de thi HSG lop 8 nam: 08-09 - dap an

Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. Gọi M là trung điểm của đoạn BE.. Chứng minh rằng

đề thi học sinh giỏi

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

1 x2 7 x  6

2 x4 2008 x2 2007 x  2008

Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình:

1 x2 3 x   2 x  1 0 

2

Bài 3: (2điểm) 1 CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)( 1  1  1 )  9

c b a

3 Tìm số d trong phép chia của biểu thức  x  2   x  4   x  6   x  8   2008 cho đa thức x2 10 x  21

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB 

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

.

1.1 (0,75 điểm)

  x  1   x  6 

0.5 0,5

1.2 (1,25 điểm)

0,25

 x2 x 1   x2 x 1  2007  x2 x 1   x2 x 1   x2 x 2008 

0,25

2.1 x2 3 x   2 x  1 0  (1)

+ Nếu x  1: (1)   x  1 2   0 x  1 (thỏa mãn điều kiện x  1)

+ Nếu x  1: (1)  x2 4 x    3 0 x2 x  3  x  1    0  x  1   x  3   0

 x  1; x  3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x  1

0,5 0,5 2.2

2

(2)

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x  0

2

2

2 2

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x  8

0,25 0,5 0,25

3 2.0

3.1 Ta có:

A=(   )( 1  1  1 )  1     1     1

b

c a

c c

b a

b c

a b

a c

b a c b a

=3 ( ) ( ) ( )

c

b b

c a

c c

a a

b b

a













Mà:   2

x

y y

x

(BĐT Cô-Si)

Do đó A 3  2  2  2  9 Vậy A 9

0,5

0,5 3.2 Ta có:

Đặt 2

t  x  x  t  t  , biểu thức P(x) đợc viết lại:

Do đó khi chia 2t  2 t  1993 cho t ta có số d là 1993

0,5

0,5

4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

CE  CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BEC    ADC  1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)

Nên  AEB  450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

1,0

0,5 4.2

Ta có: 1 1

BC   BC   AC (do  BEC   ADC)

BC   AC   AC  AB  BE (do  ABH   CBA)

Do đó  BHM   BEC (c.g.c), suy ra: BHM    BEC  1350   AHM  450

0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC

Suy ra: GB AB

GC  AC , mà AB ED  ABC DEC  AH  ED AH //  HD