2

a b c d+ + + =a + + +b c d + a b a c a d bc bd cd+ + + + +

B Ví dụ:

Ví dụ 1: Tính nhanh a)

263 74.263 37

136 92.136 46

A B

b) C =(50 2 + 48 2 + 46 2 + + 2 2) (− 49 2 + 47 2 + 45 2 + + 1 2)

= 50+ 49 + 48 + 47 + …+1 = (50 1 50)

1275 2

+

=

Ví dụ 2: So sánh

a) A= 2009.2011 và B = 2

2010

b) A= 4 3( 2 + 1 3) ( 4 + 1 3) ( 8 + 1 3) ( 64 + 1) và B = 3 128 − 1

Giải: a) Cách 1 A= 2009 2011= ( 2010- 1) ( 2010+ 1) = 2010 2 - 1 < 2010 2

Vậy A < B

Cách 2: B= 2010 2 = 2010 2 - 1 + 1 = 2009 2011 + 1 > 2009 2011

b) Cách 1: Ta có 4 = (3 1 3 1) ( )

2

+ −

thay vào A ta có B = 2A

* Cách 2: Ta có B = 128

3 − 1 = ( )64 2 2

3 − 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A= 2

6 10

x − x+

b) B= ( )2

x+ y− − xy+

Giải: a) Ta có A= x2 − 6x+ 10= ( )2

x− + ≥ 1

Ta có ( )2

x− ≥ Dấu = xảy ra khi x= 3 Do đó giá trị nhỏ nhất của A= 1 “ ”

khi x= 3

b) B= ( )2

x+ y− − xy+

= ( ) (2 )2

x− + y− + ≥ 1

Bµi tËp vËn dông:

Bµi 1: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:

a) Q= (10 1 10 + ) ( 2 + 1 10) ( 4 + 1 10) ( 2n+ 1)

1 1 1 1

 +   +   +   + 

 ÷  ÷  ÷  ÷

       

Gi¶i: a) Nh©n hai vÕ cña Q víi ( 10-1 )

(10-1)Q = (10-1) (10 1 10 + ) ( 2 + 1 10) ( 4 + 1 10) ( 2n+ 1)

= … = (10 4n − 1) VËy Q = ( 4 )

10 1 9

n−

1 1 1 1

 +   +   +   + 

 ÷  ÷  ÷  ÷

       

 −   +  = − 

 ÷  ÷  ÷

1

2 1

2 n

 − 

 

Bµi tËp 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

a) x2 + +x 1 b) x2 + 8x

c) ( x + 1) ( x-2 ) (x-3) (x-6)

x − x + ≥

i) ( x-4) (x-5)( x-6) (x-7)

2010

2010 2010 2010

x

+

Bµi tËp 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

a) − +x2 4x+1 b) 4x− −10 x2

2 a +b = −a b Chứng minh rằng a và b là hai số đối của nhau

c) Cho 2 2 2

a + + =b c ab ac bc+ + thì a= b =c

Bài tập 5: Cho a+ b+ c =0 , Chứng minh rằng ta luôn có

( 2 2 2)2 ( 4 4 4)

2

a + +b c = a + +b c

Giải: Ta có a = -(b +c) bình phơng hai vế ta có

a =b + bc c+ ⇔ bc a= − −b c

Bình phơng hai vế ta có (a4 + +b4 c4) = 2a b2 2 + 2a c2 2 + 2b c2 2

( 2 2 2)2 ( 4 4 4)

2

a + +b c = a + +b c