GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP hàm đặc TRƯNG

KHTN Hà Nội 19 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm?. Lời giải Chọn A Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi các nghiệm này đều thỏa mãn điều

TT LTĐH CAO THẮNG – HUẾ PHƯƠNG PHÁP

- Câu 47 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2020

Sau đây, tôi xin trình bày cơ sở lý thuyết và giới thiệu một số ví dụ áp dụng của nó trong các đề thi thử THPT Quốc Gia cũng như đề chính thức của BGD&ĐT qua các năm

I Cơ sở lý thuyết: Cho hàm số y f x  liên tục trên tập D

 Nếu hàm số f x đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên   D thì u v, D f u,   f v u v

 Nếu hàm số f x đồng biến trên   D thì u v, D f u,   f v u v

 Nếu hàm số f x nghịch biến trên   D thì u v, D f u,   f v u v

II Áp dụng

1 Giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Câu 1 (Chuyên Thái Bình 18) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

x x x

Lời giải Chọn D

Điều kiện

12

20

x x

3 132

x x x

x x

Với x  ta có 1

 

1 1

1

3

x x

Câu 4 (THTT 18) Biết x , 1 x là hai nghiệm của phương trình 2

2

2 7

x  x  a b với a , b là hai số nguyên dương Tính a b www.facebook.com/bdbaolong/

Chọn C.

Điều kiện

012

x x

x x

Vậy hai nghiệm của phương trình là 2 và 2

Suy ra g x đồng biến trên    nên (*) nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất

Mà x  là một nghiệm của phương trình (*) 0Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là S  0

Câu 8 (TƯ NGHĨA 19) Cho hàm số y f x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số nghiệm của phương trình      

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt

Câu 9 (Nguyễn Du - DakLak 19) Cho hàm số   3 2

f f

Bấm máy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt, phương

trình (3) có 3 nghiệm phân biệt (không trùng nhau)

Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt

2 Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm

Câu 10 (Đề Chính Thức 18 - Mã 103) Cho phương trình với là tham số Có bao

nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm ?

Hướng dẫn giải Chọn C

Xét hàm số Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Câu 11 (Đề tham khảo BGD 18) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3m33m3sinx sinx có nghiệm thực?

Lời giải Chọn A

Ta có 3m33m3sinx sinx33m3sinx sin3xm

3 3

   

   

1;1 1;1

Do đó  *  f m2x f  2x  m2x 2x m4x2x Xét hàm số g x   4x2x trên 

Câu 13 (KHTN Hà Nội 19) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình

có nghiệm ?

Lời giải Chọn A

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

(các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì )

Vì m nguyên thuộc đoạn 2018; 2018 nên có 2020 giá trị của m thỏa mãn

Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc 18) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình

có nhiều nghiệm nhất

Lời giải Chọn B

Suy ra phương trình có nhiều nhất là hai nghiệm

Câu 16 (SỞ CÀ MAU 19) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số để bất

với mọi Số phần tử của tập là

Lời giải Chọn B



 YCBT

Câu 17 (ĐỀ 17 VTED 19) Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình

Câu 18 (SỞ QUẢNG BÌNH 19) Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số để bất

phương trình sau nghiệm đúng với mọi Tổng tất cả các phần tử của bằng

Lời giải Chọn A

Câu 20 (Tập huấn Bắc Ninh 19) Cho phương trình 2 6x x4 3m  x2m18x 20x 10x  Biết 1

;

a b

b tối giản) là tập tất cả các giá trị của tham số

m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt Tính 2 2

Sa b

Lời giải Chọn C

Với x  phương trình đã cho tương đương với 0

www.facebook.com/bdbaolong/

Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 4m 8Suy ra a4; b8 T b2a2 48

Câu 22 (SGD Bà Rịa Vũng Tàu 18)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số x y thỏa ; 

log x m6 log x m   9 0Đặt tlog3x, phương trình trở thành 2   2

t  m tm    1 Phương trình  1 có nghiệm    0 2

3m 12m 0

    0 m 4

Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn

Câu 23 (SỞ BÀ RỊA VŨNG TÀU 19) Cho phương trình 3x3x22x m 3x2 x 5x33xm 5 0 Gọi S là

tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt Số phần tử

   Vì m  nên m 4 ; 5; 6 Vậy có 3 giá trị m nguyên

Câu 24 Cho phương trình emcosxsinxe2 1 sin x  2 sinx m cosx với m là tham số thực Gọi S là tập tất cả

các giá trị của m để phương trình có nghiệm Khi đó S có dạng ;a  b; Tính 

Ta có emcosxsinxe2 1 sin x  2 sinx m cosx

 

2 1 sin cos sin

em x x mcosx sinx e  x 2 1 sinx

Xét hàm số f t et t t   ,  f t et 1 0 f t  đồng biến trên 

em x x cos sin e x 2 1 sin cos sin 2 1 sin

Điều kiện: 3x23xm 1 0 (a)

www.facebook.com/bdbaolong/

Câu 26 (SGD Phú Thọ 18) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

2

2 2

22

m

m m

Do đó giá trị m nguyên lớn nhất thỏa mãn là 674

Câu 29 (Đặng Thành Nam 19) Cho hàm số    2 

f x  x x  Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thỏa

mãn bất phương trình log  log 1 0

Điều kiện: m  1Hàm số    2 

Suy ra m 2;3; ; 65 Vậy có tất cả 64 số nguyên m thỏa mãn

Câu 30 (Đặng Thành Nam 19) Cho hàm số 2 1 

Tập xác định D  

Ta có   x2 1 x x  

f x e  e e  f x Suy ra f x là hàm số lẻ  

m m

m m

 



        



Vì m là số nguyên dương nên m 1, 2, 3, 4,5 

Câu 31 (ĐỀ 08 VTED 19) Cho hàm số f x 2x2x Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình

2019

02019

2019

02019

20192019

Câu 33 (Yên Mô A – Ninh Bình 19) Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Phương trình tương đương với

3x  m x  x 9x 24x m 3x 3x 1 3 m x  m3x 3x 3x * Xét hàm đặc trưng   3

Lời giải Chọn A

Phương trình đã cho tương đương 3 2    2 3  3

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của m để phương trình có nghiệm là m  1 e ln 3 Suy ra a1,b 3 17a3b17 9 26.

Câu 35 (Sơn Tây Hà Nội 19) Cho phương trình  12  2   

2x log x 2x3 4x m log 2 x m 2 với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn 2019; 2019 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

A 4036 B 4034 C 4038 D 4040

Lời giải Chọn C

2

m

m m

2

m

m m

m

m m

Vì m nguyên nên nên ta có 4038 giá trị của m

Câu 36 (Thanh Chương Nghệ An 19)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

Chọn B

Điều kiện xác định:

2 2

01

2 2

g x x  x  với x   có g x 2x 2

  0

g x  2x 2 0x  1Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra ming x  Do đó   1 m  1

Do m nguyên thuộc 20; 20 nên số giá trị m là 23

Câu 38 (CHUYÊN THÁI NGUYÊN 19) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để phương trình

3

2 x  m x cos x6sin x9 cosx m 6 2 x 2 x  có nghiệm thực Khi đó tổng của 1

hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập S bằng

Lời giải Chọn A

Ta có cos 2 3 3cos  3 cos 2

Đặt cos x với điều kiện t t   1;1 , suy ra f t   t 6t 9t 8 m

m  Suy ra S 4;5; ; 24 nên tổng của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của S bằng 28

Câu 39 (Thuận Thành 2 Bắc Ninh 19) Gọi S là tập chứa các giá trị nguyên của m để phương trình

Đặt tx36x10

Ta có phương trình e3t m e t m e2m 1 e3t e t e3me m (1) Xét hàm số f x( )e3xe x xác định trên 

Ta có f x( )3e3xe x 0,   x

Suy ra ( )f x đồng biến trên 

Từ  1 , ta có ( )f t  f m( ), suy ra tm hay x36x10m (2) Phương trình e3x318x30me x36x10me2m có 3 nghiệm thực phân biệt khi phương trình (2) có 3 1nghiệm thực phân biệt

Ta có bảng biến thiên của ( )g x

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (2) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

Xét bất phương trình 20182x x120182 x12019x2019 (1) Điều kiện: x   1

f t       nên t f t( ) đồng biến trên  Bất phương trình (2) f a( ) f b( )ab 2x x 1 2 x   1 1 x1 Với 1 x , ta có: 1 2   2

22

x t x





 với x   1;1

Viết lại phương trình (3) theo ẩn t : 3t2m  4

1

3

3  t (3) có 2 nghiệm thực phân biệt x   1;1 (4) có 2 nghiệm thực phân biệt 1 ; 3

 thoả yêu cầu bài toán

cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi

Lời giải Chọn D

Tập giá trị của hàm số trên là

Câu 42 (Nguyễn Du 19) Cho hàm số f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên

của n để phương trình sau có nghiệm x    2     

Lời giải Chọn B

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số f x  luôn đồng biến trên , do đó

Chọn A

Ta có  1 sinx 1 0 1 sin  x20 1 sin x  2,  x Đặt t 1 sin x Ta có 0 t 2 và sinxt2 1

Khi đó phương trình có dạng: m m  1 t t2  1 m  1 t m  1 t t2t  * Xét hàm số   2

Câu 44 (TT Thanh Tường - Nghệ An 19 ) Cho hàm số f x 3 7 3 x37 3 x2019x Gọi S là tập hợp

các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện  3 2   2   

Vì f x  37 3 x37 3 x2019x là hàm số lẻ và đồng biến trên  nên ta có

Từ bảng biến thiên suy ra  3 2   2   

f x  x  x m  f x x    x khi và chỉ khi 3

5

m

m m

Câu 45 (Thị Xã Quảng Trị 19) Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên Tìm giá

trị của tham số m để phương trình

Phương trình tương đương 3  2  3 2 

biệt thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt suy ra 2 1 5 26

26

m m

Câu 46 (Yên Phong 19) Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị

của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

3

2 2

1 2 3

Vậy có đúng 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 47 (ĐỀ 16 VTED 19)Cho hàm đa thức bậc ba y f x  có đồ thị của các hàm số y f x ; y f x

như hình vẽ bên Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình

6 1

Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra f x   x3    Dấu “  ” chỉ xảy ra khi x  1

Do đó g t  f t   t3 0    Dấu “  ” chỉ xảy ra khi t  1Vậy hàm g t  f t 3t đồng biến trên 

a b c d c

a b c d

3 2 33

x x

Khi đó: Xét hàm số trên khoảng

t ,  t 0 do đó hàm f t đơn điệu  Vậy  1  1 2x x y3xy1  2

2

20182017

Ta có

2 1

2

20182017

x y

 1    2 

2017y 1y 20182017x x 2018Xét hàm số    2 

x x

2191min

12

2- 3 4

+

191 16

1 0

12

2+ 3 4

y y' x

1 2

25 2

www.facebook.com/bdbaolong/

 



 g x  0 x 0Bảng biến thiên g x :  

Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra giá trị lớn nhất của   P là:

23

xy x y x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y

A Tmin  2 3 2 B Tmin  3 2 3 C Tmin  1 5 D Tmin  5 3 2

Lời giải Chọn B

Câu 56 (THTT 18) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn log 3 2 2  3  3

ln 3

t Vậy hàm số f t luôn đồng  biến và liên tục trên khoảng 0;  

.ln 2018

t

     t 0 nên hàm số f t  đồng biến trên khoảng 0;   Khi đó  f x12 f 2xy

xy   x y  Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin  3 B ymin 2 C ymin  1 D ymin  3

Lời giải Chọn B





   

Loại x   vì điều kiện của t nên 1 f  2 2

Câu 59 (Chuyên Thái Bình 18) Cho 2 số thực dương x y, thỏa mãn

 

A 3 3 B 4 C 3 2 3 D 6

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn D

Điều kiện:

10

2

4

32

x x

Ta có: 2 2 1

2

22019

.2019 ,t 0 ,

f t t t ta có www.facebook.com/bdbaolong/

   ' 2019 2 2019 ln 2019 0, 0 :

www.facebook.com/bdbaolong/

Để 1

03

xy x y y

xy x y y

Với hai số dương x ; y thỏa log24xy2xy2y2  8 2x2y2

Câu 67 (Gia Lộc - Hải Dương 19) Cho ,x y  thỏa mãn 0 log x 3y xy x 3y

Suy ra hàm số f t đồng biến trên   0;  

Phương trình  1 tương đương f x 3y f xy  x 3yxy Theo bất đẳng thức Schwarz ta có

Từ  2 ta có  

2

, 122

04

0

42

u

u u



B 8 2 23

Lời giải Chọn C

Ta có:

log a b c  a a2 b b2 c c2www.facebook.com/bdbaolong/

11 2 52

y ey

x

y ey

Điều kiện: 0

x y

82

x y

x x

y x

y y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 19

Câu 71 (Sở Quảng Nam 19) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn  1

đồng biến trên  Kết hợp với  2 ta có: t y1 log22 2y 1

    2x2y 2y1

www.facebook.com/bdbaolong/

17

82.3

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết y  nên ta có: 0www.facebook.com/bdbaolong/

4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Câu 74 (ĐỀ THAM KHẢO – BGD&ĐT 20) Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa mãn 0;  x2020 và

3

t x  x   x   Phương trình trở thành   1 2  

1 3t 2 3 y *

t    y Xét hàm số y f u  u 3u trên 

Ta có f u  1 3 ln 3u 0,   nên hàm số u f u đồng biến trên   

Câu 75 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 19) Cho 0x2020 và log (22 x2) x 3y8y

Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Lời giải Chọn D

Do 0x2020 nên log (22 x 2) luôn có nghĩa

Ta có log (22 x2) x 3y8y

3 2

Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên  Do đó (1)log (2 x1)3y x 1 23y

Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0), (7 ;1) ,(63; 2),(511; 3)

Câu 76 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa ;  0 y2017 và

3ln 3 2ln 22

2ln 7 3ln 52

2ln 3 3ln 22

Lời giải Chọn B

Benjamin Franklin

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!

www.facebook.com/bdbaolong/