Chuong 2 toi uu hoa nguon nuocmoi2a

Nhận xét• Nếu bài toán tuyến tính có một nghiệm tối ưu, nghiệm đó luôn luôn nằm trong một của những điểm góc thuộc không gian nghiệm chấp nhận được • Nếu bài toán tuyến tính có nhiều ngh

HỌ VÀ TÊN : TS LÊ HÙNG

ĐƠN VỊ CÔNG TÁC : Khoa Xây dựng TL – TĐ,

Trường Đại học Bách Khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHĐN

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

CHƯƠNG I QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG II QUY HOẠCH PHI TUYẾN

CHƯƠNG III QUY HOẠCH ĐỘNG

CHƯƠNG IV THUẬT TOÁN DI TRUYỀN

CHƯƠNG V QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU.

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

Phạm vi áp dụng lý thuyết tối ưu

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

Các phương pháp tối ưu

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

* Phương pháp chính xác

•Quy hoạch toán học (Mathematical Programming)

•Quy hoạch tuyến tính (Linear Programming)

•Quy hoạch phi tuyến, Quy hoạch động (Dynamic Programming)

Quy hoạch tuyến tính

Biểu diễn hàm mục tiêu và các ràng buộc như sau:

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

Quy hoạch phi tuyến

Biểu diễn hàm mục tiêu và các ràng buộc như sau:

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

CHƯƠNG I QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Vẽ miền chấp nhận được

+ Nếu ràng buộc là đẳng thức thì miền chấp

nhận được là điểm A, giao của đường N 1 M 1

và N 2 M 2

+ Nếu ràng buộc là bất đẳng thức thì miền chấp

nhận được là hình AN1OM2 bao gồm cả

biên AN1 và AM2.

2 Vẽ các đường cùng mục tiêu (đường mức):

+ Cho một giá trị cụ thể Z = Z0, Vẽ đường

x 2 =

Di chuyển đường Z 0 (theo giá trị Z 0 ) xác định

được nghiệm cực đại tại A

X 2

1 2

1 1

0

c

c c

1 1

x c

c c

; 0

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

i x

b x

a x

a

b x

a x

a

i

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

Ví dụ 1.3: Cho hàm mục tiêu: Max f(x)=5x1-x2

Ràng buộc 2x1-x210

x2+0.2(2x1-x2) 4

2x1-x20x10, x20

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

Trường hợp 1: Không gian nghiệm

4

3

Vùng nghiệm chấp nhận được

Trường hợp 2: Đa nghiệm

Ràng buộc

Vùng nghiệm chấp nhận được

0

3

Min z = x1 – x2

1/3 x1 + x2  4-2x1 + 2x2  4

x1  3

-2 x 1 + 2x

2  4 1/3 x 1 + x

2  4

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

Trường hợp 3: Nghiệm tối ưu không biên

Trường hợp 4: Vô nghiệm

x 1 -

x 2 

-1

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (Bài toán 2 biến)

Ví dụ 1:

nhật (x2) Mỗi bàn tròn cần 2,5 giờ để lắp ghép, 3 giờ để đánh bóng và 1 giờ để vào thùng Một bàn chữ nhật cần 1 giờ để lắp ghép, 3 giờ để đánh bóng và 2 giờ để vào thùng Trong một tuần,

do giới hạn về mặt điều động nhân sự, xưởng chỉ có thể bố trí 20 giờ để lắp ghép, 30 giờ để đánh bóng và 16 giờ để vào thùng Lợi nhuận bàn tròn là 3000$/ñv và 4000$/ñv cho bàn chữ nhật Tìm phương án sản xuất tối ưu để mang về cho nhà sản xuất lợi nhuận cao nhất

• Bước 1: Chúng ta sẽ thể hiện các dữ liệu của bài toán dưới dạng phương trình hoặc bất phương trình

• Gọi x1 và x2 là số lượng lần lượt của bàn tròn và bàn chữ nhật (biến quyết định)

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

X 2

X 1

C D

O

(D)

4 6

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

Ví dụ 2.2:

Một nông dân mong muốn đàn cừu của nông trại tiêu thụ các loại sản phẩm thức ăn có các loại chất dinh dưỡng là A, B, C với khẩu phần hàng ngày ít nhất, nhưng phải đảm bảo về mặt dinh dưỡng tối thiểu yêu cầu theo lời khuyên của nhà chuyên môn

• Nhu cầu tối thiểu hàng ngày về chất dinh dưỡng A, B, C theo thứ

tự là 14; 12; 18 đơn vị

• Trên thị trường ta có các loại sản phẩm y1 và y2 Sản phẩm y1 cung cấp 2 đơn vị A và 1 đơn vị B và 1 đơn vị C Sản phẩm y2 cung cấp

1 đơn vị A và 1 đơn vị B và 3 đơn vị C

• Biết rằng giá đơn vị sản phẩm y1, y2 lần lượt là 2000$ và 4000$

Xác định số lượng y1 và y2 để chi phí ít nhất

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

y 2

y 1

C D

O

Miền nghiệm có thể

9 3

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

Nhận xét

• Nếu bài toán tuyến tính có một nghiệm tối ưu, nghiệm đó luôn luôn nằm trong một của những điểm góc thuộc không gian nghiệm chấp nhận được

• Nếu bài toán tuyến tính có nhiều nghiệm tối ưu, khi đó có ít nhất

2 điểm cực trị chấp nhận được cạnh nhau

• Nếu một điểm cực trị là tốt hơn tất của những điểm xung quanh, khi đó nó sẽ tốt hơn tất cả những điểm cực trị khác

• Thuật toán cho việc giải bài toán LP:

- Xác định điểm xuất phát tìm kiếm cho nghiệm tối ưu: nên bắt đầu với điểm gốc (0,0)

- Tìm nghiệm tốt hơn bằng việc so sánh giá trị hàm mục tiêu tương ứng với những điểm cực trị chấp nhận được lân cận

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

• Cho bài toán 3 biến quyết định trở lên

Giải QHTT bằng phương pháp hình học

• 1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Phương pháp đơn hình là phương pháp cơ bản nhất khi giải các bài toán quy hoạch tuyến tính Phương pháp này do G.B Dantzig

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

Bước 1: Chuyển đổi về dạng chuẩn bằng cách đưa các bất phương trình bất đẳng thức về đẳng thức (thêm các biến đệm)

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

Bước 2: Chuyển hàm mục tiêu về dạng sau

-f(X)-990x1 - 900x2 = 5280

Bước 3: Lập bảng gồm m+1 hàng và n+m+2 cột

- Cột đầu tiên ghi theo thứ tự tên các biến đệm, cột cuối là –z;

- Các cột còn lại thì hàng 1 ghi tên các biến x 1 , x 2 , và cột cuối cùng là giới hạn của ràng buộc b i

- Các hàng thứ 2, 3, 4… là ghi các hệ số của các phương trình ràng buộc, hàng cuối cùng là ghi giới hạn ràng buộc bên phải.

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

Bước 4: Xác định phần tử xoay như sau

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

Trong ví dụ trên, hàng cuối cùng (hàng Z) cột 1 ta có trị tuyệt đối lớn nhất là -990, được chọn làm hàm cột xoay, vì cột xoay có 3

số đều dương, Ta xét các tỷ số sau:

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Các phần tử của những hàng khác được xác định theo công thức sau

Phần tử mới = phần tử hàng cũ - aipx phần tử hàng chính

A[i,j]=A[i,j]-A[i,p].A[s,j] (1.3)

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

- Dùng công thức (1.3) tính toán các hàng 1, 3 và 4, với hàng xoay

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

Ta thấy giá trị âm lớn nhất ở hàng 4 là -1230, do đó cột xoay ở đây là cột 2, p =2, để tìm hàng xoay ta lập các tỷ số sau:

1.2.1 Giải bài toán tối ưu theo phương pháp đơn hình

Bưới 6: Khi hàng cuối cùng của bảng có các giá trị đều lớn hơn≥0

thì ta dừng lại Cột cuối cùng của bảng này cho ta giá trị các biến của phương án tối ưu và giá trị hàm Maximum

x1, x2, x3 ≥ 0.

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

QHTT VỚI SOLVER

1.2.2 Chuyển bài toán cực tiểu thành bài toán cực đại

Khi cần cực đại hàm mục tiêu ta nhân 2 về của hàm mục tiêu cho -1, ta

sẽ được bài toán cực đại hàm mục tiêu Z=(-Z’)

1.2.2 Chuyển bài toán cực tiểu thành bài toán cực đại

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

1.2.2 Chuyển bài toán cực tiểu thành bài toán cực đại

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Giải tương tự như các ví dụ trên ta được như sau :

1.2.3 Bài toán đối ngẫu

Trong phương pháp quy hoạch tuyến tính, tất cả các bài toán cực đại (cực tiểu) đều có thể liên kết với một bài toán cực tiểu (cực đại) tương ứng Ta gọi đó là bài toán đối ngẫu tương ứng với bài toán ban đầu

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Cho bài toán ban đầu với hàm mục tiêu :

Max F = g1x1 + g2x2 + g3x3

Với các ràng buộc :

0 ,

1

3 3

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

x

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

0,

1

3 3

33 2

23 1

13

2 3

32 2

22 1

12

1 3

31 2

21 1

g z

a z

a z

a

g z

a z

a z

a

g z

a z

a z

a

Bài toán đối ngẫu tương ứng sẽ là:Min G = b1z1 + b2z2 + b3z3

Với các ràng buộc :

1.2.3 Bài toán đối ngẫu

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

với z1, z2, z3 ≥ 0

1.2.3 Bài toán đối ngẫu

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Nguyên tắc biến đổi để xác định bài toán đối ngẫu từ một bài toán ban đầu đã cho

- Cực đại hàm mục tiêu cho bài toán ban đầu sẽ trở thành cực tiểu hàm

mục tiêu trong bài toán đối ngẫu và ngược lại

- Dấu trong các bất phương trình biểu diễn các ràng buộc đã đổi theo

hướng ngược lại

- Các hệ số ma trận hàng trong ma trận của bài toán ban đầu trở thành hệ

số ma trận cột trong bài toán đối ngẫu

- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán ban đầu trở thành các hằng số ở

vế hai các bất đẳng thức biểu thị các ràng buộc ở bài toán đối ngẫu

- Các hằng số ở vế hai trong các bất đẳng thức biểu thị các ràng buộc ở bài toán ban đầu trở thành hệ số của hàm mục tiêu trong bài toán đối ngẫu

- Các biến quyết định trong bài toán ban đầu (xj) được thay bởi các quyết định (zj) trong bài toán đối ngẫu

1.2.3 Bài toán đối ngẫu

1.2 Phương pháp đơn hình (Simplex Method)

Nhận xét

- Giá trị cực trị của các hàm mục tiêu trong bài toán ban đầu và bài toán đối ngẫu là như nhau, và chúng ta cũng có thể tìm ra giá trị của các biến quyết định trong bài toán ban đầu khi ta đã xác định được giá trị các biến quyết định trong bài toán đối ngẫu

- Chúng ta có thể thay bài toán cực tiểu một hàm mục tiêu nào đó thành bài toán cực đại trong bài toán đối ngẫu, ta thấy là giải bài toán cực đại dễ dàng hơn khi sử dụng phương pháp đơn hình

- Trong trường hợp bài toán ban đầu nhiều ẩn số nhưng chỉ có 2 ràng buộc, ta có thể giải bài toán đối ngẫu tương ứng bằng phương pháp đồ thị, bởi vì trong bài toán nầy ta chỉ có 2 biến

Ứng dụng LP giải quyết một số trường hợp đơn

giản của:

I Bài toán về mô hình quản lý chất lượng nước

II Bài toán về phân bổ nước và đất

III Bài toán về thiết kế hồ chứa

IV Bài toán về vận hành hồ chứa

Ứng dụng LP trong TNN

I Bài toán về mô hình quản lý chất lượng nước Ví dụ 1.1:

Một con sông nhận nước thải từ hai nguồn (site 1 và site 2) Hiện nay, với

không có bất cứ biện pháp xử lý nào tại những vị trí này, chỉ số chất

lượng nước (như DO), qi (mg/l) tại vị trí 2 và 3 tiếp tục dưới nồng độ

mong muốn Qi (chất lượng nước tại i được đo đạc ngay tại thượng lưu của điểm xả thải tại i) Cho mỗi đơn vị nước thải được loại bỏ tại i thượng lưu của j, chất lượng nước tại j được cải thiện bởi những hệ số chuyển đổi aij.

Vấn đề đặt ra là tìm mức độ xử lý nước thải tại vị trí 1 và 2 để đạt được nồng

độ mong muốn tại vị trí 2 và 3 với tổng chi phí tối thiểu Biết hiệu suất của nhà máy xử lý nước thải tại cả hai vị trí chỉ đạt 95% và yêu cầu tối thiểu 30% chất thải phải được loại bỏ tại cả hai vị trí trước khi chảy vào sông.

Ứng dụng LP trong TNN

I Bài toán về mô hình quản lý chất lượng nước Ví dụ 1.1

Ứng dụng LP trong TNN

Chỉ số chất lượng nước tại vị trị j được cải thiện

nhờ một đơn vị nước thải được loại bỏ tại i (aij) a12 a13 và a23

Chi phí để loại bỏ một đơn vị tỷ lệ nước thải (tỷ lệ

Ghi chú: Yêu cầu ít nhất 30% nước thải phải được loại bỏ khỏi 2 vị trị và

Hiệu quả xử lý tối đa là 95%

I Bài toán về mô hình quản lý chất lượng nước Ví dụ 1.2:

Các nhà chức trách đã áp đặt tiêu chuẩn chất lượng nước đổ vào sông, như

nồng độ của một chất gây ô nhiễm cụ thể không vượt qúa 120mg/l (0.12kg/m3) tại bất cứ điểm nào trong hệ thống sông như thể hiện trong hình vẽ 1-2 Bốn nhà máy đổ nước thải đã xử lý đi vào sông Tải ô nhiễm

từ những nguồn khác ngoài 4 nguồn trên giả sử bỏ qua Những phương tiện xử lý được vận hành nhằm đáp ứng tiêu chuẩn chất lượng nước, với mục tiêu tối thiểu chi phí vận hành kết hợp hàng ngày của tất cả các nhà máy Khi nước chảy xuống dưới hạ lưu, những quá trình tự nhiên cũng góp phần làm giảm tải ô nhiễm Khối lượng chất ô nhiễm được giảm là phần trăm Pi,j nhờ các quá trình tự nhiên giữa vị trí i và ví trí j như sau

P1,3 = 10%; P2,3 = 20%; P3,4 = 15%

Hiệu suất xử lý ô nhiễm của nhà máy sẽ giới hạn phần trăm tải ô nhiễm có

thể được loại bỏ trước khi đổ vào sông.

Số liệu được cho trong bảng 1-2.

Tìm lượng chất ô nhiễm cần được loại bỏ tại mỗi nhà máy xử lý trước khi đi

vào sông với tối thiểu tổng chi phí xử lý.

Ứng dụng LP trong TNN

I Bài toán về mô hình quản lý chất lượng nước: Ví dụ 1.2

Hình 1-2: Minh họa cho ví dụ 1-2

II Bài toán về phân bổ nước

Ví dụ 2.1: Phân bổ diện tích cây trồng

- Một huyện A gồm 3 xã: A1, A2 và A3 Văn phòng quy hoạch huyện

hiện nay đang quy hoạch diện tích sản xuất nông nghiệp trong

năm tới cho 3 xã

- Sản lượng nông nghiệp của mỗi xã bị giới hạn bởi diện tích đất

trồng và sự phân bổ nước có sẵn cho tưới như bảng 2-1

- Những cây trồng phù hợp cho huyện A này bao gồm: Lúa, Mía,

Ngô với đặc tính yêu cầu cho mỗi loại cây trồng này như bảng 2-2

- Tìm diện tích mỗi loại cây trồng nên được trồng cho mỗi xã của

huyện A nhằm tối đa tổng lợi nhuận thực cho huyện đó?

Ứng dụng LP trong TNN

II Bài toán về phân bổ nước

Ví dụ 2.1: Phân bổ diện tích cây trồng

Bảng 2-1 Giới hạn về đất và nước cho mỗi xã

Bảng 2-2 Giới hạn về đất, nước và lãi suất cho mỗi cây trồng

Nhu cầu nước cho cây trồng (m3/ha)

Lãi thực ($/ha)

II Bài toán về phân bổ nước

Ví dụ 2.2: Phân bổ nước giữa các nút nhu cầu

- Một lược đồ về hệ thống sông/ hồ chứa được trình bày như hình vẽ 2.1

- Hồ chứa A và B được đặt tại vị trí 1 và 2, có tổng dung tích trữ lần lượt là

750x10 6 và 900x10 6

- Lượng trữ ban đầu trong hồ chứa A và B tại bắt đầu của thời ký lần lượt là là

460x10 6 và 215x10 6

- Xả nước từ hồ chứa phục vụ cho duy trì dòng chảy tối thiểu trong sông và

tới mức độ có thể để đáp ứng mục tiêu cấp nước tại các nút nhu cầu.

- Dòng chảy tối thiểu cần được duy trì cho thời kỳ cụ thể đươc trình bày trong

bảng 2.3

- Nguồn cung cấp và nhu cầu được trình bày trong bảng 2.4 cho mỗi nút

tương ứng với hình vẽ 2.1

- Nếu nguồn cung cấp là không đủ để đáp ứng tất cả nhu cầu, phân bổ nước

được tiến hành dựa vào quyền ưu tiên tương đối giữa các nút như trình bày trong bảng 2.4(quyền ưu tiên cao nhất ứng với chỉ số tương đối cao nhất).

- Tìm quyết định vận hành

Ứng dụng LP trong TNN

II Bài toán về phân bổ nước

Ví dụ 2.2: Phân bổ nước giữa các nút nhu cầu

Một lược đồ về hệ thống sông/ hồ chứa được trình bày như hình vẽ 2.1

II Bài toán về phân bổ nước

Ví dụ 2.2: Phân bổ nước giữa các nút nhu cầu

Bảng 2.3 Số liệu về yêu cầu dòng chảy tối thiểu tại các đoạn sông

III Bài toán thiết kế hồ chứa

III.1: Bài toán tìm dung tích hồ (capacity), biết lượng nước xả cố định cho nhu cầu (yield) (bỏ qua bốc hơi và thấm)

St: dung tích hiệu dụng của hồ chứa (active reservoir storage) tại thời kỳ t

K: tổng dung tích của hồ (active storage volume capacity)

Qt: Dòng chảy vào hồ tại thời kỳ t (inflow volume)

Yt: Lượng xả cho nhu cầu trong mỗi thời kỳ t (yield)

Rt: Xả thừa từ hồ chứa tại thời kỳ t (excess release)

Cho mỗi thời kỳ t = 1, 2, 3, ,T, T+1 = 1

(2) Ràng buộc vào khả năng trữ của hồ

III.1: Bài toán tìm dung tích hồ (capacity), biết lượng nước xả cố định cho nhu cầu (yield) (bỏ qua bốc hơi và thấm)

III.2: Bài toán tìm dung tích hồ (capacity), biết lượng nước xả cho nhu

cầu Yt (yield) (bỏ qua bốc hơi và thấm)

III.3: Bài toán tìm lượng nước xả cho nhu cầu Y(hằng số) (yield) biết dung tích hồ (capacity), (bỏ qua bốc hơi và thấm)

III.3: Bài toán tìm lượng nước xả cho nhu cầu Y(hằng số) (yield) biết dung tích hồ (capacity), (bỏ qua bốc hơi và thấm)

Ví dụ 3.3: Kết quả (hoặc ứng dụng Lingo hoặc ứng dụng excel solver)

IV Bài toán về xác định chính sách vận hành hồ tối ưu (Reservoir Rule Curve)

Cho mỗi thời kỳ t = 1, 2, 3, ,T, T+1 = 1

(2) Ràng buộc vào khả năng trữ của hồ