Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp véc tơ

Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và cách giải rất linh hoạt, đặcbiệt là phương trình vô tỷ.Trong năm học trước và năm học này phương trình vô tỷ ít xuất hiện trongcác đề thi Đ

Phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán phổthông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và cách giải rất linh hoạt, đặcbiệt là phương trình vô tỷ.

Trong năm học trước và năm học này phương trình vô tỷ ít xuất hiện trongcác đề thi Đai Học và Cao Đẳng là do nội dung này nằm trong chương trình lớp

10 Nhưng từ kì thi THPT quốc gia năm 2019 thì nội dung này chắc chắn sẽ cótrong nội dung thi Vì vậy việc trang bị cho các em kiến thức liên quan đếnphương trình vô tỷ kèm theo kiến thức giải chúng ngay từ lớp 10 là rất cần thiết

Qua đó giúp các em có một cái nhìn đầy đủ hơn, tự tin hơn về dạng Toánnày rèn luyện kỹ năng kỹ xảo , phát triển tư duy và chuẩn bị tốt cho các kì thi

PHẦN II: NỘI DUNG

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Khử căn bằng các phương pháp chính như nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,lượng giác , hình học

Ngoài ra có thể dùng phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số trongmột số bài toán đặc biệt

B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Là phương pháp sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổiphương trình về phương trình đã biết cách giải

Một số phép biến đổi tương đương :

Cộng, trừ vào hai vế của phương trình với cùng một biểu thức mà khôngthay đổi tập nghiệm của phương trình Nhân, chia hai vế của phương trình vớicùng biểu thức khác không mà không làm thay đổi tập nghiệm của phươngtrình

Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình

Lũy thừa bậc chẵn hai vế., khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phươngtrình không âm

20

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

00

000

2

70

x x

Đối chiếu đk suy ra pt có nghiệm duy nhất x=0

Vi dụ 3: Tìm m để pt 2x2 +mx− = +3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.

Ta thấy pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy pt có hai nghiệm như trên

Ở ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:

1) Bài toán trên còn có cách giải như sau:

* x = 0 là một nghiệm của phương trình

2) Khi biến đổi , học sinh thường mắc sai lầm khi cho rằng ab = a b. Đẳng thức này chỉ đúng khi ,a b≥0. Nếu ,a b 0 thì ≤ ab = −a. −b.

Chú ý: Một số phương trình nếu giải theo cách thông thường thì phức tạp,

vì vậy ta nên tăng cường phát hiện mối quan hệ của các biểu thức trong phương trình, đôi khi sử dụng phép biến đổi hệ quả

Giải phương trình không khó nhưng hơi phức tạp

Sẽ rất đơn giản nếu ta đưa về 3x+ −1 2x+ =2 4x − x+3:

Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả:

Bình phương hai vế phương trình?

Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào ?

 = −+ = − + ⇔ − + = ⇔ 

e Tìm m để phương trình 2x2 +4x m+ = −x 3 có nghiệm

2 Trục căn thức:

2.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung:

Cơ sở của phương pháp này là: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩmđược nghiệm x Như vậy pt luôn phân tích thành dạng tích 0 ( x x A x− 0) ( ) =0

ta có thể giải pt A(x) = 0 hoặc chứng minh A(x) = 0 vô nghiệm dựa vào điềukiện của ẩn

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 2− −x 3+x =1 + x

đk: 3− ≤ ≤x 2

nghiệm vì VT > 0 với những x thuộc tập xác định của bài toán.

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của pt

Bài tập áp dụng : Giải các pt sau:

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường đưa về pt đã biết cách giải

Đối với nhiều pt vô tỷ, ta có thể đặt t = f(x) và chú ý điều kiện

của t Nếu pt ban đầu trở thành pt chứa một biến t thì việc đặt

ẩn phụ xem như hoàn toàn

Ví dụ 1.Giải phương trình: x− x2 − +1 x+ x2 − =1 2

Đk: x≥1

Nhận xét:Đối với cách đặt ẩn phụ như trên ta chỉ giải quyết được

một lớp bài toán đơn giản, một số bài đối với ẩn mới lại quá khó

2 Đặt ẩn phụ đưa về pt đẳng cấp bậc hai đối với hai biến:

Chúng ta đã biết cách giải pt: aX2 +bXY cY+ 2 =0 1 ( )

2 3, 02

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương pháp: Một số phương trình khi đặt ẩn mới thì đưa về phương

trình phức tạp hơn phương trình ban đầu Vì vậy ta không đưa hoàn toàn về ẩn mới mà có một số biểu thức của ẩn cũ được giữ lại

Đặt t= f x( ), t 0; pt đã cho trở thành: ≥ t2 −t Q x ( ) +P x( ) =0

Sau đó giải t theo x rồi thay vào pt f x( ) =t rồi đưa ra kết luận.

Giải hệ này được ( ) ( ) ( ) ( )x y; = 2;3 ; ;x y = 3;2

Vậy nghiệm của pt là x = 2; x = 3

1

12

Đk: x≥1

( )

2 2

5 11; 5 1; 0; 0

Hệ này biết cách giải GV gọi HS làm

Bài tâp áp dụng: Giải các phương trình sau:

4.2 Đưa về hệ đối xứng loại 2:

Dạng 1: x n + =b a ax b n −

Cách giải: Đặt y =n ax b+ ta có hệ đối xứng loại 2

n n



Ví dụ: Giải phương trình: x3 + =1 2 23 x−1

Đặt

3 3

Giải hệ này ta suy ra x=8030 2 8029+4 ( )tm

 Giải hệ này ta được x y= = +2 2.

Vậy nghiệm của pt là x= +2 2

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình: a 2x2 −6x− =1 4x+5

Bài tâp áp dung: Giải phương trình: x2 −2x− =3 x+3

4.3 Đặt ẩn phu đưa về hệ gần đối xứng

Ví dụ: Giải phương trình: 4x2 + −5 13x+ 3x + =1 0

Nếu biến đổi như các pt trước thì:

Ta chọn ,α β sao cho α + β =y 3x+1 sau đưa về hệ có thể giải được

Ta có thể giải như sau:

Vậy pt có hai nghiệm như trên

Chú ý: Phương trình viết như sau: ( )2

2x−3 = − 3x+ + +1 x 4

Ta đặt 3x+ = − +1 2y 3,nếu đặt 2y− =3 3x+1 thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn., ta thấy dấu của α cùng dấu với trước căn.

Bài tập áp dụng:

Vì a > 0 nên a = 1 => x = 1 Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn.

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 1

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

x x

IV PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ

1 Phương pháp: Sử dụng các bất đẳng thức vec tơ và xét

trường hợp xảy ra dấu bằng

* a bv v+ ≤ +ar br Dấu bằng xảy ra khi av cùng hướng với br

* a br r− ≤ +ar br Dấu bằng xảy ra khi ar ngược hướng với br

* a br r≤ a br r Dấu bằng xảy ra khi ar cùng hướng với br

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x2 −4x + +2 4x2 −12x+13 = 13

HD giải:

Pt tương đương với ( )2 ( )2

2x−1 + +1 2x−3 + =4 13Trong mp Oxy chọn a xr(2 −1;1) ( ; br 3 2 ;2− x ) ⇒ + =a br r ( )2;3

Khi đó phương trình thành ar + = + ⇔br a br r a br r; cùng hướng hay tồn tại

số k dương sao cho b kar= r

x =

Ví dụ 2: Giải phương trình: 9x3 −18x2 + 36x2 −9x3 = +9 x2HD: đk: … 2≤ ≤x 4

Bài tâp áp dụng: Giải các phương trình sau:

a 5x2 +12x+ +9 5x2 −12x+ =8 29

b 10 3− x x− 2 + 18 7− x x− 2 = 77

c x2 −4x+ −5 x2 −10x+50 =5

PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIỂM NGHIỆM

Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỷ trong khuôn khổchương trình lớp 10 Khi dạy xong nội dung này cho học sinh, đa số các em đã

có được kỹ năng giải bài tập về phần này tốt hơn, biết nhận dạng cũng như biếtcách đưa một phương trình vô tỷ hay bất phương trình vô tỷ về dạng quen thuộc

đã biết cách giải và còn có thể làm được các bài tập chứa căn thức khác nữa Cụthể là trước khi dạy chuyên đề này thì 10% học sinh trong lớp chưa thành thạogiải bài tập phương trình vô tỉ dạng nhận biết Sau khi dạy xong chuyên đề nàythì 100% học sinh biết làm bài tập phương trình vô tỉ ở dạng thông hiểu, họcsinh hứng thú hơn với việc học toán Từ đó học sinh phát triển kỹ năng, kỹ xảo,

tư duy, chuẩn bị tốt cho việc ôn thi Đại học Tuy vậy biển học là vô cùng, sựsáng tạo của con người là vô hạn

Dù cố gắng tìm tòi, nhưng bài viết còn nhiều hạn chế, mong các thầy côgóp ý chân thành và bổ sung

Thiệu Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2018

của mình viết, không sao chépnội dung của người khác

Lê Anh Dũng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phương pháp giải phương trình vô tỷ của Nguyễn Quốc Hoàn.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ của Nguyễn

Phi Hùng

3. SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.

4 vnmath.

MỤC LỤC

III Phương pháp đánh giá 18- 19

IV Phương pháp véc tơ 19- 20Phần III Kết luận và kiểm nghiệm 20