Tiếp tuyến với đường tròn O tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn lần lượt tại C và D.. Gọi N là giao điểm của AD và BC.. a/ Chứng minh MN // AC b/ Tính giá trị nhỏ nhất
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Đề chính thức
Bài 1(2.0đ): a/ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :
a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 và ab + bc + ca = 9
Tính (a + b + c)2 rồi suy ra a + b + c
b/ Cho x, y là các số thực sao cho x 1
y
x
+ là các số nguyên Chứng minh rằng : x y2 2 2 21
x y
+ là số nguyên.
Bài 2(2.0đ): a/ Cho biểu thức : A = 2− 3 − 2+ 3 Tính A2 và A− 2
b/ Tìm x, biết : 3x2 +6x+ +7 5x2 +10x+14 4 2= − x x− 2
Bài 3(2.5đ): Cho hàm số y = x2 + 1 có đồ thị (d)
a/ Đơn giản hàm số (bỏ dấu và dấu )
b/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số tìm được ở câu (a)
Bài 4(1.0đ): Cho tam giác ABC có C Bµ − =µ 90 0 và AH là đường cao của tam giác Chứng minh rằng : AH2 = BH.CH
Bài 5(2.5đ): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm
trên nửa đường tròn đó (M khác A và B) Tiếp tuyến với đường tròn O tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn lần lượt tại C và D Gọi N là giao điểm của AD và BC
a/ Chứng minh MN // AC
b/ Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM Khi dó ứng với vị trí nào của M
Họ và tên thí sinh : ………
Số báo danh : ………… Phòng ………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
B1
2.0
a
1đ
a2 + b2 + c2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
a2 + b2 + c2 = a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2
a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca (*)
Mà (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
= 4ab + 4bc + 4ca (từ *)
= 4(a + b + c) = 4.9 =36
Suy ra a + b + c = 6 vì a, b, c dương
0.25 0.25
0.25 0.25 b
1đ
à y + x
y
+ là các số nguyên nên tích cũng là số nguyên :
2
+ + = + +
÷ ÷
1
xy xy
+ là số nguyên
=>
2
1
xy xy
+
là số nguyên
Mà x2y2 + 2 2
1
2
1 2
xy xy
+ −
là số nguyên Vậy x2y2 + 2 2
1
x y là số nguyên
0.25 0.25 0.25 0.25
B2
2.0
a
1đ A
2− 3 − 2+ 3
= 2− 3 − 2 2( − 3 2)( + 3) + 2 + 3
= 4 – 2 4 3 − = 2
Vậy A2 = 2
Suy ra : A = − 2 Vì A = 2− 3 − 2+ 3 < 0
Do đó A− 2 = − 2 − 2 = − 2 2
0.25 0.25 0.25 0.25
b
1.0
Ta có 3x2 + 6x+ + 7 5x2 + 10x+ 14
= ( )2 ( )2
3 x+ 1 + + 4 5 x+ 1 + 9
Trang 3và 4 2x x− − 2 = ( )2
5 − +x 1 ≤ 5
do đó 3x2 + 6x+ + 7 5x2 + 10x+ 14 = 4 2x x− − 2
( )2 ( )2
3 x+ 1 + + 4 5 x+ 1 + 9 = ( )2
5 − +x 1 = 5 ( )2
1 0
0.25
0.25 0.25
B3
2.5
a
1đ
Ta có y= x2 + 1
= x + 1
1
1
x y
x
+
0 0
khi x khi x
≥
<
0.25
0.5 0.25 b
1.5
Ta có y ≥ 1 với mọi x ∈ R y
+ Với x < 0 đồ thị là 1 phần đường (1) (2)
thẳng y = -x +1 (1)
+ Với x ≥0 đồ thị là 1 phần đường 1
thẳng y = x + 1 (2) o x
0.25 0.25
0.25 Vẽ: 0.75
B4
1.0
Ta có BCA H CAH· = +µ ·
A => CAH· =BCA· − 90 0
=> CAH· =µB
Do đó ∆AHC: ∆BHA (g-g)
AH CH
B C H Suy ra AH2 = BH.CH
0.25 0.25 0.25 0.25
B5
2.5
a
1.0
0.25 0.25 0.25 0.25
Ax//By (cùng Vg góc AB) Nên ∆ANC: ∆DNB
Ta có : AN AC
Mà AC = CM; BD=DM (2 ) (1)&(2) AN CM
(3) chứng tỏ AC//MN (đ/lý đảo của đ/lý Thales)
H
Trang 41.5
AC//MN => MN ⊥AB tại H
Ta có ABDC là hình thang vuông nên CD≥AB
SABDC = 1( ).
=CD R ≥ 2 R R= 2R2 (*)
SAMB = 1 .
≤ R.R = R2 (**) (do MH ≤ MO)
(*) và (**) Suy ra : SABDC – SAMB ≥ R2
Hay SACM + SBDM ≥ R2 GTNN là R2
Dấu “=” xảy ra CD=AB (ABDC là HCN) & H≡O
M là điểm chính giữa của nửa đ.tròn O
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa
Điểm toàn bài không làm tròn số
