một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc thcs

Chính vì vậytrong quá trình dạy học người giáo viên phải giúp học sinh phát triển tư duy logic,tổng hợp kiến thức, hinh thành các phương pháp làm các dạng bài tập khác nhaucho cả ba phân

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Môn Toán cũng như những môn học khác, có vai trò quan trọng trong việcgóp phần thực hiện mục tiêu đào tạo những con người, làm chủ tri thức khoa học vàcông nghệ hiện đại, có tư duy sáng tao, có kĩ năng thực hành giỏi…Đặc biệt cáckiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốtcác môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực

Để đạt được mục tiêu trên mỗi người tham gia công tác giáo dục phải làm gìtrong sự nghiệp trồng người? Mỗi giờ lên lớp của người giáo viên phải làm đượcnhững gì? Chuẩn mực nào cho phép ta đánh giá hoạt đông dạy và học được xem là

có hiệu quả? Ngoài việc mỗi tiết dạy trên lớp của giáo viên thật hấp dẫn, lôi cuốnđược học sinh tham gia phát biểu xây dựng bài thì điều quan trọng hơn cả là giáoviên phải giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, biết tìm ra cho mình phươngpháp học tập, biến tri thức của nhân loại thành tri thức cho bản thân Chính vì vậytrong quá trình dạy học người giáo viên phải giúp học sinh phát triển tư duy logic,tổng hợp kiến thức, hinh thành các phương pháp làm các dạng bài tập khác nhaucho cả ba phân môn: Số học, đại số và hình học Trong đó hai phân môn số học vàđại số thường có các thuật toán cụ thể nên các em sớm phân dạng và tìm ra phươngpháp giải cho mỗi dạng bài tập Ngược lại phân môn hình học các em vận dụng cáckhái niệm, định lí, tính chất vào làm bài tập nhưng ít em phân được dạng bài tập vàphương pháp giải các dạng bài tập đó Hơn thế nữa học sinh còn không biết vậndụng kiến thức liên phân môn vào giải các dạng bài tập khác nhau, như vận dụngkiến thức phân môn hình học vào làm bài tập đại số hoặc ngược lại, vận dụng kiếnthức phân môn đại số vào giải các bài tập hình học Do đó giáo viên phải là ngườidẫn đường cho học sinh nhìn thấy được kiến thức hình học và đại số không phải làtừng phần kiến thức riêng biệt mà chúng có sự bổ trợ cho nhau, để các em thấyđược điều lí thú khi học môn Toán, từ đó các em lĩnh hội kiến thức môn Toán ngàycàng tốt hơn Cụ thể, trong bài viết này tôi xin nêu ra: “Một số phương pháp chứngminh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS” trong đó có một số phương pháp có sửdụng kiến thức đại số vào giải bài tập hình học

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

1 Đối tượng nghiên cứu:

Các em học sinh lớp 7, 8, 9 Trong đó có đủ các đối tượng học sinh: Giỏi,khá, trung bình, yếu, kém

2 Phạm vi nghiên cứu:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

III Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:

1 Mục đích nghiên cứu:

Hình thành cho học sinh có được một số phương pháp chứng minh bất

đẳng thức hình học ở bậc THCS, để các em tháo gỡ được những khó khăn khi gặpdạng toán này

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 1

Giúp các em hiểu được trong quá trình học có thể vận dụng kiến thức liên

phân môn giữa đại số và hình học để giải bài tập toán

Nâng cao chất lượng dạy và học môn toán và đặc biệt là phân môn hình

học

2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu về tình hình dạy và học một số phương pháp chứng minh bất

đẳng thức hình học ở cấp THCS

Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi thực thi đề tài

Rút ra được những kinh nghiệm có giá trị thiết thực, phục vụ cho công việcdạy và học

IV Giả thiết khoa học:

Sau khi áp dụng được một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hìnhhọc ở bậc THCS sẽ nâng cao được chất lượng dạy và học, tháo gỡ được nhữngvướng mắc của học sinh khi gặp dạng toán này Giúp các em biết vận dụng kiếnthức liên phân môn giữa đại số và hình học, đặc biệt là đối tượng học sinh khá, giỏiphát triển tư duy logic, tổng hợp kiến thức, hình thành các phương pháp giải bài tậpchứng minh bất đẳng thức hình học và rèn luyện kỹ năng làm các dạng bài tập đó

V Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu qua sách giáo khoa và tài liệu tham khảo khác

Nghiên cứu qua tình hình thực tế trong quá trình giảng dạy

Tự rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy và đóng góp của đồng nghiệp

.Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn Cạnh đối

diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

Trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 2

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường nào có

hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn Ngược lại đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếulớn hơn

Trong một tam giác mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu

của hai cạnh đó

Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất.

Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm

hơn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Với một tam giác ABC bất kì, ta có:

SABC

1 2

 AB.AC, SABC

1 2

 BC.BA, SABC

1 2

 CA.CB

Cho A(x), B(x), f(x) có miền xác định D R Ta có: [f(x)]2  0, với mọi

x  D

Từ đó suy ra:

A(x) = [f(x)]2 + m  m nếu tồn tại x = x0  D sao cho

[f(x)]2 + m = m tức là [f(x0)]2 = 0 thì m là giá trị nhỏ nhất của A(x) và kí hiệuminA(x) = m  x = x0

B(x) = M – [f(x)]2 M nếu tồn tại x = x0  D sao cho

M – [f(x)]2 = M tức là [f(x0)]2 = 0 thì M là giá trị lớn nhất của B(x) và kí hiệumaxB(x) = M  x = x0

Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số a, b không âm ta có:

Với những kiến thức nêu trên, trong quá trình dạy chúng ta phải giúp các em

tự xây dựng các phương pháp giải dạng bài toán: “Chứng minh bất đẳng thức hìnhhọc”và biết vận dụng linh hoạt vào mỗi bài tập khác nhau, giúp các em vượt quanhững bế tắc, khó khăn khi gặp những dạng toán nêu trên

2 Cơ sở thực tiễn:

Trong quá trình dạy học phân môn hình học ở lớp 7, 8, 9 học sinh khi gặpdạng bài tập: “Chứng minh bất đẳng thức hình học” các em thường khó có địnhhướng cho mình vận dụng kiến thức nào để giải bài toán đó, bởi vì trong phần líthuyết sách giáo khoa chỉ có duy nhất ở sách giáo khoa toán 7 có một bài dùngthuật ngữ: “Bất đẳng thức”đó là bài : “Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác.Bất đẳng thức tam giác.” Chính vì thế chỉ có một bộ phận học sinh khá, giỏi biếtvận dụng bất đẳng thức tam giác để giải bài toán: “Chứng minh bất đẳng thức hìnhhọc”, ngoài ra các em không tìm được cho mình phương pháp nào khác nữa Do đó

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 3

đây là dạng bài tập khó cho các em, đặc biệt là những em có học lực từ trung bìnhtrở xuống

II Đánh giá thực trạng:

Tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên một

số lớp trước khi thực thi đề tài thì thu được kết quả sau:

Ưu điểm: Đa số các em đều thuộc bất đẳng thức tam giác.

Nhược điểm: Ngoại trừ học sinh khá, giỏi còn lại số học sinh có học lực từ

trung bình trở xuống chỉ thuộc bất đẳng thức tam giác, nhưng không vận dụng đúngbất đẳng thức tam giác khi giải bài toán chứng minh bất đẳng thức hình học Hơnthế nữa, phần lớn các em cứ nghĩ rằng bất đẳng thức tam giác áp dụng giải đượccho tất cả các bài tập thuộc dạng toán nêu trên, mà các em không tìm được nhữngphương pháp nào nữa để giải các bài tập khác nhau của dạng đó

Nguyên nhân: Trong chương trình hình học THCS chỉ có duy nhất một bài

ở sách giáo khoa toán 7 có dùng thuật ngữ: “ Bất đẳng thức” đó là bài: “Quan hệgiữa ba cạnh trong một tam giác Bất đẳng thức tam giác” Mặt khác các em khôngnắm vững kiến thức cơ bản(đã nêu ở phần cơ sở lí luận) và các em không cụ thểhóa được lượng kiến thức nội dung chương trình sách giáo khoa THCS đề cập dướidạng ngôn ngữ hình học khác nhau, những lượng kiến thức đó áp dụng rất tốt trongviệc giải bài tập chứng minh bất đẳng thức hình học

Qua kết quả khảo sát trên ta thấy rằng, số lượng học sinh đạt điểm giỏi vàkhá rất thấp, số các em đạt điểm từ trung bình trở chỉ đạt trong khoảng 32% đến37%, còn số các em đạt điểm kém rất nhiều

Vì vậy trong quá trình giảng dạy, tôi đã hình thành cho các em học sinh lớp

7, 8, 9 nhiều phương pháp giải dạng bài tập: “Chứng minh bất đẳng thức hìnhhọc”, để giúp các em tháo gỡ những khó khăn của mình Tuy nhiên trong bài viếtnày tôi xin đi sâu vào một số phương pháp hay sử dụng để giải dạng bài tập nêutrên Đặc biệt là có ba phương pháp sử dụng kiến thức phân môn đại số giúp các

em học sinh khá, giỏi vận dụng để giải những bài tập khó của dạng toán trên

III Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS:

1.Phương pháp thứ nhất:

Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳngđến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 4

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng SABCD  1

2AC.BD Dấu “=” xẩy rakhi nào?

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi AC  BD tại O

Nhận xét: Trong bài tập trên ta đã xét quan hệ giữa đường xiên AO

và đường vuông góc AH để từ đó chứng minh được diện tích một tam giác luôn béhơn hoặc bằng một nữa tích hai cạnh bất kì trong tam giác đó

Ví dụ 2: Cho ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của AC Gọi E, F theo thứ tự

là chân đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM

a Chứng minh rằng AC > AE + CF

b Chứng minh rằng AB < 1

2( BE + BF)

Giải :

a.Trong tam giác vuông EAM, ta có: AM > AE (1)

(hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Trong tam giác vuông FCM, ta có: CM > CF (2)

(hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta có:

AM + CM > AE + CF  AC > AE + CF

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 5

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Kẻ AH BD tại H

Ta có: SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA

Ta có AH  OA (quan hệ giữa đường xiên và đường

= 900Tương tự ta có: SBOC

1 2

E M

C B

A

b Xét hai tam giác vuông EAM và FCM, ta có:

AM = CM, vì M là trung điểm AC

Nhận xét: Bài tập ở ví dụ 2 tất cả các đối tượng học sinh ở các lớp 7 đều

tham gia giải được, đây là bài tập không khó, sử dụng kiến thức lớp 7 để giải bàitoán

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; R), AB là dây cung(AB 2R) C là điểm chính giữacủa cung AB, M là điểm trên cung AB Đường thẳng OC cắt dây AB ở K Vẽ MH

 AB, H  AB.Chứng minh rằng MH  CK

Dấu “=” xẩy ra  M trùng C, khi đó H trùng K

Nhận xét: Ví dụ 3 là một bài tập cho đối tượng học sinh lớp 9, được vận dụng kiến

thức lớp 7 để giải

2.Phương pháp thứ hai:

Vân dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác:

Trong một tam giác: Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 6

H

C M

B

O A

Ví dụ 4:Cho ABC có Â tù Gọi M là trung điểm của AC Gọi E, F thứ tự là chânđường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM.

Chứng minh rằng AB < 1

2( BE + BF)

Giải

Xét hai tam giác vuông EAM và FCM, ta có:

AM = CM(vì M là trung điểm AC)

1 2

M M ( đối đỉnh)

Do đó EAM FCM ( cạnh huyền -góc nhọn)

Suy ra EM = FM

Trong tam giác ABM có Â tù nên ta có:

AB < BM (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác )

Nhận xét: Ở ví dụ 4 thay đổi số đo của góc A so với ví dụ 2 Và đây là một

bài tập chủ yếu dùng cho đối tượng học sinh lớp 7

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có AC = AD Chứng minh rằng: BC < BD.

 nên BC < BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

trong một tam giác )

Nhận xét: Bài tập ví dụ 5 được áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh lớp

7, vì đó là một bài tập dễ, vận dụng kiến thức lớp 7 để giải

3 Phương pháp thứ ba:

Vận dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu hai cạnh đó.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 7

E M

C B

A

AB + CD < AC + BD

Giải:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo

Ta có:

AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD)

=(AO + OB) + (OC + OD) > AB + CD

R O

A

B

Trường hợp dây AB là đường kính Ta có AB = 2R

Trường hợp dây AB không là đường kính:

Xét ABO, ta có AB < OA + OB= R + R = 2R( bất đẳng thức tam giác)

Vậy cả hai trường hợp ta luôn có AB 2R

Ví dụ 8: Cho ABC và M là điểm nằm giữa B và C

a Chứng minh rằng MA nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC

b Trong trường hợp M là trung điểm BC Chứng minh rằng: MA < 1

b Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = KM

Xét hai tam giác AMCvà KMB, ta có:

AM = KM

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 8

2 1 A

D M

K

M1 M2( đối đỉnh)

CM = BM, vì M là trung điểm BC

Do đó AMC=KMBsuy ra BK = AC

Trong AKB , ta có : AK < AB + BK (bất đẳng thức tam giác)

Xét ABM có: AM > AB – BM(bất đẳng thức tam giác) (9)

Xét ACM có: AM > AC – MC (bất đẳng thức tam giác) (10)

Nhận xét: Cả 4 ví dụ 6, 7, 8,9 đều vận dụng kiến thức lớp 7 để giải Trong

đó, ví dụ 8 và 9 chủ yếu dành cho đối tượng học sinh có học lực từ khá trở lên

4 Phương pháp thứ tư:

Vận dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ví dụ10: Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm Gọi M là trung điểm

của AB Qua M vẽ dây CD(không trùng với AB) Chứng minh rằng: AB < CD

O

H M

D

C

B A

Do M là trung điểm của AB nên OM AB

Vẽ OH CD Xét OHM vuông tại H có OH < OM( cạnh góc vuông bé hơncạnh huyền)

=>AB < CD( vì dây CD gần tâm hơn dây AB)

Ví dụ11: Cho ABC, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác, D, E, Fthứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, AC Cho biết ^

A > ^

B > ^

C Chứng minhrằng OE < OF < OD.(SBT Toán 9 Tập 1)

Ví dụ12: Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong

đường tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Cho biết AB > CD,chứng minh rằng MH > MK

Ta có AB > CD nên OH < OK (trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn

hơn thì dây đó gần tâm hơn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn)

Nhận xét: Các ví dụ trong phương pháp 4 là các bài tập dễ, được áp dụng

cho tất cả các em học sinh lớp 9

5 Phương pháp thứ năm:

Vận dụng định lí: Trong các dây của đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất

Ví dụ13: Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao Chứng minh rằng:

Ta có DE là một dây khác đường kính của đường tròn đường kính BC nên

DE < BC( đường kính là dây lớn nhất của đường tròn).

Ví dụ14: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm di

động trên trên cung nhỏ BC Chứng minh rằng MA + MB + MC  4R

Với AM’ là một đường kính của đường tròn ta có:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2013-2014 11

D

M

E

C B

A

O D

M' M

C B

A

MA + MB + MC = 2MA  2AM’ = 2.2R = 4R (trong các dây của đường tròn thì

đường kính là dây lớn nhất)

Vậy MA + MB + MC  4R(đpcm)

Dấu “=” xẩy ra  M trùng với M’, trong đó M’ là điểm chính giữa cung BC nhỏ

Ví dụ 15: Cho đường tròn (O) đường kính AB, các dây AC, AD Điểm E bất kì

nằm trên (O), vẽ EF vuông góc với AC( F  AC); EG vuông góc với AD(G AD) Chứng minh rằng FG  AB

Giải:

Ta có A ^

F E = A ^

G E = 900 nên A, G, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính

AE Mà FG là một dây bất kì do đó FG  AE(16)

(trong các dây của đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất)

Mặt khác AE là dây cung bất kì của đường tròn đường kính AB nên AE  AB (17)

(trong các dây của đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất)

Từ (16) và (17) suy ra FG  AB

Dấu ‘=” xẩy ra  E trùng B, F trùng C, G trùng D

Nhận xét: Các ví dụ trong phương pháp 5 áp dụng cho đối tượng học sinh

lớp 9, trong đó ví dụ 14 dành cho các em có học lực từ khá trở lên

6.Phương pháp thứ sáu::

Cho A(x), B(x), f(x) có miền xác định D R Ta có: [f(x)] 2  0, với mọi

x  D.

Từ đó suy ra:

A(x) = [f(x)] 2 + m  m nếu tồn tại x = x 0  D sao cho

[f(x)] 2 + m = m tức là [f(x 0 )] 2 = 0 thì m là giá trị nhỏ nhất của A(x) và kí hiệu minA(x) = m  x = x 0

B(x) = M – [f(x)] 2 M nếu tồn tại x = x 0  D sao cho

M – [f(x)] 2 = M tức là [f(x 0 )] 2 = 0 thì M là giá trị lớn nhất của B(x) và kí hiệu maxB(x) = M  x = x 0

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E, F thứ tự thuộc các

cạnh AB, BC, CA sao cho AD = k.AB; BE = k.BC; CF = k.CA

F

E

D

C B

A