Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Ch ng minh... Ch ng minh... Ch ng minh... Điunàydnđn 13Ta có Kh... Tìm giá tr nh... Ch ng minh... Ch ng minh... Ch ng minh... Ch ng minh r ng giá... Ch ng minh.

Trư c khi trình bày n i dung chính c a lu n văn, tôi xin bày t lòng c m ơn chân

thành t i PGS.TS Nguy n Minh Tu n, ngư i th y đã tr c ti p hư ng d n, ch b o t n tình vàgiúp đ tôi trong su t quá trình hoàn thành lu n văn này

Tôi cũng xin chân thành c m ơn s giúp đ c a các th y giáo, cô giáo trong khoa Toán Cơ Tin h c, Trương Đ i h c Khoa h c T Nhiên-Đ i h c Qu c gia Hà N i và Khoa sau đ i h c, đã nhi t tình giúp đ tôi hoàn thành khóa Cao h c

Tôi xin bày t lòng bi t ơn đ n gia đình, b n bè đã luôn đ ng viên và khuy n khích tôi r t nhi u trong th i gian nghiên c u và h c t p

Do m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên lu n văn còn nhi u thi u

sót Tác gi kính mong nh n đư c ý ki n đóng góp c a các th y cô và các b n đ lu n văn hoàn thi n hơn

Hà N i, năm 2015

Nguy n Th Di p

2

M cl c

1.1 Đ nh nghĩa đ o hàm t i m t đi m 6

1.2 C c tr c a hàm s 7

1.3 Các đ nh lí cơ b n v hàm kh vi 8

1.4 Hàm l i và hàm lõm 9

2 ng d ng đ o hàm gi i các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Kh o sát tr c ti p hàm s trên mi n xác đ nh

Kh o sát hàm s theo t ng bi n

Đ t bi n ph chuy n v đánh giá hàm s m t bi n

Đánh giá gián ti p thông qua bi u th c b c nh t

Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm l i, hàm lõm

11 17 30 44 51 3 C c tr hàm nhi u bi n 59 3.1 C c tr t do 59

3.2 C c tr có đi u ki n 63

3

Trong nh ng năm g n đây, các kỳ kh o sát ch t lư ng, thi h c sinh gi i b c trung

h c ph thông thư ng g p nh ng bài toán yêu c u tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t

đ i lư ng nào đó Các bài toán c c tr r t phong phú và đa d ng mang n i dung vô cùng sâu s c, có ý nghĩa r t quan tr ng đ i v i các em h c sinh Các bài toán v c c tr góp ph n không nh vào vi c rèn luy n tư duy cho h c sinh Bài toán đi tìm cái t t nh t, r nh t, ng n

nh t, dài nh t trong m t bài toán Đ d n d n hình thành cho h c sinh thói quen đi tìm

gi i pháp t i ưu cho m t công vi c nào đó trong cu c s ng sau này

Lu n văn trình bày m t s ng d ng c a đ o hàm đ gi i các bài toán c c tr Lu n văn ch đ c p t i m t s phương pháp gi i m t s lo i toán c c tr đ i s thư ng g p trong chương trình toán h c trung h c ph thông Lu n văn h th ng hóa, phân lo i toán và trình bày theo t ng ý tư ng cũng như các k năng v n d ng đ o hàm vào vi c gi i m t l p các bài toán tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t Lu n văn g m có 3

chương v i các n i dung sau:

Chương 1: Lu n văn trình bày các ki n th c khái ni m c n thi t như đ o hàm, tính đơn đi u

và hàm l i và đư c tham kh o trong [3]

Chương 2: Lu n văn trình bày phương pháp s d ng đ o hàm vào gi i các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t Chương 2 lu n văn trình bày phương pháp kh o sát tr c ti p hàm s trên t p xác đ nh c a hàm s , kh o sát theo hàm s t ng bi n, đ t bi n ph chuy n v đánh giá hàm m t bi n, đánh giá thông qua bi u th c b c nh t, hay phương pháp s d ng tính ch t hàm l i, hàm lõm đư c tham kh o trong [1, 5, 6, 2, 7, 4]

4

5Chương 3 Lu n văn trình bày phương pháp đ tìm c c tr t do và c c tr có đi u

ki n c a hàm nhi u bi n s T đó tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s và đư c tham kh o trong [3]

6

1.2 C c tr c a hàm s

Đ nh nghĩa 1.2 Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên t p h p D ⊂ R và x0 ∈ D Đi m

x0 đư c g i là m t đi m c c đ i c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a, b) ch a

đi m x0 sao cho f (x) ≤ f (x0) v i ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi đó f (x0) đư c g i là giá tr c c đ i c a f (x) và

đi m (x0, f (x0)) đư c g i là đi m c c đ i c a đ th hàm s y = f (x) Đi m x0 đư c g i là m t đi m

c c ti u c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a, b) ch a đi m x0 sao cho f (x) ≥ f (x0) v

Đ nh lý 1.3 Cho hàm s y = f (x) xác đ nh và liên t c trên [a, b]

N u f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] thì f (x) đ ng bi n trên [a, b] và khi đó ta có

x∈[a,b] min f (x) = f (a),

Chú ý Đi u ngư c l i không đúng: N u hàm f có f (x0) = 0 nhưng chưa ch c x0 là

đi m c c tr , ví d hàm y = x3 có y (0) = 0 nhưng hàm s không có c c tr t i x = 0

N u hàm s f có c c tr t i x0 thì có th t i x0 đ o hàm không xác đ nh, ví d hàm

y = |x| có c c ti u t i x = 0 nhưng d ch ng minh đư c hàm s không có đ o hàm t i

x = 0

Đ nh lý 1.5 Gi s hàm s f kh vi trên kho ng (a, b) ch a x0, và f (x0) = 0

N u f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ (a, x0) và f (x) ≤ 0 v i m i x ∈ (x0, b) ( t c đ o hàm đ i d u t (+) sang (-) khi

đi qua x0) thì x0 là đi m c c ti u c a hàm f

N u f (x) ≤ 0 v i m i x ∈ (a, x0) và f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ (x0, b) ( t c đ o hàm đ i d u t (-) sang (+) khi

đi qua x0) thì x0 là đi m c c đ i c a hàm f

Đ nh lý 1.6 Gi s hàm s f có đ o hàm c p m t trên kho ng (a, b) ch a x0, có đ o

hàm c p hai khác 0 t i x0

N u f (x0) = 0 và f (x0) > 0 thì x0 là đi m c c ti u c a hàm f N u f (x0) =

0 và f (x0) < 0 thì x0 là đi m c c đ i c a hàm f

Trong ph n này, lu n văn trình bày hai đ nh lý quan tr ng v đ o hàm Đó là đ nh

lí Lagrange, đ nh lí Rolle (xem [3])

Đ nh lý 1.7 (Đ nh lý Rolle) N u f (x) là hàm liên t c trên đo n [a, b], có đ o hàm

trên kho ng (a, b) và f (a) = f (b) thì t n t i c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

Ch ng minh Vì f (x) liên t c trên [a, b] nên theo đ nh lí Weierstrass f (x) nh n giá tr

l n nh t M và giá tr nh nh t m trên [a, b]

- Khi M = m ta có f (x) là hàm h ng trên [a, b], do đó v i m i c ∈ (a, b) luôn có f (c) = 0

- Khi M > m, vì f (a) = f (b) nên t n t i c ∈ (a, b) sao cho f (c) = m ho c f (c) = M , theo Đ nh lý Fermat suy ra f (c) = 0 Đ nh lý đư c ch ng minh

H qu 1.8 N u hàm s f (x) có đ o hàm trên (a, b) và f (x) có n nghi m ( n là s

nguyên dương l n hơn 1) trên (a, b) thì f (x) có ít nh t n − 1 nghi m trên (a, b)

H qu 1.9 N u hàm s f (x) có đ o hàm trên (a, b) và f (x) vô nghi m trên (a, b)

thì f (x) có nhi u nh t 1 nghi m trên (a, b)

H qu 1.10 N u f (x) có đ o hàm trên (a, b) và f (x) có nhi u nh t n nghi m (nlà

s nguyên dương) trên (a, b) thì f (x) có nhi u nh t n + 1 nghi m trên (a, b)

Đ nh lý 1.11 (Đ nh lí Lagrange) N u f (x) là hàm liên t c trên đo n [a, b], có đ o

hàm trên kho ng (a, b) thì t n t i c ∈ (a, b) sao cho

Khi đó F (x) là hàm liên t c trên đo n[a, b], có đ o hàm trên kho ng (a, b) và

Đ nh lý 1.14 N u f (x) kh vi b c hai trên I(a, b) thì f (x) l i (lõm) trên I(a, b) khi

và ch khi f (x) ≥ 0(f (x) ≤ 0) trên I(a, b)

N u f (x) l i kh vi trên I(a, b) thì v i m i c p x0, x ∈ I(a, b), ta đ u có

12 Bài toán 2 a Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

Vì x ∈ (0, π/2) nên f (x) = 0 khi 2 cos x − 1 = 0 hay x = π/3 Ta th y f (x) đ i d u

t − sang + khi đi qua π/3 Nên ta đư c

√ √2

16 Hay

f (x) = cos x + cos2 x − 2 > cos2 x + cos2 x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ [0, π ]

Do đó f (x) đ ng bi n trên [0,π ] Suy ra f (x) ≥ f (0) = 0, hay 2

sin x + tan x ≥ 2x v i m i x ∈ [0, π ]

2

đ nh các bi n còn l i, bài toán lúc này tr thành BĐT m t bi n

Bài toán 8 Gi s A, B, C là ba góc c a m t tam giác Tìm giá tr nh nh t c a bi u

Khi đó, hàm f (x) trong kho ng (0, 1) s chuy n t − sang + khi đi qua đi m 1/ 3

Nên giá tr l n nh t c a f (x) trên kho ng (0, 1) là 3

Bài toán 10 Ch ng minh r ng giá tr l n nh t c a bi u th c

Trư ng h p 2 N u x2 ∈ (0, 1) thì do x1 ≤ 0 < x2 nên trên [0, 1] hàm f (x) s đ i d u

t − sang + khi đi qua x2 Do đó

• N u y2 ∈ (0, 1) thì g (y) ≤ 0 ∀y ∈ [0, 1] Suy ra g(y) gi m trên [0, 1] Do đó

max g(y) = max{g(0), g(1)}

y∈[0,1]

N u y2 ∈ (0, 1) thì trên [0, 1] hàm g (y) s đ i d u t − sang + khi đi qua y2 Do v y

max g(y) = max{g(0), g(1)}

y∈[0,1]

Như v y trong c hai trư ng h p ta đ u có

max g(y) = max{g(0), g(1)}

Xét hai trư ng h p sau

Ch ng minh Đ t

22

f (c) = b3 + a3 + 6 + c3 + b3 + 6 + a3 + c3 + 6

Ta

có

f (c) = b3 + 13 + 6 − (b3 +3ac+ 6)2 − (a3

+3cc3 + 6)2

2 2

c

c3

và

Nên f (c) gi m trên [0, 1] Suy ra

62+ 60

Suy ra h(b) tăng trên [0,

23 Bài toán 13 Xét hàm s

f (x, y) = (1 − x)(2 − y)(4x − 2y) trên mi n D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2} Tìm giá tr nh nh t c a hàm f trên

trên mi n E = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1}, nghĩa là

min F (u, v) = 0min

khi x = 0, y = 1 V y giá tr nh nh t c a f (x, y) trên mi n D là −2

Bài toán 14 (Đ thi HSG THPT toàn qu c b ng A, 1999) Xét các s th c dương

a, b, c th a mãn abc + a + c = b Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

P = a2 2 1 − b 2 2 1 + c 2 3 1

Ch ng minh Bi n đ i gi thi t thành a + c = b(1 − ac) > 0, suy ra

a < 1, b = 1a− ac +c c

Thay (2.5) vào bi u th c P và bi n đ i đư c

P = 2f (x) − 2 + c2 3 1 ≤ √ 2c Xét hàm s g(c) v i c > 0 Ta có

= 2 V y giá tr l n nh t c a

P là 10 3

Bài toán 15 (VMO, 2001) Xét các s th c dương x, y, z th a mãn h đi u ki n

1+1 =4 khi x = 2 , z = 2

Xé

t hàms

z ≥ 2 T

đi u ki n (2.8) suy ra 5

y

≥ max{z,

51z }

Lpluntươngtphna)ta

zth

13 ) Sosánh(2.12)và(2.13)tacó

1+1≤9

y

z

2và

P (

= ( 1 + 1 )+ 2( 1 + 1) ≤

13

Bài toán

16 (Đ thi

ch n ĐTQG, 2001) Xét các s

th c

dương a,

b, c th a

mãn 21

a b

b ,

t

c

a

bi

u

th

y ,

x y

−

7)

y

2

+

14

4

y

và qua x0 thì f (x) đ i d u t âm sang dương nên f (x) đ t c c ti u t i x0 nên

P (x,

y, z) ≥ f (x) + 2y ≥ f (x0) + 2y

Xéthàms

g(y

) = 2y + 49y + 21y

32y2 + 14

Ta

có

(8y2 − 9) 32y2

+ 14 − 28 = 0

à

x/4

Khi 0 ≤ x ≤ 2 thì x2 − 2x ≤ 0 suy ra

f (y) ≥ x2 − 2x =

g(x)

g (y) = 0 ⇔ (8y2 − 9) 32y2 + 14 = 28

2

giá hàm s m t b

f = (xy)3 − [(x + y)3 − 3xy(x + y)] + 1

hi

t

= 4,là

−

6

3 k

t

=

0

.

Bài toán 20 Gi s x, y, z là hai s th c không âm th a mãn x2 + y2 + z2 = 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

u

3 y 3

là

16

,

tacó

1

−

3

x y

=(

x y

Điunàydnđn

13Ta

có

Kh

34

Vy

S2 ≤ 4

Hay −2 ≤ S ≤ 2 Ta th y S = 2 khi x = −1, y = 1, và S = −2 khi x = 1, y = −1 V y

giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a S l n lư t là 2 và −2

Bài toán 24 Gi s x, y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá tr nh nh t c a

đ t đư c khi x = y = 2 V y giá tr nh nh t c a S là 8

Bài toán 25 (Trích đ thi Đ i h c kh i A năm 2006) Gi s hai s th c x, y = 0 thay đ i th a mãn (x + y)xy = x2 + y2 − xy Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

Suy ra P ≤ 16 V y giá tr l n nh t c a P là 16 đ t đư c khi x = y = 1 2

Bài toán 26 Gi s các s th c dương x, y, z th a mãn

s

x

∈

[0

Vì Q = 47 + 12s nên

16

6 3

y z

+

z x

=8





x y z

=4

gi thi

t

ta có

V y giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a Q l n lư t là 33 và 271 − 75 5√ 2

Bài toán 28 Gi s các s th c x, y, z > 0 th a mãn x + y + z ≤ 2 Tìm giá tr nh

f (t) ≥ f (1) = 9

V y giá tr nh nh t c a P là 9

8 đ t đư c khi a = b = b = 1 2

Bài toán 31 (Thi th đ i 2012-2013 Trư ng THPT Kon Tum) Gi s x, y, z là

các s th c không âm th a x + y + z = 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

P = xy + yz + zx − 2xyz

= x3 + (y + z)3 + yz[15x − 3(y + z)] = x3 + (1 − x)3 + yz(27x − 3)

Bài toán 33 (Trích đ thi th đ i h c năm 2012-2013, trư ng THPT chuyên Nguy n

T t Thành, Kon Tum) Gi s x, y là các s th c không âm thay đ i và th a mãn đi u

ki n 4(x2 + y2 + xy) ≤ 1 + 2(x + y) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

3t2 − 2t − 1 ≤ 0

max P = max t∈[0,1] f (t) = 3, khi x = y = 1 V y

√ √ √ √

a+ a b

+

abc ≤ a + 1 a4b + 1 3a4b16c

a

+3

1

Bài toán 35 Gi s x, y, z ∈ [1, 2] Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

V y giá tr l n nh t c a P là 10 đ t đư c khi x = 1, y = z = 2

Bài toán 36 Gi s 1 ≤ x, y, z ≤ 3 và x + y + z = 6 Tìm giá tr l n nh t c a

P = x2 + y 2 + z 2

Ch ng minh Vai trò x, y, z trong bài toán bình đ ng nên có th gi s x=

max{x, y, z} Khi đó

P = x2 + y2 + z2 ≤ x2 + y2 + z2 + 2(y − 1)(z − 1)

N u bài toán có d ng sau cho n ∈ N và các s a1, a2, a n ∈ D th a mãn

a1 + a2 + • • • + a n = nα, v i α ∈ D Hàm s y = f (x) trên kho ng D không l i và cũng không lõm

trên D nhưng đ th v n "n m trên" ti p tuy n c a nó t i D Trong

bài này không th áp d ng đư c BĐT hàm l i đư c nhưng v n có th dùng phương pháp "ti

p tuy n" đ gi i quy t bài toán Sau đây xin đư c trình bày m t s bài toán minh h a cho phương pháp trên đư c trích d n t m t s đ thi Olympic c a nư c ta và các nư c trên th gi

i Trong m t s bài toán có th chúng ta ph i s d ng linh ho t các gi thi t và tính ch t c a các bi u th c trong bài toán đ v n d ng phương pháp m t cách hi u qu nh t

Bài toán 37 ( Olimpic 30/4- 2006) Gi s a, b, c là các s th c dương Tìm giá tr

x

+ 2

5 125

∀

x

∈

(0

,

1)

.

+

112

Xéthàms

x

3

−

27

x

2

+ 1 vi

x

∈

(0

,

1).Khiđó

r

ng

giá

tr

nh

nh

1

8

hơn n a f (x) = 0 khi x = −1 ho c x = 1 Xét các trư ng h p x y ra

Trư ng h p 1 Có m t s , gi s a ∈ (−∞, −3] nên b + c ≥ 4 nên có m t s , gi s

Trư ng h p 2 Các s a, b, c ∈ [0, 10] Khi đó ti p tuy n c a đ th hàm s y = f (x) t i 9

50

g (x) = 0 khi x = 13 ho c x = −7 Ta th y trên đo n [0, 10] thì g(x) < 0 nên 9

9

f (x) − (25x − 16) ≥ 0 hay

a

ta

có

1√ − ( 1

t + 5 ) = − 1 (√t − 2)2(4 − √t) ≤ 08

4 v

i

m

f (

+(

f

(144(

x

++ 3 361441

2 + 3

36 = 11V

y

giá

tr

l

n

nh

t

c

a

bi

u

th

c

4l

th

c

x

y

ra

khi

P h ư ơ n g

p h

áp s d ng tính ch t c a hàm l i,

h à m

l õ m

Bài toán 43 (B t đ ng th c Karamata) Cho hai dãy s

n

}

th

x y

Ch ng minh Do tính ch t đ i x ng, không m t tính t ng quát, ta có th gi s

Ch ng minh đư c hoàn thành

ph n ti p theo, lu n văn trình bày m t s áp d ng c a b t đ ng th c Karamata

a1

≥

b1,

a1

a2

a n

=

b1

b2

b n

Ch ng minh r ng

a1 + a2 + • • • + a n ≥ b 1 + b 2 + • • • + b n

Ch ng minh Đ t x i = ln a i , y i = ln b i (i = 1, 2, , n) V i các đi u ki n đã cho, ta

5.

5 +

hay

a2 + b2 + c2 ≤ 64 + 25 + 4 = 93

Đ ng th c x y ra khi a = 8, b = 5, c = 2 V y

max M = 93 đ t đư c khi a = 8, b = 5, c = 2

Áp d ng b t đ ng th c B-C-S cho hai b s (a, b, c) và (1, 1, 1), ta có

min M = 75 đ t đư c khi a = b = c = 5

Bài toán 46 Gi s A, B, C là 3 góc c a m t tam giác nh n Ch ng minh r ng giá

Xét hàm s f (x) = cos x v i x ∈ [0,π ] Ta có f (x) = − cos x < 0 2 ∀x ∈ [0,π ] nên 2

hàm s f (x) lõm

trên đo

n [0,π ]

Khi đó, theo b t

đ ng th cKaramat

a, ta có

2

ha

x

v

i

x

Đ ý r ng tan π = 8 √

an

π

+

tan

π

+

tan

8V

tantantan

2

2

√

là22

−

1đtđưckhi(

A , B , C

)

=(

2 4 4

Bài toán

48

(IMO 2000)

ng

minh

r

ng

=

y , c

=

z y z x

x

>

0dođótrongbas

âm N u trong ba

s trên có

m t ho c

ba s âm,

hi n nhiên ta

có b t đ

ng th c c

n ch ng minh

Trư ng h

p c ba s

đó đ u dương, b

ng

cách

C c tr hàm nhi u bi n

Sau đây, lu n văn xin trình bày v c c tr t do c a hàm nhi u bi n đư c tham

kh o trong [3] Gi s z = f (x1, , x n) là m t hàm xác đ nh và liên t c trong mi n

D m , M (a1, , a n) ∈ D Ta nói r ng hàm f (x1, , x n ) đ t đư c giá tr c c đ i (c c ti u) t i M n u t i

m i đi m (x1, , x n ) thu c m t lân c n nào đó c a M (a1, , a n)

đư c c c tr t i M (a1, , a n) và t i đây hàm s có các đ o hàm riêng h u h n,

f xj (a1, , a n ), j = 1, 2, , n thì các đ o hàm riêng đó ph i tri t tiêu

f xj (a1, , a n ) = 0 v i m i j = 1, 2, , n

Đ nh lý 3.2 (xem [3]) Gi s M (x0, y0) là đi m th a mãn z x (x0, y0) = 0, z y (x0, y0) =

0 c a hàm z = f (x, y) và t i đây hàm z = f (x, y) có các đ o hàm riêng c p 2 liên t c

59

61 Bài toán 50 Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a hàm s sau

z = x3 + 2y3 − 3x − 6y trong đó − 2 ≤ x, y ≤ 2

Ch ng minh Ta th y



z = 3x2 − 3 = 0 x Tương đương v i

A3 = −6 < 0, B3 = 0, C3 = 12

khi

x =

√ , −1 1 √

V y hàm s đ t giá tr nh nh t m = 0 t i g c O

và đ t giá tr l n

2 2

nh t

M =

1 t i các

đi m

A3,

A4