Goùi H laứ trung ủieồm AD, ta coự:BC⊥ SHI.. b α Caột hỡnh choựp theo thieỏt dieọn laứ hỡnh thang BCFE... Dễ chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
Trang 1Sở GD & ĐT Hải Dơng
Trờng THPT Phúc Thành
-o0o
-Đề chính thức
Đề khảo sát học sinh lớp 11 môn toán
(Thời gian làm bài : 150 phút )
CAÂU I ( 3 điểm )
Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:
1) x+ 4−x2 = +2 3x 4−x2
2) x2−4x+ −3 2x2− + ≥ −3x 1 x 1
4
CAÂU II ( 3 điểm )
0
lim
x
I
x
→
=
2) Cho m bụng hồng trắng và n bụng hồng nhung khỏc nhau Tớnh xỏc suất để lấy được 5 bụng hồng trong đú cú ớt nhất 3 bụng hồng nhung ? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
3
1
9 19
2 2 720
m
n
P
−
+
−
+ + <
3) Tam giác ABC có các góc thoả mãn:
A+ B + C = cos + +
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
CAÂU III ( 3 điểm )
Cho hỡnh vuoõng ABCD caùnh a Goùi O laứ giao ủieồm hai ủửụứng cheựo Treõn nửỷa ủửụứng thaỳng Ox vuoõng goực vụựi maởt phaỳng chửựa hỡnh vuoõng, ta laỏy ủieồm S sao cho goực
ˆ 60
a) Tớnh khoaỷng caựch giửừa 2 ủửụứng thaỳng BC vaứ SD ( theo a)
b) Goùi ( )α laứ maởt phaỳng chửựa BC vaứ vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (SAD) Tớnh dieọn tớch thieỏt dieọn taùo bụỷi ( )α vaứ hỡnh choựp S.ABCD ( theo a)
CAÂU IV ( 1 điểm )
Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi α β γ , , lần lợt là góc của OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC).
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c
b) Tìm giá trị lớn nhất của:
Q = sin sinα β +sin sinβ γ +sin sinγ α Hết
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm !
Trang 2Đáp án và biểu điểm toán 11
Câu
I
3
đ
1) Điều kiện x∈ − [ 2; 2] - 1 đ
Đặt t = x+ 4 −x2
=> t2 = + 4 2x 4 −x2 => 2 2 4
4
2
t
x −x = −
Khi đó phơng trình có dạng:
t = 2 + 3( 2 4)
2
4 3
t t
=
= −
Với t = 2 ta có x+ 4 −x2 = 2 ⇔ 4 −x2 = − 2 x => x = 0 ; x = 2
Với t = - 4/3 ta có x+ 4 −x2 = -4
4
3
− = − − =>
x + x− = ⇔ =x − ± → =x − − ( Đối chiếu với ĐK )
3
x= − −
0.25
0.25 0.25
0.25
2
x
− + ≥
Nhận xét x = 1 là 1 nghiệm của bpt
2
3 − −x 1 2 − x≥ − − ⇔ 1 x 3 − +x 1 − ≥x 1 2 − x
4 2 2 (3 ).(1 ) 1 2
3 (3 ).(1 ) 0
2
≤
Nếu x≥ 3 chia cả hai vế của BPT cho x− 1 ta có:
x− − x− ≥ x− ⇔ x− ≥ x− + x−
3 3 2 2 (2 1).( 1) (2 1).( 1) 1 2
⇔ − − ≤ − − Vô lý do vế trái không âm còn vế phải âm.
2
⇔ ∈ −∞ ∪
0.25 0.25
0.25
0.25
3) Pt đã cho tơng đơng với: (sinx + 1).( 2sin2x -1 ) = 0
2
x π k π k Z
5 2
12
k Z
= +
= +
0.5 0.25
0.25
Trang 3Câu
II
3
điểm
3
0
2
0
1 3 (1 ) 1 2 (1 )
1 2 1 (1 3 ) (1 ) 1 3 (1 )
lim
lim
x
x
I
I
→
→
3 0
1 2 1 (1 3 ) (1 ) 1 3 (1 )
lim
x
x I
→
1 1 1
2 2
I = − + = −
Vậy I = -1
2
0.25
0.25
0.25
0.25
2) Xét hệ
3 1
9 19
(1)
2 2 720(2)
m
n
P
− +
−
Từ (2): (n− 1 )! = 720 = 6 ! ⇔n− 1 = 6 ⇔n= 7 (3)
Thay n = 7 vào (1)
2!( 2)! 2!8! 2 2 ( 1)!
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2
2
<
+
−
⇔
<
+ +
−
⇔
<
+ +
−
⇔
m m
m m
m
m m
m
11
9 < <
⇔ m vỡ m∈ Ζ ⇒m= 10
Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta cú 10 bụng hồng trắng và 7 bụng hồng nhung,
để lấy được ớt nhất 3 bụng hồng nhung trong 5 bụng hồng ta cú cỏc TH
sau:
TH1: 3 bụng hồng nhung, 2 bụng hồng trắng cú:
2 1575
10
3
7 C =
TH2: 4 bụng hồng nhung, 1 bụng hồng trắng cú:
1 350
10
4
7 C =
TH3: 5 bụng hồng nhung cú:
5 21
7 =
Số cỏch lấy 5 bụng hồng thường
% 45 , 31 6188 1946
6188
5 17
≈
=
⇒
=
P C
0.25
0.25
0.25
0.25
3) Bổ đề : a, b > 0 ta có: 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ dấu “ = ” khi a = b
0.25
Trang 4áp dụng ta có:
sin sin cos
2
Hay
C
+
Tơng tự:
sin sin cos
2
A
B+ C ≥
và sin1 sin1 cos2
2
B
C+ A≥
Cộng vế theo vế ta có
A+ B + C ≥cos + +
cos
A B C
⇔ = = ⇔
Tam giác ABC đều => điều phải chứng minh
0.25
0.25
0.25
Câu
III
3
điểm
a) Khoaỷng caựch giửừa BC vaứ SD 1.25 ( đ )
Ta coự SO laứ truùc hỡnh vuoõng ABCD vaứ SCBẳ =600
Vaứ BC// (SAD) neõn d(BC, SD) = d(I,(SAD))
Vụựi I laứ trung ủieồm CB Goùi H laứ trung ủieồm AD, ta coự:BC⊥ (SHI)
Veừ IJ ⊥SH ta coự IJ ⊥ (SAD)
Tam giaực SIH coự
2
3 3 2
a a
IJ SH
a
3
a b) ( ) α Caột hỡnh choựp theo thieỏt dieọn laứ
hỡnh thang BCFE Do hỡnh choựp ủeàu
neõn BCFE laứ hỡnh thang caõn:
(EF+BC).IJ
S BCF = ( Hình vẽ : 0.5 đ )
3
2
a SJ
SH a
3
a EF
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.5 0.25
0.25
Trang 5Câu
IV
1
điểm
N
M
H
C
B
A
O
Gọi H là hình chiếu của O xuống mp(ABC) Dễ chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
OM =OB +OC =b +c
b c
=
2 2 2 2 2 2
2 2
b c a c a b
b c
+
OH =OM +OA =OA +OB +OC (1)
Từ (1) và (2) => sin2α +sin2β +sin2γ =1
Lại có 1 sin= 2α +sin2 β +sin2γ ≥sin sinα β+sin sinβ γ +sin sinγ α
Từ đó giá trị lớn nhất của Q = 1 Khi và chỉ khi a = b = c
( Không tính điểm vẽ hình )
0.25
0.25
0.25
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa!
