BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

một số bài tập về tích phân ứng dụng hay

Trang 1

http://ebooktoan.com/forum

Chương 1:

Nguyên hàm Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng

định nghĩa

Bài1:

1) Tính đạo hàm của hàm số

1 )

(

2





x

x x

g

2) Tính nguyên hàm của hàm số

3 2

) 1 (

1 )

(





x x

f

Bài2:

1) Tính đạo hàm của hàm số

0 , )

(x x x2 a a

0 , )

(x x2 a a

0 , )

2 (

)

(x x x2 a a

Bài 3: CMR hàm số F(x)  x  ln( 1  x) là một

nguyên hàm của hàm số

x

x x f



 1 ) (

Bài 4: CMR hàm số

0

# a , ln

2 2

)

nguyên hàm của hàm số f(x) x2 a

Bài 5: CMR hàm số















0 x khi

0

0 x khi 4

) 1 ln (

)

(

2 x x

x

hàm của hàm số













0 x khi 0

0 x khi x.lnx )

(x f

Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số

2

3 x voi 3 2 ) (

)

(x  ax2 bxc x 

nguyên hàm của hàm số

3 2

7 30 20

) (

2









x

x x

x f

Bài 2 Xác định nguyên hàm bằng

công

thức

Bài1: Tính các tích phân bất định sau

x x













3

1 1

x x













3

1

2) ( x 24 x)(x x 4 x).dx

1 2

1

; 1 2

4

2 2

x x

x x dx

x x

x



1

; 4

2

x

x dx

x

dx



sin

; sin

dx dx

x

dx



 

x x

x

dx dx

x

dx x



) ln(ln ln

; 2 cos

sin

Bài 3: Tính các tích phân bất định sau

1)  e x ex dx ;  2x 3x dx

2)

ln

;

cos 2















x x

dx dx

x

e e

x x

3)

4 9

3 2

; ) 1

x x

x x x

1) sin2 x.cosx dx ; cotgx.dx

cosx).dx (sinx

; cos

dx x

dx

phương pháp phân tích

Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

1 2

1 6 4 f(x)

; 2 3 ) (

2 2

3









x

x x x

x f

2)

6

2 )

(

; 1 3 2 f(x)

2 3

2 4











x x x f x

x x

3)

9 4

1 9 4 ) (

; 2

1

3 2









x

x x x f x

x

Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

1) f(x) 3 x x4 x; f(x)  x4 x4  2 2)

3 4

1 )

( 1 2 2

1 )

(















x x x

f x x x

f

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

x

f( ) 32 2 2; f(x) 22 33 44

x x x

e x f

10

5 2 f(x)

; )

(

1 1 2

3







1)

) 1 (

; ) 1

2 10



x

x dx

x x

2)

3 1

; 5 2

3



x

dx x dx

x x

Trang 2

Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)

Cho hàm số

2 3

3 3 3

3 2









x x

x x y

1) Xác định a,b,c để

) 2 ( ) 1 ( )

1

(  2    



x

c x

b x

a

y

2) Tìm họ nguyên hàm của y

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau

1) f(x)cos4 x; f(x)sin4xcos4 x

2) f(x)cos6xsin6x; f(x) cotg2x

3)

x x

f

4 3

2

sin

1 f(x)

; sin cos

8

)

4)

x x

f

2 2 3

sin cos

2 cos f(x)

; sin cos

1 )

5)

2 3 x

x f(x)

; 2 sin 3

cos sin

)









x x

x

f

6)

2 2 3

) 1 x (x

1 f(x)

;

1 )

(









x x

x

f

7)

) x.e x.(1

1 x f(x)

; 1

1 )

(

x









x

e x

f

(Không có hàm ngược )

2 2 2

3 2

x

13 f(x)

;

2 3

)

(

x e x x x x

x x















2)

2 2

x -1

1 1 f(x)

; 3 )

x





1 x

2 )

(

; x 1

1 )

(

2











x

x x

f x

x

f

phương pháp đổi biến số





3 2 3 2

)

1 2 ( B

; ) 4

3

x x x x

dx x x

dx x

A

x x x

x dx

x





) 2 3 (

3 B

; 1

1

2 4 2 4

2

x x

x dx

x



) 1 (

1 B

; ) 1 (

1

4 4 2

6

x x

xdx

1 1 1

2 2





2)

x

dx e

dx

A

1 ) 1 ( 1 B

;





















6 5 B

; 1 2

x x

dx x

x

dx A

4)











2 3 3

1 B

; ) 2 ).(

1

dx x x

x

dx A





1 1

B

; 2 2 )

1

dx x

x x

dx A





1

2 B

; 1 )

4 3 (

) 1 8 6 (

2 2 2

2 3

x

dx x

x x

dx x x A









1 B

; dx 1

2

3 2 3

x x

dx x

x A





x

x x x x

x

dx A

sin 2

cos sin cos B

; 1 cos sin

2 2



x x x

x

dx

cos sin

1 B

; sin 2 2 sin





x x

x

dx A

1 sin cos

sin B

; cos

4 3 5

x

x dx

x x

A

2 B

; ) 5 1 (

2 10

2 3







x

dx dx

x

dx A

3 2 3

2

) 4 ( B

; ) 4 (

1

x B

; 1

2

5 6









x

dx x

dx x A

2

x

2







x

dx A

1) Ax2 ax.dx   dx

x

1

1 B



x

x x

dx x x

2 2

3

cos

sin B

; cos 1

cos sin

e e dx

x x A

x

B

; sin cos







e e dx

x x

4

1 B

; ).

ln 1 (

phương pháp tích phân từng phần

Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau

x

x x

x

f( ) ln ; f(x) ln ; f(x) x2sin 2

2

















 2) f(x)(x1)2.cos2x ; f(x)x2 1e2x1;

Trang 3

3) f(x)e2x.sinx ; f(x) e-2x.cos3x;

4) f(x)(cotg2xcotgx1)ex;

1) Ax.cos x.dx; Be ax.sin(bx).dx

2) Ae2x.cos2 x.dx; Bx n.lnx.dx

3) Ax2.e3x.dx; Bx2.sin(3x).dx



x

dx e

x

A

x

)

2 cos(

B

; ) 2 (

2 2

x

dx e x dx

x

x A

x

cos 1

) sin 1 ( B

; sin

) ln(sin

2 6) A x.cos x.dx; Be ax.sin(bx).dx

7) A(x3 4x2 2x7).e2x.dx;

x

x x

dx

cos B

;





x

x dx

x

x x

sin

cos B

; 1

1 ln

3 2

x

dx

x

sin

2

Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số

hữu tỉ

Bài1:(ĐHNT HN 1998)

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

x x

f

a



 3

4 2 )

(

x x x f b



 31 ) ( )

Bài2: (ĐHQG HN 1999)

2

) 1 (

1 )

(





x x x

Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số

2 3

3 3 3

3 2









x x

x x y

1) Xác định các hằng số a,b,c để

) 2 ( ) 1 ( ) 1



x

c x

b x

a

y

2) Tìm họ nguyên hàm của họ y

Bài 4(ĐHQG HN 2000)

1002 2

2001

) 1 (

)

(





x

1)

2 2

1 )

(

; 1 2 3

1 )

(

2 2











x x x f x

x x f

2)

) 2 2 (

1 )

(

; ) 1 2 3 (

1 )

(

3 2

2



x x x f x

x x

f

) 5 4 (

13 7 )

(

; ) 5 4 (

13 7 ) (

3 2









x x

f x

x

x x

f

4)

1

1 f(x)

: 2

3 2 )

2













x

x x

x x x f

1) x(x

1 f(x)

; 1 2 )

3











x x

f



x x

x

dx x

2 3 B

; 1 2

.

3 2

4



x

x x

x

dx x

1 B

; 2

8 5 3

6 5





x

x x

x

dx x

) 10 (

B

; ) 1 (

)

1 (

2 10 4 7

7







x

x x

dx x

) 1 ( B

; 6 5

)

1 (

100 3 2

3 3







x x x

dx x

2 5 4

4 B

; 1

)

1 (

2 3 2 2

3 4 2

Lượng giác

Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

1) (ĐHVH 2000)

2 sin )

2) f(x)tg5x; f(x)cotg6x; 3) f(x)cos3x.sin8x; f(x)cos3x.sin2x; 4)

x x x x

f

x x x x

f

3 cos 2 cos cos ) (

; 4 sin 2 cos cos ) (







x x

dx x x x

x

dx x A

cos sin

sin cos B

; ) cos 1 ( sin

) sin 1 (





x x

dx x x

x

dx A

2 cos sin

10 13

cos B

; 1 cos sin

3)













x x

dx

x x

x

dx A

2 2

cos 5 cos sin 8 sin 3 B

; cos 2 sin sin





x x

dx x x

dx x A

4 4

2

cos sin

2 cos B

; 1 sin

2 sin

x x

dx x

x

dx A

5 3 4

2 cos ;B sin cos sin

Trang 4







x

dx x

x

dx x x

A

3

cos B

; cos 2 sin

) cos (sin

1 cos 2

)

sin (sin B

; sin

cos

2 3 3

4

x

dx x x

x

dx x A







1 2 sin B

; 2 sin 1

).

sin (cos

x

dx x

dx x x A

(ĐH NT TPHCM 2000)

Vô tỉ









1 2

B

;

2 4

3 4

3

x x

dx x dx

x x

A









1 1

) 1 (

B

;

2

dx x x x x

x x

dx A









3 2 2

) 1 ( B

; 1 6

).

5 4

(

x

dx x

x

dx x

A













2 2

2 3 )

1 ( B

; 1 ) 1

dx x

x

dx A

2)

















1 2 ) 1 2

(

B

; 3 2 1 2

dx

x x

dx A

Bài 3(ĐHY HN 1999)



C x

x x

dx

) 3 ln(

3

2

nguyên hàm F(x) x2 3.dx

Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên

10 1 )

(





x

x x

F

Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên

1 2 1 2

1 )

(







x x

tgx x F

Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích





1

2

x x

dx I

Siêu việt

1) F(x)(x2 3x2).e x

2) F x  x )ex

4 cos(

2

)

x

F( )(32 2 )2; F(x)22x.33 4

e e e

x





x 2

F(x) : )

(

x x

x

e

e x F

10

5 2 F(x) :

1 )

(

1 1 x 5







x 2

2

1).e -(x F(x) : 1

).

1 (

) (

x x

e x x x F

x







1) Ae ax.sin(bx).dx; Be2x.sin2x.dx

2) Ax n.lnx.dx; Bx2.e3x dx

3) Asin(lnx).dx; Bx2.ln(2x1).dx

4) A(2x3 5x2 2x4).e2x.dx;

x x

e

dx e x

dx x A

1

2 B

; sin

) ln(sin

2





x

dx x x

dx e x A

x

2

cos

)

ln(cos B

; cos 1

)

sin 1 (

1

1 ln 1

1

2

x

x x

A









1

) 1 ln(

B

;

2

x

dx x

x x e

dx A

x



x x

dx x

1 ln

Chương 2:

tích phân Bài 1 Tính tích phân bằng phương pháp

phân tích

Bài 1: Tính các tích phân



3 1

2 1 -2 3

2 x

x.dx B

; ).

1

A

2

1

5

dx B

; 5 2 7

e

x

dx x

x x A

3)  

2 1

2 ; ln

).

1 (

x x x

dx x

2

6 3

3

; sin

cos



dx x B









1 0 4

0

2 ; B dx;

cos

x x

e e

e e x

dx tgx A













2

1 2 1

0

; 8 4 B

;

x x

dx e

e

dx e A

x x x

Trang 5







2 0

3

ln

0

; sin 1 B

;



x

dx e

e

dx A

x x





2

4 4 1

2

1 2

; sin B

; 1



dx x

x

dx

A

































2 1 3

0

2 2

2

3 t

; 4 9

6 B

; cos 3 sin

x x

x

x dx x

x

dx A







2

4

2 0

4 ( cos sin B

; 3 sin

5

cos



dx x

x dx

x x

A













3

4

1

-2

2 3 B

;

x

A

Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng

số A,B F(x) A.sin( x)B thoả mãn F(1) = 2

1

0

4 ).

(x dx

F

Bài 5: Cho F(x)a.sin2xb.cos2x xác định









a

,

1 va 2

Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)



0 4

0

2

5

10 3 (

x

x x

Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để

2 )

(

2  



x

b

x

a

x





1

2 1

,

3.ln2 -2 F(x).dx

va 4 )

(x

F

Bài 8: Cho F(x)a.sin2xb xác định a,b biết



2 0

,

3 ).

(

va

4

F

Bài 2 Tính tích phân bằng phương

pháp

đổi biến số

Bài 1: Tính các tích phân sau

1) (ĐHNN1 HN 1999)  

1 0

19

; ) 1

x A

2) (ĐHSP Quy Nhơn)



1 0

10 2

; ) 3 2 1 )(

3 1

I

3) (ĐHTM 1995)  

1 0 2

5

;

1dx

x

x I

a

x a

dx I

0

2 2

) (

5) (ĐHKT HN 1997)  

1 0

6 3 5

; ) 1

x I

6) (ĐH TCKTHN 2000)    

1 0

2 4

1

.

x x

dx x I

Bài 2: : Tính các tích phân sau

4 B

; 1

1

2 1

0









x

x dx

x

x A

2)

1 B

;

1 2 1

2 2 2

2



  







x x

dx dx

x

x A

3) 1 ; (DHTM - 1995)

1 0

A

4) 1 ; (DHYHN1998)

1

2





A

1 0

3 2

A

1

3

2 2





x x

dx A

7) (ĐHGTVT HN 1996)   

3 0

2 5

;

1 x dx x

A

3 0 4

B

sin 2

x

dx x tg dx

x A







3

6 2 2

B

; 1 cos sin



x x x

dx tgx x

x

dx A

3) (ĐHQGTPHCM 1998)  

2 0

4

sin 1

2 sin



x

dx x I

4) (CĐHQ TPHCM 1999)



2 0

2

cos sin

7 11

cos



x x

dx x I

Trang 6

5) (HVKTQS 1996)



2

3

cot sin

sin sin



dx gx x

x x I

6) (ĐH Y Dược TPHCM 1995)   



0

2

cos 4 9

sin

x

dx x x I

7) (HVBCVT HN 1998)   

2 0

2 3

cos 1

cos sin



x

dx x x I

8) (CĐSP TPHCM 1997)   

6 0

2

sin sin 5 6

cos



x x

dx x I

9) (HVNH HN 1998) 



0

2

cos sin

x I

1 0 2 1

2

2 ln 4

1

; 2

ln 2

dx x

x x

B x

dx x A

e

2) (ĐH CĐoàn 1999) 





2 ln

0 e x 1

dx I

3) (ĐH Y HN 1999)  

1 0

2x x e e

dx I

2 ln 0 2x

2x 1

0

3 3 e

3 e B

;

e

e dx

e

A

x

x x

Bài 5: Tính các tích phân sau (Tham khảo)

**Đổi biến dạng luỹ thừa cơ bản***

1

1 0 3 3



x

A

1 B

; 1

1 1 2 1

0

3



  





x x

x dx

x x

A

1 B

; 2

1 0 6

2 2

1

2 4 6



x

x dx

x x A

4 1 4



x

e x

x

dx

A

x

**Đổi biến hàm lượng giác cơ bản***

2 0 4

6

cos 3 1

sin B

; cot



dx x

x dx

gx A



















2 0 cos 6

0 1 4sin cos. ; B .cos 2



dx x e

dx x







2 0

3 4

0

sin sin

B

; cos sin

cos sin



dx x x

x x

A

4 0 3

3 4

3 6 2

cos

sin B

; cos

sin



dx x

x dx

x

x A







3

6 4

3 6

0

2 2

sin

cos B

; 1

1



dx x

x dx

x tg

x tg A







2 0

2 4

2 sin B

; 2 sin 2

cos sin



dx x

x dx

x

x x

A

**Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***

e e

x x

dx dx

x

x A

B

; ln 1







e e

dx x x

x x

dx A

1

2

ln 1 ) (ln B

; ) ln 1 ( cos

4

1





2 ln 2 2 ln 1

B

;

dx e

dx A







1 0

3 ln 0

B

;

x x

x

e e

dx e e

e

dx A

**Bài tập tổng hợp ** * *





13 ln 5 ln

B

; ) 1

(

) 1 (

x x

x e

x

e e

dx e xe

x

dx x A

1

1 ln 1

1

2 1

0 2

















x

x x

A





4

3

6

2

sin cos

4 cos B

; cos sin



dx dx

x x

dx A

Bài 3 Tính tích phân bằng phương pháp

tích phân từng phần

2 0 2 3

0

cos B

; cos



dx x x dx

x x A

2 0 3

4

2 ; B cos 3 sin

.



dx x e

x

dx x



e A

0 0

2

2 sin ; B cos(ln )

Trang 7

e x

dx x dx

e

x

A

1 3 2

ln

0

ln B

;

1 0

2 0

2

).

1 ln(

B

; ln

x

A

e

2 1 2 1

2

.

ln B

; ) ln 1

x

x dx

x A

e

ln

1 ln

1

2















e

dx x x A

e

A

1

2 4

4

1

) ln 1 ( B

;

2 0 1

2

cos sin B

; ln ) 1 (



xdx x

x dx

x x

x

A

e

2

4

2 3

0

2 ) ; B cos ( ) 1

ln(



dx x dx

x x

A

2

3

4

sin B

; sin



dx x

x x

dx x A













e e

e

dx x

x dx

x

x A

1

2

ln B

; ) ln(ln

2

Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:

1) (ĐHBKTPHCM 1995)  

2 0

2

cos



dx x x I

2) (ĐHQG TPHCM 2000) 

1 0

2

).

( sin x dx e

3) (CĐKS 2000)  

e

dx x x

I

1

ln ).

2 2 (

4) (ĐHSPHN2 1997) 

4 0

2 sin 5



dx x e

5) (ĐHTL 1996) 

2 0

2

cos



dx x e

6) (ĐH AN 1996) 



0

2

sin x dx x

I

Bài 4 Một số dạng tích phân đặc

biệt





1 1

3 5

B

; 2 cos x dx x e 2 dx

x



















2

3 2

1

2 1

cos 1

sin B

; 1

1 ln



dx x

x dx

x

x x

A





2 0

2004 2004

2004 2

0

sin cos

cos B

; sin 1

2 sin



dx x x

x dx

x

x A







0

2 0

cos 1

sin B

; cos 3

sin

dx x

x x dx

x

x x A

1 3

sin2







 x dx x A

1)  



3 0

; 5 cos 3 sin 2 sin

A



0 0

3

).

sin(sin B

; sin













4

3 5 7 2

1

2 1

9 2

cos

) 1 (

; sin A



dx x x x x B

dx x x

Bài 4: (Một số đề thi )

1) (ĐHPCCC 2000) Tính 

 





1 1

2

2 1

1

dx

x I

x

2) (ĐHGT 2000 )Tính 

 





2

2 sin 4 cos



dx x

x x

I

3) (ĐHQG HN 1994) Tính  



0

3

sin x dx x

I

4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính 

 





dx

x

1 3 sin 2

5) (HVBCVTHN 1999)Tính 

 



1 1

4

2

x

6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số

















2 neu x ) 0 (

2 x 0 neu ) ( ) (



f

tgx f x g

a) CMR g(x) liên tục trên  

2

;

0 

Trang 8

b) CMR :  

4 0

2

4

).

( ).

(

 dx x g dx x g

Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ

Bài 1: : Tính các tích phân sau

2 3 B

; ) 1

(

1 2 3

2

9

2



  







x x

dx x

A

) 1 ( B

; 1

2 2

2

10

3 2

1

3

2











x

dx x x

A

3)

) 1 ( ) 3 (

B

6 5

)

1 16 10

2

(

1

0

2 2

1

2

2 3



















x x

dx

x x

dx x x

x

A

2 3

) 4 7 ( B

; 6 5

).

6 3

1 3 1

1

2 3

















x x

dx x x

x x

dx x

x x

A

3 4 B

; 2

2 1

2 4 2

1

2





x x

dx x

x x

dx A

) 4 (

B

; ).

1 4

0

2 8

3 2

1

3 4

2 3









x

dx x x

x

dx x x x

A

) 1 (

).

1 ( B

; ) 1 (

3 1 4

4 2

1

2





x x

dx x x

x

dx A





1 0

2 2

2 4

3

3 6

5

; ) 1 )(

2 (

13 2 2 B

; 2

3

dx x

x

x x x

x

dx x A

Bài 2: (Một số đề thi)

1) (CĐSP HN 2000):    

3 0 2

2

1

2 3

dx x

x I

2) (ĐHNL TPHCM 1995)   

1 0 2

6

5x

x

dx I

3) (ĐHKT TPHCM 1994)  

1 0

3 ) 2 1

x I

4) (ĐHNT HN 2000)     

1 0

2

2 3

9 2

).

1 10 2

(

x x

dx x x

x

5) (ĐHSP TPHCM 2000)   

1 0 2

6 5

).

11 4 (

x x

dx x

I

6) (ĐHXD HN 2000)  

1 0 3

1

3

x

dx I

7) (ĐH MĐC 1995 )    

1 0

2 4

3

4x

x

dx I

8) (ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số A,B,C để

2 1

) 1 ( 2 3

3 3 3

2 3

2

















x

C x

B x

A x

x

x x

2 3

3 3 3

3

2

  



9) (ĐHTM 1995)  

1 0 2 5

1

.

x

dx x I

10) (ĐH Thái Nguyên 1997)

x x

dx x





 HD : t x1

1

).

1 (

2 1 4 2

11) Xác định các hằng số A,B để

1 )

1 ( ) 1 (

2

2    



x

B x

A x

x

) 1 (

) 2 (

3 2

2

 



) 1 ( ) 1 ( ) (







x x

f

a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho













1 1

) 2 )(

1 ( )

2

x

dx E x

dx D x

x

C Bx Ax dx x f

b) Tính 

3 2

)

( dx x f

Bài 6 Tích phân các hàm số lượng giác





3

6 2 2

B

; cos sin

1



x x x

dx tgx x

x

dx A

3

6

3 0

4

).

sin cos

( B

; 2 cos



dx x x

x

dx x tg A

x

dx x x

A ; B sin cos 2

cos 1

) sin

0 2 4







sin 1

cos

2 0

2

 





x

dx x x A

Bài 2: (Một số đề thi)

1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :





2 0 4 2

0

4

1 cos

2 sin J

va

; sin 1

2 sin



x

dx x x

dx x I

2) (ĐHSP TPHCM 1995)

Trang 9

Cho

x x

f

cos sin

sin )

(



 a) Tìm A,B sao cho





















x x

x x B A x

f

sin cos

sin cos )

(

b) Tính 

3 0

)

(



dx x f I

3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)



2 0

4 4

4 2

0

4 4

4

sin cos

sin sin

cos



x x

dx x x

x

dx x

b) Tính   

2 0

4 4

4

sin cos

cos



x x

dx x I

4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính   

2

01 sin2



x

dx I

5) (HVKTQS 1996):Tính



2

3

cot sin

sin sin



dx gx x

x x I

6) (ĐHTS 1999) Tính :



2

0

2

) cos 1 (

cos sin



dx x x

x

7) (ĐHTM HN 1995) Tính  

4 0 4

cos



x

dx

8) (HVKTQS 1999):Tính  

4 0

4 3

cos 1

sin 4



x

dx x I

9) (ĐHNN1 HN Khối B 1998)  

2

0 1 cos

2 cos



x

dx x I

10) (ĐHQGHN Khối A 1997)  

2 0

2 3

cos 1

sin



x

dx x I

11) (ĐHQG TPHCM Khối A 2000) Tính :





4

0

4

sin



dx x I

12) (ĐHTL 1997) Tính: I 1 cos 2x.dx

0





13) (ĐHGT TPHCM 2000) Tính  

3

6 6 2

cos

sin



dx x I

14) (ĐHNN1 HN 1998) Tính



2

6

cos sin

2 cos 2 sin 1



dx x x

x x

I

15) (ĐHT HN 1999) Tính  

3 4

2 sin



dx I

16) (ĐHNT HN 1994b) Tính   



2 0

sin

I

17) (ĐHQG TPHCM 1998)  

2 0

2 3

sin cos



dx x x I

18) (HVNH TPHCM 2000)  

4 0

2

cos 1

4 sin



x

dx x I

19) (ĐHLN 2000)   

2 0

2

2 4cos sin

3

) cos 4 sin 3 (



x x

dx x x

I

20) (ĐHMĐC 2000) 

















3

6 sin .sin 6



x x

dx I

21) (ĐHBK HN 1999)

) sin 2 (

2 sin )

(

x

x x

h





a) Tìm A,B để

x

x B x

x A x

h

sin 2

cos ) sin 2 (

cos )

(

2  





b) Tính 





0

2

)

(



dx x h I

22) (ĐHBK HN 1998)



2 0

4 4

)

sin (cos

2 cos



dx x x

x I

23) (ĐHTM HN 2000)  

2 0

3

) cos (sin

sin 4



x x

dx x I

24) (HVKTMM 1999)  

3

6

4

cos sin



dx I

Trang 10

25) (ĐHTCKT HN 1996)



2

0

5 cos 3 sin

4

6 cos 7 sin



dx x x

x x

I

26) (ĐHBKHN 1996)  

2 0

2 cos



dx x x I

27) (ĐHCĐ 1999)  

2 0

2

cos )

1 2 (



dx x x

I

28) (HVNH TPHCM 2000)   

3 0

2

cos

)

sin (



x

dx x x I

Bài 7 Tích phân các hàm số vô tỉ

Bài 1: (Một số bài tập cơ bản) Tính các tích

phân sau :

a

a dx x a x dx

x x

A

2 0

2 1

0

8 15

) 0 ( 2 B

; 3 1









4 1 0

2 2 2

) 0 ( ) 1 ( B

;

x x

dx dx

x a x

A

a







2 1 0

1 2 1; B (x 1)(x 2)

dx x

x

dx A

   







0 1 1

2

1

2 2

2 4

B

; 1

x x

dx x

dx x A





2 2 0 2 2

1 2

1 B

; 1

dx x

x x

x

dx

A





2 7

0 3 1

04 3 1; B 2x 1

dx x

A







3 0 2 3

) 2 1 ( (*)B

;

dx x

x x

dx

A

1 1

1 (*)

0

1

3







x

dx x

x A

***đổi biến lượng giác ****











0 1 2 1

0

2

2 2 B

;

A

1

2 1 2

2 2

1

2

.

1 B

;

1

dx x

x dx

x

A

1) (HVNH THCM 2000) 





1

3

1

.

x x

dx x I

2) (ĐH BKHN 1995) 





2

3

2 x x2 1

dx I

3) (HVKTQS 1998) 

   



1

1 1 x x2 1

dx I

4) (ĐHAN 1999) 





4

7x x2 9

dx I

5) (ĐHQG HN 1998)  

1 0

2 3

1

x I

6) (ĐHSP2 HN 2000) 





2

1 x x3 1

dx I

7) (ĐHXD HN 1996)  

1 0

2

1

).

1 (

x

dx x

I

8) (ĐHTM 1997) 





7

03 2

3

1

x

dx x I

9) (ĐHQG TPHCM 1998)  

1

0 2 1

.

x

dx x I

Bài 8 Tích phân các hàm số siêu việt

Bài 1: (Một số bài cơ bản)

1) (ĐHCĐ 2000)  

1 0 2

3

x e

dx I

2) (ĐHY HN 1998)  

1 0

2x e x e

dx I

3) (HVQY 1997) 





3 ln

0 e x 1

dx I

4) (ĐHAN 1997) 

2 0

2

.e dx x

5) (ĐHKT HN 1999 ) 

2 0

3 sin

cos sin 2



dx x x e

6) (ĐHQG TPHCM 1996)   

 1

0 x 1

x e

dx e I

7) (ĐHBK HN 2000) 





2 ln 0

2

1

.

x x e

dx e I

1) (HVQY 1997)  

2 0

2 e dx x I

x

2) (ĐHQG HN 1998 )  

1

0e x 1

dx I

Tiêu đề	Bài Tập Tích Phân Ứng Dụng
Trường học	Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Thể loại	Bài Tập

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	539 KB