PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

Bài 1 Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a 6  23

4 1

y  x   x trên  1;1

Gi i

Cách 1 t 2  

0;1

u  x 

y  u   u   u  u  u 

  2

3

     

Nhìn b ng bi n thiên ta có:

4 max 4; min

9

x  u   y u  u

sin u cos u 3cos u sin u cos u 3 4

V i x  0 thìmax y  4 S d ng b t đ ng th c Côsi ta có:







y  u  u   u  u    y

x   y 

Bài 2 a) L p b ng bi n thiên và tìm GTLN c a hàm s

2

3 1

x y x







a   b   c   (a    b c 1)

Gi i

a) TX : D  ;

x



ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ C VI T

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Bài 19 Ph ng pháp đ o hàm thu c khóa h c B i

d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , b n

c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

y  0  0  0

y

4

4 9

1

    2

2 2

1

y

x x

x x

     Nhìn BBT

ta có

2

1

x

x



b) Theo ph n a) thì y  10 ,  x  2

x   x   x

c bi t hóa b t đ ng th c này t i các giá tr x  a x b x ,  ,  c ta có:

2

2

2







 a     b c 9 10. a 2   1 b 2   1 c 2  1

10  a   1 b   1 c  1

Cách 2 Trên m t ph ng t a đ Oxy đ t

 ;1 ;  ;1 ;  ;1

OA  a AB  b BC  c

Khi đó OC  OA  AB  BC a   b c ; 3

Do OA  AB  BC  OA  AB  BC  OC

a   b   c  

Bài 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

2 3

4

xy A



(x y ,  0)

Gi i

t x t 0

y   hay x  ty ta có

2 4

t A

t t



Ta có  

2

3

4 3 '

f t

 



2

f t   t     t t

L p b ng bi n thiên ta đ c  

0

Max

32 2



 

   

 

Bài 4 Cho x y ,   3;2th a mãn đi u ki n 3 3

2

x  y  Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c

.

S  x  y

Gi i

T 3 3

2

x  y  suy ra x  3 2  y 3 thay vào S ta đ c

x  1/3 

y  + 0  0

y

1

10

1

a a+ b a+ b+ c

C

A

B

1

2

3

y

 32  3 2 3 2 3 2  

t  y

x      x     y     y  (1)

M t khác y   3; 2 nên 3  

27;8

y   (2) T (1) và (2) 3  

6;8

t y

    Xét f t  trên D   6;8 Ta có:

 

'

3 3 2

f t

 và f' t   0 t 1

L p b ng bi n thiên ta có

D

S  t  f  f  đ t t i    3 

x y  ho c hoán v

Max S  Max f t  f    6 4 36 đ t t i x y ;   3 3;2 ho c hoán v

Bài 5 Tìm GTNN c a 3 3 2 2

3

a b

ab a b







  

Gi i

4

a b

ab    a b ab ab    a b Ta có

2

a b



2 2

1

4

a b

a b

 



Xét hàm s g t  t2 t 12 2,t 2.

t

       

2 12

t

      

2

3

2



2

S     a b

Bài 6 Cho 2 2

1

x  y  Tìm Max, Min c a A  x 1   y y 1  x

Gi

1 Tìm MaxA: S d ng b t đ ng th c BunhiaCôpski ta có

x  y   y   x    x y

2

x   y thì Max A  2  2

2 Tìm MinA: Xét 2 tr ng h p sau đây

• Tr ng h p 1: N uxy  0, xét 2 kh n ng sau:

+) N u x  0, y  0 thì A>0 Min A  0

+) N u x  0, y  0 thì A  2 2  

( x  y ) (1  x )   (1 y )  2   x y =  2 2

2  x  y  2  x  y  1

T 2 kh n ng đã xét suy ra v i xy  0 thì Min A = 1

• Tr ng h p 2: Xét xy  0: t x   y t  2 1 0

2

t

xy    t   1,1

A  x  y  xy  x  y  y    x xy x  y  xy    x y xy

2

 2   1 1 2 3 2 2 1 2 2 2

2

A  f t    t  t   t  

f t   t  t      t t  t t 

Th t 1 , t 2 vào ph n d c a f t  chia cho f t

2 19 3 2

27

Nhìn b ng bi n thiên suy ra:

2

A  f t    A f t suy ra

1

2 19 3 2

27

x y ra  x   y t 1;

2

2

t



,

x y

K t lu n: Max A  2  2 ; 2 19 3 2

Min

27

Bài 7 Cho x y z , ,  0,1 tho mãn đi u ki n: 3

2

x    y z Tìm Max, Min c a bi u th c:  2 2 2

cos

S  x  y  z

Gi i

Do x y z , ,  0,1 nên 0 2 2 2 3

2 2

       

t 1 t1 t2 1

  0  0 

 1

 1

f t

 2

f t

1

Vì hàm s y  cos  ngh ch bi n trên  0,

2

 nên bài toán tr thành

1 Tìm MaxS hay tìm Min 2 2 2

x  y  z

x  y  z    x  y  z  x   y z 

2

x    y z thì MaxS = cos3

4

2 Tìm MinS hay tìm Max 2 2 2

x  y  z

Cách 1: Ph ng pháp tam th c b c hai:

Không m t tính t ng quát gi s  , ,  1;1

2

zMax x y z    z  

Bi n đ i và đánh giá đ a v tam th c b c hai bi n z

x  y  z  z  x  y  xy  z   z  z  z   f z

Do đ th hàm y = f(z) là m t parabol quay b lõm lên trên nên ta có:

    1    1   5

V i 1; 1; 0

2

z  x  y  thì MinS = cos5

4

Cách 2: Ph ng pháp hình h c

Xét h t a các vuông góc Oxyz T p h p các đi m M x y z , ,  tho mãn đi u ki n x y z , ,  0,1

n m trong hình l p ph ng ABCDABCO c nh 1 v i A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0) M t khác do 3

2

x    y z nên M x y z , ,  n m trên m t ph ng (P):

3 2

x    y z

V y t p h p các đi m M x y z , ,  tho mãn đi u ki n gi thi t n m trên thi t di n EIJKLN v i các

đi m E, I, J, K, L, N là trung đi m các c nh hình l p ph ng G i O là hình chi u c a O lên

EIJKLN thì O là tâm c a hình l p ph ng và c ng là tâm c a l c giác đ u EIJKLN Ta có OM là hình chi u c a OM lên EIJKLN Do OM2

x  y  z nên OM l n nh t  OM l n nh t

 M trùng v i 1 trong 6 đ nh E, I, J, K, L, N

T đó suy ra:

 

x  y  z  OK   

4

V i 1; 1; 0

2

z  x  y  thì MinS = cos5

4

y

3/ 2

O

E 1

1 K

3/ 2 J

M

z

x

I

L

N

3/ 2 1

O 

Bài 8 Cho a,b,c  0 th a mãn đi u ki n a b c 3

2

  

Tìm giá tr nh nh t c a 2 2 2

Gi i Sai l m th ng g p:

6

6

              

2

             mâu thu n v i gi thi t

 Phân tích và tìm tòi l i gi i: Do S là m t bi u th c đ i x ng v i a, b, c nên d đoán Min S đ t t i

1 2

a    b c

 S đ đi m r i:

1 2

a    b c 

1 4









 1 4

4 

    16

 Cách 1: Bi n đ i và s d ng b t đ ng th c Côsi ta có

17

1

 

17

2

2

3

2

a b c    thì Min 3 17

2

S 

 Cách 2: Bi n đ i và s d ng b t đ ng th c BunhiaCôpski ta có

b

c

a











17

a b c

       

           

3

3

a b c

        

2

a    b c thì Min 3 17

2

S 

 Cách 3: t u    a,1 ; v b,1 ; w  c, 1

Do u  v  w  u  v  w nên suy ra :

a b c

           

3 15

a b c

           



2 3

abc

2 16

3

a b c

 

 9 135 4 18 135 153 3 17

2  16   4  4  4  2

2

a    b c thì Min 3 17

2

S 

B CÁC NG D NG GTLN, GTNN C A HÀM S

Gi i

t f x  4 x   2 4 4  x v i 2   x 4

 

4

Nhìn BBT suy ra: f x  f 3    2 x  2, 4

 Ph ng trình f x  4 x   2 4 4   x 2 có nghi m duy nh t x  3

Gi i

PT  f x 3x 5x 6x  2 0 Ta có: f  x 3 ln 3x 5 ln 5x 6

3 x ln 3 5 x ln 5 0

M t khác (x) liên t c và

 0 ln 3 ln 5 6 0

 1 3ln 3 5ln 5 6 0

 Ph ng trình (x)  0 có đúng 1 nghi m x0

Nhìn b ng bi n thiên suy ra:

Ph ng trình f x 3x 5x 6x  2 0 có không quá 2 nghi m

Mà f 0  f 1 0 nên ph ng trình (1) có đúng 2 nghi m x  0, x  1

Gi i

2

m x    x m  m 2 x 2    9 1 x

2

x

m f x

x

 

x  0 x 0 1 

f   0 

f

(x0)

  0 



2

Ta có:  

2

2

x

f x

 

 0  2 x 2      9 9 x 6

 

2

2

x x

;

 

2

2

x x

Nhìn BBT ta có f x m ,  x





      

2  2sin 2 x  m 1 cos  x (1) có nghi m ,

2 2

x    

Gi i

2 2

x    

x  

   nên đ t tg  1,1

2

x

t   

 cos 1 22

1

t x

t





2 sin 1

t x t





2 sin x  cos x  m 1 cos  x

2

f t   t   t  t    t t  

 B ng bi n thiên

Nhìn b ng bi n thiên suy ra:

(2) có nghi m t   1,1

thì

       0  2 m     4 0 m 2

V y đ (1) có nghi m ,

2 2

x    

  thì m  0; 2

2







(1) có nghi m

Gi i

(1) 

x

 





f   0  

f 0

CT

8

21

x  6 6 

 1 2



3 4



3

2

t 1 1  2 1

(t)  0 

(t) 4

0

4

Ta có:    

2

2

f x



  



;

(x)  0  2

3

x  Nhìn BBTsuy ra:

0;3

(2) có nghi m thì     2

0;3

m  m   3  m  7

Bài 6 Tìm m  0 đ h :

2

35

4 33

4







(1) có nghi m

Gi i

3 3



f m  m  m 

f  m  m      m

Nhìn BBT suy ra: (m)  (2)  1,m  0

k t h p v i sinx  y 1suy ra đ h (2)

có nghi m thì m  2, khi đó h (2) tr thành:

1 sin

2

x y

x y





 





có nghi m ;

x y V y (1) có nghi m  m  2

Bài 7 ( TS H kh i A, 2007)

3 x   1 m x   1 2 x  1 có nghi m th c

Gi i

K: x  1, bi n đ i ph ng trình

4

t 4 1 41 2 0,1

x u



Khi đó   2

g t   t  t  m

3

g t        t t

Do đó yêu c u 1 1

3 m

   

  0 

 17

1



 

 

g t

0

1 3

– 1

Bài 8 ( TS H kh i B, 2007): Ch ng minh r ng: V i m i m  0, ph ng trình 2  

x  x   m x  luôn có đúng hai nghi m phân bi t

Gi i

i u ki n: x  2

Bi n đ i ph ng trình ta có:

x 2x 6 m x 2

ycbt g x m có đúng 1 nghi m thu c 2;  Th t v y ta có:

g x   x x     x Do đó g x  đ ng bi n mà g x  liên t c và

 2 0; lim  

x



   nên g x m có đúng m t nghi m 2; 

V y   m 0, ph ng trình 2  

x  x   m x  có hai nghi m phân bi t

4 2 x  2 x  2 6 4   x 2 6   x m

Gi i

f x  x  x    x  x x 

Ta có:  





t  

, x





   





 

 

( ) 0, 0, 2 ( ) 0, 2, 6 (2) 0

f







  



Nhìn BBT ta có PT có 2 nghi m phân bi t  4

2 6  2 6   m 3 2  6

 

 

g x

0



 

4 12  2 3 4

2 6  2 6

Bài 10 ( TS H kh i D, 2007):

Tìm m đ h ph ng trình có nghi m

    









Gi i

t u x 1;v y 1

3 3

x

và u x 1 x 1 2 x 1 2 ; v y 1 2 y 1 2

8

 



 u v , là nghi m c a ph ng trình b c hai   2

f t  t    t m

H có nghi m  f t m có 2 nghi m t t 1 , 2 th a mãn t 1  2; t 2  2

L p B ng bi n thiên c a hàm s f t  v i t  2

2

/2

+



 

 

2

2

7 /4

+



Nhìn b ng bi n thiên ta có h có nghi m 7 2 m 22

Bài 11 ( 1I.2 B đ TS H 1987-2001):

x  x y  y   đúng v i   y

Gi i

t usin ycos y  2, 2 ,

2, 2

u

  

Do đ th yg u  là m t đo n th ng v i u  2, 2  nên

 

2 , 2

u

g u

 

2 2

g



II NG D NG GTLN, GTNN CH NG MINH B T NG TH C

Gi i

B T  f x   1 x lnx  1  x 2 1  x 2  0   x

Ta có: f  x  lnx  1  x 2   0 x 0

 B ng bi n thiên

Nhìn b ng bi n thiên suy ra:

f x  f   (đpcm)

Bài 2 Cho

1

x y







x  y   

Ch ng minh

Ta có x3 + y3 = 1  3 3

1

x  y  x   x v i x[0,1]

3 5 6

1 ( )

x

f x



1 ( ) 0

1 2 2

f x    x 

  B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên suy ra:

ƒ(x)  ƒ(x0) = M =  5

2 2  1 x[0, 1]

, , 0

1

a b c







3 3 2

Gi i

Ta có:

T

Xét hàm s f x  x1  x 2 v i x > 0

3

f  x   x    x 

Nhìn b ng bi n thiên    2 0

3 3

f x    x

b

3

a b c

   

f

0

x  1

f   0 

f

2

3 3

f + 0 

Bài 4 Cho

2 2

2

y x

 





  

 Ch ng minh r ng: x

2 + y2 2

Gi i

2

2

2

y x

 





  

0

2

y





0 0

6 0

5

y y

x







 

 

Ta có x2 + y2  x2 + (2x2

+ 3x)2 = ƒ(x) Ta s ch ng minh ƒ(x)  2

Bi n đ i ƒ(x) = 4x4  12x3

+ 10x2

 f x = 4x(x  1)(x  5) T BBT ta có

Max ƒ(x) = ƒ(1) = 2  x2

+ y2  ƒ(x)  2

Gi i

Ta c n ch ng minh f x u x v x   . < 1

Ta có:

 

 

n n

n n











       

!

n x

n









Do 3  n l nên (x) cùng d u v i (2x)

Nhìn b ng bi n thiên suy ra:

f x  f    x  (đpcm)

Bài 6 Ch ng minh r ng: 3 3 3 4 4 4

a  b  a  b a, b > 0

Gi i

 

 

4 4

3

1

1

a

b



1

1

3 3

  v i t a 0

b

 

1

2

3 3

1

t



2

3

2 3

2

3 3

1

t







 f(t) = 0  t = 1  B ng bi n thiên c a f(t)

T BBT  432

2  f(t) < 1 t > 0  4 4 4 4

2 2







 3 3 3 4 4 4

 D u b ng x y ra  a = b > 0

Giáo viên : Lê c Vi t

Ngu n : Hocmai.vn

f

1

4 3

2 2

1