ÔN TẬP CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1.DẠNG 1: Viết ptmc (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R
CÁCH GIẢI Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a,b,c),bán kính R là :
(x a)− + −(y b) + −(z c) =R BÀI TẬP ÁP DỤNG Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1,-1,2),bán kính R=5 GIẢI
(S) : (x 1)− 2+ +(y 1) 2+ −(z 2) 2 =25 2.DẠNG 2: Viết ptmc (S) có tâm I(a,b,c) và đi qua M (x , y , z ) 0 0 0 0
CÁCH GIẢI
(S) có tâm I(a,b,c) , bán kính R=IM 0
Dạng (S) : (x a)− 2+ −(y b) 2+ −(z c) 2 =R 2
Thế I(a,b,c) và R=IM vào ptmc (S) 0
BÀI TẬP ÁP DỤNG Viết ptmc (S) có tâm I(-3,2,-1) và đi qua M (1,4, 1) 0 −
GIẢI
0
Dạng (S) : (x a)− 2+ −(y b) 2+ −(z c) 2 =R 2
(S) : (x 3)+ 2+ −(y 2) 2+ +(z 1) 2 =20 3.DẠNG 3: Viết ptmc (S) có đường kính AB (với A,B là hai điểm cho trước)
CÁCH GIẢI
AB có tâm I(a,b,c) là trung điểm đoạn AB,bán kính R=
2 (S)
Dạng (S) : (x a)− 2+ −(y b) 2+ −(z c) 2 =R 2
Thế I(a,b,c) và R= AB
2 vào ptmc (S) BÀI TẬP ÁP DỤNG Viết ptmc (S) có đường kính AB,biết A(2,-3,5),B(4,1,-3) GIẢI Gọi I (a,b,c) là tâm mặt cầu (S) thì I là trung điểm đọan AB
I
I
A B I
2
2
2
+
= =
+
= = − ⇒ −
+
= =
Trang 2+ +
Dạng (S) : (x a)− 2+ −(y b) 2+ −(z c) 2 =R 2
(S) : (x 3)− 2+ +(y 1) 2+ −(z 1) 2 =21
4 DẠNG 4: Viết ptmc (S) có tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với mp(α):Ax+By+Cz+D=0
CÁCH GIẢI
(S) có tâm I(a,b,c) bán kính R=d(I,( ))α
Dạng (S) : (x a)− 2+ −(y b) 2+ −(z c) 2 =R 2
Thế I(a,b,c) và R=d(I,( ))α vào ptmc (S)
BÀI TẬP ÁP DỤNG Lập ptmc (S) có tâm I(3,-5,-2) và tiếp xúc ( ) : 2x - y - 3z 11 0α + =
GIẢI
có tâm I(3,-5,-2) bán kính R=d(I,( )) 2.3 5 3.2 11
4 1 9
+ + +
+ +
Dạng (S) : (x a)− 2+ −(y b) 2+ −(z c) 2 =R 2
(S) : (x 3)− 2+ +(y 5) 2+ +(z 2) 2 =56
5.DẠNG 5 : Viết ptmc (S) có tâm I∈ (α):Ax+By+Cz+D=0 và đi qua ba điểm A,B,C
CÁCH GIẢI
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
I ( )
Ta có: AI I
Giải hệ ba pt ba ẩn số a,b,c,tìm được tâm I(a,b,c) ,
Thế I(a,b,c) và R=AI v
B C
R AI
∗
∈ α
∗ =
=
∗ − + − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG Lập ptmc (S) đi qua ba điểm A(-2,4,1),B(3,1,-3),C(-5,0,0) và có tâm nằm trên mp( ): 2x+y-z+3=0α
GIẢI
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
6a+8b+2c=-4 c=3
Giải hệ pt ta có I(1,-2,3) , Dạng (S) :
B C
(x a) (y b)
∗
∈ α
∗ = ⇔ ⇔
=
∗ − + + + − =
Trang 36.DẠNG 6 : Viết ptmc (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D cho trước
CÁCH GIẢI
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
Ta có: AI I
Giải hệ ba pt ba ẩn số a,b,c,tìm được tâm I(a,b,c) ,
Thế I(a,b,c) và R=AI
B C D
R AI
∗
=
∗ =
=
∗ − + − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) đi qua bốn điểm A(1,-2,-1),B(-5,10,-1),C(4,1,11),D(-8,-2,2)
GIẢI
Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu (S)
I(-2,4,5) ,
B C D
∗
∗ = ⇔ ⇔
=
⇒ = = + + =
∗ − + − + − =
∗ + + − + − =
7.DẠNG 7: Viết ptmc (S) có tâm thuộc trục ox và đi qua hai điểm A B cho trước
CÁCH GIẢI
2
Gọi I(a,0,0) ox là tâm mặc cầu (S)
Ta có :AI Giải pt tìm a
Thế I(a,0,0) và R=AI vào ptmc (S)
2
BI
∗
∗ − + − + − =
∗
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Lập ptmc (S) đi qua hai điểm A(3,1,0),B(5,5,0) và có tâm I thuộc trục ox
GIẢI
2
Gọi I(a,0,0) ox là tâm mặc cầu (S)
Ta có :AI suy ra I
(S):
2
(10,0, 0), R AI 49 1 50
∗ = ⇔ = ⇔ =
∗ − + − + − =
− + + =
Trang 48.DẠNG 8: Lập ptmc (S) có tâm thuộc đt(d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ),( ) α β
CÁCH GIẢI
0 1
0 2
0 3
0 1 0 2 0 3
x=x +a t Đưa pt (d) về dạng tham số: y=y +a t
z=z +a t Gọi I(x +a t,y +a t,z +a t) là tâm mặt cầu thuộc (d).
(S) tiếp xúc với ( ),( ) d(I,( ))=d(I,( )) Giải pt tìm t tâm I(a,b,c),
∗
Thế I(a,b,c) và R= d(I,( )) vào ptmc (S)
α
∗ − + − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho hai mặt phẳng ( ):6x+2y-3z+3=0, ( ): 2x+2y-z+3=0 và đường thẳng
(d):
Lập ptmc (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ),( )
+ = − = −
−
α β
GIẢI
I I
x=-12-8t Ptts của (d) : y=7+3t
z=26+14t
(S) tiếp xúc với ( ),( ) d(I,( ))=d(I,( ))
6x +2y -3
I(-12 - 8t,7 3t, 26 14t)
⇔ z +3 I 2x +2y -z +3 I I I
6(-12-8t)+2(7+3t)-3(26+14t)+3 2(-12-8t)+2(7+3t)-(26+14t)+3 t-133
= + + + +
⇔ − = − −
I(4,1,-2), R=d(I,( ))=5
Dạng (S) :
3 t 2
= −
⇔ = −
∗ = − ⇒ α
− + − + − =
(S) :
Dạng (S) :
t I(0, , 5), R d(I,( )) 1
− + − + + =
∗ = − ⇒ = α =
− + − + − =
(S) : 2 5 2 2
2
+ − + − =
Trang 59.DẠNG 9: Viết ptmc(S) có tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ cho trước
CÁCH GIẢI có tâm I(a,b,c) và bán kính R=d(I, )
Thế I(a,b,c) và R= d(I, ) vào ptmc (S)
(S)
∗ − + − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
x y z+3 Lập ptmc (S) có tâm I(3,2,4) và tiếp xúc :
∆ = =
GIẢI
có tâm (2,4,1) là vtcp của Bán kính
(S) I(3, 2,4),M(0,0,-3) , MI(3, 2,7)
u
4 16 1 u
∆
+ +
+ +
∗ − + − + − =
uuu r r
r uuu r r
(x 3)− + −(y 2) + −(z 4) =41
10.DẠNG 10:
0 0 0
x Lập ptmc (S) đi qua một đường tròn :
( ) và một điểm M(x ,y ,z ) ( )
Ax By Cz D 0
+ + − − − + =
+ + + = α
∉ α
CÁCH GIẢI
(S) chứa đường tròn (c) có dạng:
qua M(x ,y ,z ) x
Ptmc
∗
∗ + + − − − + + + + + =
∗ ⇒ + + − − − + + + + + =
⇒ x 0 2 2 2
m vào phương trình (1) thu gọn được ptmc (S)
m
Thay
+ + − − − +
= −
+ + +
∗
BÀI TẬP ÁP DỤNG Lập ptmc (S) đi qua A(2,-1,1) và đường tròn: x 2 y 2 z 2 2x 3y 6z 5 0
5x 2y z 3 0
+ + − + − − =
+ − − =
GIẢI
vào (1) ta được:
Thay m 3
∗ + + − + − − + + − − =
∗ − ∈ ⇒ + + − − − − + − − − =
⇔ − + = ⇔ =