Tứ giác ( BDHSG )

Tứ giác* Kiến thức cơ bản: 1 Định nghĩa + Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC.. CD, AD trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đờng thẳng.. + Tứ giác lồi là

Tứ giác

* Kiến thức cơ bản:

1) Định nghĩa

+ Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC CD, AD trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đờng thẳng.

+ Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đờng thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác Từ nay khi nói đến tứ giác mà không nói gì thêm ta hiểu đó là tứ giác lồi.

2) Tính chất: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°

A B C D + + + = °

+Bổ sung: Tổng bốn gócngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 360°

Bài tập 1: Tứ giác ABCD có àA=110 ,° =Bà 100° Các tia phân giác của các góc C

và D cắt nhau ở E Các đờng phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F

Tính CED CFDã ,ã

1 2

2 1

F

E

A

B

C

D

Giải:

Theo định lí về tổng bốn góc của tứ giác có:

à à (à à )

à ả

1 1

360 360 210 150 75

C D A B

C D

+ = ° − + = = ° − ° = ° + = = °

( Theo tính chất tia phân giác của góc )

Tam giác CED có

ã 180 (à 1 ả 1) 105

CED= ° − C +D = °

Vì DE, DF là các tia phân giác

của hai góc kề bù nên DE ⊥DF

Tơng tự CE ⊥ CF

Xét tứ giác CEDF:

à 360 à ã ã 75

F= ° − −E ECF EDF− = = °

Bài tập 2: Chứng minh rằng

trong một tứ giác, tổng hai đờng

chéo lớn hơn nửa chu vi nhng nhỏ

chu vi của tứ giác ấy

Giải:

Đặt AB= a, BC= b, CD = c, AD =d

Theo định lí về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ta có:

AC + BD > a + c

AC + BD > b + d

2( AC + BD) > a + b +c + d

Nên AC + BD > a b c d+ + +2

Vậy tổng hai đờng chéo lớn hơn nửa chu vi

Xét tam giác ABC,

ta có AC < a+ b

Xét tam giác ADC, ta có AC < c + d

Suy ra 2 AC < a + b + c+ d hay AC < a b c d+ + +2 (1)

Tơng tự: BD < a b c d+ + +2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC + BD < a+ b+c+d

Vậy tổng hai đờng chéo nhỏ hơn chu vi

Bài tập 3: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và DC kéo dài gặp nhau tại M Kẻ hai phân giác của góc CED và BMC cắt nhau tại K Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD ( Đề thi HSG Hà nội )

a

b c

d

C D

· 180 ¶ 2 ¶ 2 ( ¶ 3 ¶ 3 )

MKE = °−  M + E + M + E 

Ta cã:

¶ · (µ µ )

2

180

2 2

B C BMC

M ° − +

= = ( 1) ( §Þnh lÝ ph©n gi¸c, tæng 3 gãc 1 tam gi¸c)

(2) ( §Þnh lÝ ph©n gi¸c, tæng 3 gãc 1 tam gi¸c)

¶ ¶ µ

3 3 180

M +E = ° −D (3) ( §Þnh lÝ tæng 3 gãc 1 tam gi¸c)

Thay (1), (2), (3) vµo (*) ta cã:

180 2

2

A C

MKE

+

+

=

1

3 2 1

3 2

K

D

M

C A

¶ · (µ µ )

2

180

B A BEA