Tài liệu tham khảo bài giảng cơ lưu chất biên soạn bởi Ts.Nguyễn Thị Bảy trường ĐH Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Trang 1∫ r không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B
Chuy n động thế là một chuyển động không quay
Để điều kiện trên thỏa mãn, cần có một hàm ϕ(x,y) sao cho
ϕ
=
r
∂
∂
= ϕ
ϕ(x,y) : Hàm thế vận tốc Ngoài ra
I ĐỊNH NGHĨA THẾ LƯU:
v
r =
ω
=
ω r
∂
∂
= ϕ
và
www4.hcmut.edu.vn/~hchoai/baigiang
Trong tọa độ descarde
y u
; x
∂
∂
=
∂
∂
Trong tọa độ cực
θ
ϕ
ϕ
∂
=
∂
∂
=
r u
; r
u r
+ Phương trình đường đẳng thế: Khi cho ϕ = Const => đường đẳng thế
II MỘT SỐ Ø KHÁI NIỆM
1 Hàm thế vận tốc (ϕ):
=
∂
∂ +
∂
= Δ
=
Hàm số thế thỏa mãn Phương trình Laplace
Trang 2x u
; y
∂
∂
−
=
∂
∂
r u
; r
u r
∂
ψ
∂
−
= θ
∂
ψ
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
y x
ψ ψ + Trong chuyển động thế ψ thoả mãn phương trình Laplace
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
Luôn luôn có
∂
∂ +
∂
Một số tính chất của hàm dòng:
+Trong bất kỳ dòng chảy nào cũng có thể tìm được hàm dòng
y
u x
∂
ψ
∂
ψ
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂ 0
=
) u ( Rot v
=
∂
∂ +
∂
∂
y x
ψ ψ
2 Hàm dòng (ψ) :
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
x
y
θ
uθ u
-Khi cho ψ = C thì đây chính là phương trình một đường dòng
x
y
o
ψ(x,y) = C
Sự thay đổi giá trị ψ tại 2 điểm (x,y) và điểm (x+dx, y+dy) trên đường ψ = C
∂
∂ +
∂
∂
ψ
mà ψ(x,y) = C
Phương trình đường dòng
Vậy các điểm nầy thỏa mãn pt đường dòng hay nói cách khác đường ψ(x,y) = C là một đường dòng
=
=
+
−
= ψ
Trang 3+ Lưu lượng (q) đi qua giữa 2 đường dòng A,B bằng q = ψB- ψA
uy
ux x
ψA
ψB
ψ ψ+ dψ
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
−
∂
∂
dq = dψ Như vậy
3 Mối quan hệ giữa hàm dòng và hàm thế:
Đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau
∂
∂ +
∂
∂
ψ ψ ψ
ψ
= ∫
=
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂
Lưới thủy động
- Đây là một chuyển động thế vì r=
ψ ψ ψ ψ ψ
Hàm thế : ϕ(x,y)
Hàm dòng : ψ (x,y)
II.MỘT SỐ CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ ĐƠN GIẢN
y
U o
= ψ
1 Chuyển động đều nằm ngang
∂ϕ
=
∂
∂ϕ=
∂
∂ϕ
=
∂
∂ϕ
=
∂
ϕ = +
ϕ = ϕ
∂ψ
=
∂
∂ψ =
∂
∂ψ
= −
∂
∂ψ
=
Trang 4• θ
Về nhà ??
Hàm thế :Trong tọa độ cực ϕ(r,θ)
Trong tọa độ descarte
Hàm dòng: Trong tọa độ cực ψ(r,θ)
(Trong tọa độ descarte)
+
=
π ϕ
2 Điểm nguồn và giếng
=
= r
Xét một điểm nguồn có cường độ q (m2/s) Từ phương trình liên tục
∂ϕ
=
∂
∂ϕ =
ϕ= π
θ
∂ϕ
=
∂θ
∂ϕ=
ϕ = π
π
q
Lưới thủy động: Đường thế :
ϕ = π
Phương trình vòng tròn tâm O bán kính
o r
ϕ1
Đường dòng :
Phương trình đường thẳng qua tâm nghiêng một góc θ
ϕ2
ϕ3
ψ1= 0
ψ2
ψ3
ψ4
o r
ϕ1 ϕ
2
ϕ3
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
điểm nguồn thay -q
ψ5
ψ6
ϕ = π
πϕ
=
π
π
πψ
θ =
π
π
ψ =−
Trang 5ϕ
Γ xoáy dương
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
Tọa độ cực Tọa độ Descarte
Tọa độ Descarte Tọa độ cực
3 Xoáy tự do
Dòng chảy trên những đường tròn đồng tâm, có vận tốc
r o
Ghi chú:
Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ; Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;
Γ: lưu số vận tốc ( hằng số)
- Hàm thế:
- Hàm dòng :
- Đây là một chuyển động thế
π
θ π
Γ
ϕ =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
Γ
= ϕ
x
y arctg
2
) r ln(
π
Γ
ψ = −
) y x
−
= π
Γ ψ
4 Lưỡng cực:
- Điểm nguồn + hút có cùng lưu lượng q đặt cách nhau một đoạn ε vôâ cùng nhỏ trên trục hoành
ε/2
q ε/2 -q
Nguồn Hút
o
y
x
- Hàm thế ϕ= ϕN+ ϕH Với điểm nguồn và điểm hút nằm ở tâm
q
π
= ϕ
Mà: ln(1+x) = x-x2/2 + x3/3 -
=
( 2 2)
4 Ln x y
q
π
=
4 Ln x y
q
π
−
= ϕ
q
π
−
= ϕ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
= +
π ϕ ϕ ϕ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎜
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
y x
y x
ln
q
ε
ε π
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ +
−
+ + +
y x
x
y x
x ln
q
ε ε
ε ε
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+ + ε
ε π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
y x x
x ln
q
ε
ε π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
y x x
x q
ε
ε π
ϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ ε
−
+ ε + ε + ε
−
2 2
y x x x x ln q
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ ε
−
ε + + ε
−
2
x y x x ln q
Trang 6- Khi ε → 0 thì εq → m0 ( mo:cường độ của lưỡng cực)
Lưỡng cực được định nghĩa
Lưỡng cực
Trong tọa độ cực
- Hàm dòng : Tương tự có
Trong tọa độ cực
x
y
o
ϕ
ψ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
y x x
x q
ε
ε π
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
x q
lim
ε π
ϕ ε
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ + π
=
x m
r
cos m
π
θ
ϕ =
y x
y m
+
−
= π ψ
r
sin m
π
θ
ψ = −
III CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ
Các thế lưu đều thỏa mãn pt Laplace
Chồng chập chuyển động thế sẽ cho ra một chuyển động thế
1 Chuyển động qua nửa cố thể
Dòng đều + nguồn
Hàm thế vận tốc
ϕ= ϕu+ ϕs =
π
Hàm dòng ψ= ψu+ ψs =
π
θ π
q
Trang 7π θ
Thành phần vận tốc
π θ
∂
∂
=
θ
ϕ
∂
∂
=
Điểm dừng (u = 0) ( ur= 0 và uθ= 0 )
Những điểm trên trên trục x : uθ= 0
π
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
π π
Phường trình đường dòng đi ngang qua điểm dừng S
θ π θ
=
π ψ
=
π θ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
θ
θ
π π
π
Điểm dừng
•
= ψ
Kết hợp một chuyển động đều và một điểm nguồn có thể dùng để mô tả dòng chảy bao quanh nửa cố thể
Nửa cố thể
q/(2Uo)
2 Chuyển động bao quanh trụ tròn
x y
o
Uo Dòng đều (Uo) + Lưỡng cực (m0)
Hàm thế vận tốc
ϕ= ϕu+ ϕd =
ϕ= ϕu+ ϕd = Tọa độ cực
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ + π
x m x
U o
r
cos m cos r U
π
θ +
θ 2
0 0
Tọa độ descartes
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π + θ
=
r
m r U cos
2 0 0
Hàm dòng
ψ= ψu+ ψd = Tọa độ descartes
ψ= ψu+ ψd = Tọa độ cực
2 2
0
y m y U
+ π
−
r
sin m sin r U
π
θ
− θ 2
0 0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
− θ
=
r
m r U sin
2 0 0
Trang 8⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
− θ
= ψ
r
m r U sin
2 0 0
Đường dòng với ψ = 0
0
2 0
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
− θ
r
m r U sin
π
= θ
→
=
2 0
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
r
m r U
π
=
Đường dòng là 1 vòng tròn tâm
O bán kính r
q
ψ= 0 ψ= 0
or
Các đường dòng ψ = ψ1, ψ = ψ2, … Có dạng nhu trên hình vẽ
Uo
ψ =ψ1
Một dòng đều kết hợp với một lưỡng cực có thể dùng để mô tả dòng chảy bao quanh một trụ tròn Nếu trụ tròn có bán kính rothì lưỡng cực có cường độ mo là
π
= π
= Như vậy dòng chảy bao quanh trụ tròn bán kính
r0có hàm thế vận tốc và hàm dòng
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + θ
=
r
r cos r
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− θ
=
r
r sin r
U o
q
Uo
ψ= 0
ψ= ψ2
ψ =ψ2
Thành phần vận tốc
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
ϕ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
=
∂
∂
θ
ϕ
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
Trêân bề mặt hình trụ ( r = r0)
Vận tốc cực đại A and B ( θ = ±π/2)
A
B
Điểm dừng C và D ( θ = 0, π)
C D
0
2U
0
=
= θ
θC u D
u
Trang 9Áp suất phân bố trên mặt trụ
Xét một điểm ở xa mặt trụ có vận tốc Uo, áp suất p0and và một điểm trên mặt trụ vận tốc us, áp suất ps
Áp dụng pt Bernoulli
+ +
= + +
ρ ρ
Bỏ qua sự thay đổi (z) và thay uS
ρ
θ
−
= +
+
=
q
Uo
ψ= 0
ψ= ψ2
ψ =ψ2
A
B
C D
Aùp suất cực đạïi tại C và D
Nếu p0 là áp suất khí trời po= 0
=
ρ
=
= Áp suất cực tiểu tại A và B = =− ρ
( − θ) ρ
=
0
0 1 4 2
p
p S
2 0
0 C 21 U
p
Áp suất phân bố trên mặt trụ
Dòng chảy thế
= 1 4sin2
C p
Đường màu đỏ , đối xứng Dòng chảy có quay
Cp không đối xứng , thí nghiệm cho đường màu xanh
Quan sát dòng chảy thế và dòng chảy có quay qua một xe đang chuyển động
Trang 103 Dòng chảy bao quanh trụ tròn với một xoáy tự do
π
Γ
−
=
Uo
r0
Dòng chảy bao quanh trụ tròn r0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
ψ
Dòng chảy bao quanh trụ tròn + Xoáy tự do
θ π θ
ϕ ϕ
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= +
=
π θ
ψ ψ
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= +
=
Hàm thế vận tốc
Hàm dòng
Thành phần vận tốc trên mặt trụ
=
∂
∂
π
θ θ
ϕ
θ
Γ +
−
=
∂
∂
Điểm dừng ( ur= 0 và uθ=0) trên mặt trụ
=
π
θ
θ
Γ +
−
= Vận tốc trên mặt trụ
π
θ
π
π
π
<
π
=
π
>
Γ Không có điểm dừng trên mặt trụ ( điểm
dừng nằm ngoài mặt trụ)
π
<
Γ
=
U
o
r
0
Trang 11Áp suất trên mặt trụ
Từ pt Bernoulli equation, xét điểm o ở xa mặt trụ và điểm s nằm trên mặt trụï
+ +
= + +
ρ ρ
Bỏ qua sự thay đổi (z) và thay us vào
ρ π
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
−
= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
Γ +
− +
=
π π
θ θ
ρ
Tồng lực tác dụng trêân mặt trụ( cho 1 đơn vị chiều dài tru )ï
=
−
θ θ
π
∫
−
Lực nâng Fyđược gọi gọi là hiệu ứng Magnus
(Kutta – Jouskowky law)
Fy
ps
dA = r0dθ
y
θ
r0
U
o
Sự phân bố áp suất trên mặt trụ khi Re lớn
Dòng chảy qua một cánh
Trang 12ϕ ϕ ϕ ϕ
ψ ψ ψ ψ ψ
y
U o
= ψ
A B
yA
yB
Xác định l u l ng qua A-B ?
Thí dụ 1: