LUẬN văn tốt NGHIỆP DH sư PHẠM hà nội SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Trongđó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được cácbài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tínhchất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắ

Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Trong

đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được cácbài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tínhchất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minhbất đẳng thức

Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứvào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗibài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phươngpháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp mộtcách hợp lí mới giải được

Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào cácdạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đề thi họcsinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bấtđẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy họcsinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Trong thực tế ở trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khókhăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toánchứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo mộtphương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bàitoán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Và THPT còn có nhiềuhạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều vàkhông biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác

Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tínhchất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bấtđẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bấtđẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một sốbài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinhbớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳngthức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh,giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nóiriêng và bộ môn Toán nói chung

Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng

dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số

phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khinghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sựgóp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xinchân thành cảm ơn!

2 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

- kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớnnhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phươngtrình vô tỉ.

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Học sinh trung học cơ sở

- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó

4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thậptài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượnghọc sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờhọc, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá

và học sinh trung bình về môn Toán

5 PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất

đẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài

toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặpbài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó

có thể tìm ra cách giải Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụngkhiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn

Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụngrèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bấtđẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏiphải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn.

Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôingoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở Nhưng việc các

em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi Muốn làm được điều đóđòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic,xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán Đặcbiệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bàitoán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương phápchung cho các bài toán khác tuơng tự

Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các emnắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vậndụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải khôngnên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thànhđược lôgic của toán học

Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở làhạn chế Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khókhăn đói với các em có học lực trung bình, khá

PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý.

1) Định nghĩa bất đẳng thức

+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,

2) môt số tính chất của bất đẳng thức:

a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu)

b) Nếu và bất kì thì

Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất

kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.

c) Nếu thì

Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này

sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf

bất đẳng thức không đổi chiều

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy

nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức

k) Nếu và nguyên dưong thì

Nếu và nguyên dưong thì

+

+

+ (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi )

+ (Với cùng dấu)

Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào

từng dạng của bài toán Sau đây là một số cách thường dùng

II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

Bài toán 1.2 hoctoancapba.com

Chứng minh với mọi số thực

Khai thác bài toán:

- Bằng phương pháp xét dấu của hiệu ta xét được sự đúng đắn của bất đẳng thức Để ý rằng với 2 số thực bất kì ta củng có:

- tương tự như chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau

Khai thác bài toán:

Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau:

cùng dấu > 0 0

Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay

1.4.1 Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài Toán sau

Hướng dẩn:

1.4.2

Chứng minh bất đẳng thức: với a ,b là cạnh góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền

Khai thác bài toán:

- Với 3 số dương mà , bất đẳng thức sau đúng hay sai?

Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu được, hãy phát biểu bài toán tổng quát

2 Phương pháp biến đổi tương đương

- Để chứng minh ta biến đổi tương đương

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

Bài toán 2.1.

Chứng minh rằng thì

Lời giải.

Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:

(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

Khai thác bài toán:

Tương tự như bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

Khai hác bài toán:

Tương tự như trên ta có thể chứng minh bài toán sau

2.5.1

3 Phương pháp quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1

bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

Ta dùng phương pháp quy nạp theo :

 Với =2 bất đẳng thức đả được chứng minh ở 1 (bất đẳng

Từ đó:

(**)

Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với số thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng Thế thì nói riêng ta có:

………

Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng

Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức được chúng minh bằng

phương pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, )

Sau đây ta xét một số bài toán khác.

Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với , tức là

Thật vậy,

Ta chứng minh:

Khai thác bài toán:

a) Bài toán vẩn đúng trong trường hợp

b) Với ta có

Bài toán 3.3

, >1, chứng minh rẳng:

Tương tự như trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau

1) Cho là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh

huyền

Chứng minh rằng:

2) , Chứng minh rằng:

Vậy khẳng định đúng với

4 Phương pháp tam thức bậc hai

a) Các tính chất của tam thức bậc hai thương dùng trong bất đẳng thức

*> Phương pháp 2:

Để chứng minh bất đẳng thức ta biến đổi

Khai thác bài toán:

Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này

nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phương pháp khác đơn giản:

Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức:

Căn cứ vào đặc điểm Parabol với ( ) quay

bề lõm lên trên (xuống dưới), do đó đỉnh là điểm có tung độ

bé nhất (lớn nhất), ta có thể thêm một cách tìm giá trị lớn nhất (bé nhất)của các bểu thức có dạng

Với , chứng minh bất đẳng thức sau:

Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh.

Còn nếu thì khi đó bất đẳng thức cần chứng minh

là hiển nhiên

Cuối cùng ta thấy dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thứưc sau: 1)

2)

3)

Trong cả hai trường hợp thì

Dấu đẳng thức xảy ra khi

5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

#>Với hai số ta luôn có:

Đẳng thức xảy ra

#> Dạng tổng quát của bất dẳng thức Cauchy

Cho

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Khai thác bài toán:

Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau Cho và

Chứng minh rằng

Bài toán 5.2.

Cho và

Chứng minh rằng

Lời giải:

Khai thác bài toán

Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được các bài toán sau

5.2.2

Hướng dẩn:

Cách hai : Xét hiệu của hai vế.

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc “cộng mẫu” nên có thể

sử dụng để chứng minh bất đẳng thưc sau:

Bài toán 5.3.1

Cho là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

Khai thác bài toán:

Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức Côsi để giải Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:

1) Cho và

Chứng minh rằng

Khai thác bài toán:

Bằng cách xét các cặp số như trên ta có thể giải các bài toán sau: 1) Cho chứng minh rằng

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,

ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

Như vậy điều này mâu thuẩn

với (1) Vậy không tồn tại các số dương thoả mãn cả 3 bấtđẳng

thức đã cho

Khai thác bài toán:

Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau

Chứng minh rằng không có 3 số dương thoả mãn cả 3 bất đẳng Thức sau:

Bài 7.5 cho : Chứng minh rằng:

Lời giải : Phương pháp phản chứng.

Nói chung ta sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác:

*> Tổng hai cạnh trong tam giác bao giờ củng lớn hơn cạnh còn lại

*> Hiệu hai cạnh trong tam giác luôn bé hơn cạnh còn lại

Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

Khai thác bài toán.

Nếu thêm vào điều kiện tam giác có thoả mãn điều kiện

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

9 Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

chứng minh rằng với mọi số thực

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức ( ) đúng với mọi bộ số Pitago (

được gọi là bộ số Pitago nếu )

10 Phương pháp làm trội, làm giảm.

Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh

về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

Khai thác bài toán:

Tương tự như trên ta chứng minh được bất đẳng thức sau:

11 Phương pháp dung miền giá trị hàm số.

Đ ể chứng minh Với mọi ta đặt y=

y- =0 (*)

Biện luận phương trình (*) theo y, đpcm

Bài toán 11.1

Khai thác bài toán:

Tương tự chúng ta có thể chứng minh được các bài toán sau:

1) với mọi

12 Sử dụng phương pháp đánh giá:

Đây là PP tương đối khó trong việc chứng minh BĐT, tuỳ từng dạng

bài mà có có cách đánh giá khác nhau.Cần chỳ ý điều kiện đề bài để

có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán

Bài toán 12.1.

Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]

Chứng minh rằng:

Lời giải:

15 Phương pháp Đổi biến số

- Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán

đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải

Cách khác:

Khai thác bài toán :

Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau:

16 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng

Bài 16.1 : CMR trong một tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến của nó

lớn hơn 4 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp

C l 0

A M N

nằm trong tam giác GAB thì OA +OB=2R và GA+ GB > 2R mà GA=

AA1= ma ,GB= BB1 = mb

Nên GA+GB > 2R (ma+mb) >2R ma+mb >3R

Mà trong tam giác OCC1 có CC1 >OC mc >R

Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R

Vậy ma+mb+ mc >4R

Bài 16 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông

đỉnh A tại hai điểm B và C , kẻ một tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh

chứa luỹ thừa các số tự nhiên

Bài toán : Cho a>b>0 CMR:

>

Lơi giải:

Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiên mà m>n thì

(1)

Áp dụng bất đẳng thức trung gian vối a> b > 0

và m > n nên khi m=1996, n=1995 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng >

Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp Lượng giác hoá , sử dụng tính chất của bất đẳng thức, kĩ thuật Côsi ngược dấu ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi

bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó