sáng kiến Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm

Trong quá trình dạy học môn Toán ở bậc THPT các bài toán về phương trình, hệ phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình cả ba khối lớp, với nhiều phương pháp g

1.Tên sáng kiến: Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11, lớp 12 và giáo viên trung học phổ thông 3.Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 6 tháng 9 năm 2014 đến ngày 10 tháng 1 năm 2015

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định

Điện thoại: 0989 118 585

5 Đồng tác giả: không.

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Mỹ Tho

Địa chỉ: xã Yên Chính, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503 825 642

Cấu trúc của sáng kiến

Trang

I.Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến ……….4

II.Mô tả giải pháp……… 4

1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến……… 4

2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến……… 7

2.1 Cơ sở lý thuyết……… 7

2.2.Các ví dụ minh họa… 8

2.2.1.Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm 8

2.2.1.1.Phương trình được đưa về dạng f x( ) 0= 8

2.2.1.2.Phương trình được đưa về dạng f u( )= f v( )……… 15

2.2.1.3.Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình về dạng đồng bậc ba… 22

2.2.2.Giải hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm 31

3 Thực nghiệm sư phạm 43

3.1.Mục đích thực nghiệm ……… … 43

3.2.Đối tượng địa bàn và cách thực hiện……… … 43

3.3.Nội dung và thực nghiệm……… … 43

3.3.1.Thực nghiệm trong nghiên cứu kiến thức mới……… 43

3.3.2.Thực nghiệm trong củng cố hoàn thiện kiến thức ……… … 45

3.3.3.Thực nghiệm trong kiểm tra đánh giá ……… 45

3.3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm ……… 45

III Hiệu quả do sáng kiến đem lại……… 46

1.Trước hết đối với việc dạy của giáo viên……… 46

2 Đối với việc học của học sinh ……… 46

2.1.Về kiến thức ……… 46

2.2.Về tư tưởng tình cảm ……….… 47

2.3.Về kỹ năng ……… 47

3 Kết luận……… 48

IV Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền ……… 48

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Chúng ta đã biết rằng: Dạy học Toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ Năng lực này sẽ giúp cho họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng Vì vậy dạy Toán không chỉ đơn thuần dạy cho học sinh nắm được kiến thức, những định lí Toán học Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí tuệ Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập

Trong quá trình dạy học môn Toán ở bậc THPT các bài toán về phương trình, hệ phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình cả ba khối lớp, với nhiều phương pháp giải đa dạng như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt

ẩn phụ…Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh cho các em học sinh tôi thấy việc giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ rất quan trọng đối với học sinh THPT vì việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn Giải tốt phương trình vô tỉ học sinh được nâng cao tư duy và vận dụng để hiểu biết các nội dung khác trong chương trình toán THPT

Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình, hệ phương trình trong các đề thi ĐH đặc biệt là phương trình, hệ phương trình vô tỉ lại sử dụng phương pháp hàm số để giải chỉ có số ít các em học sinh biết phương pháp này nhưng trình bày còn lúng túng, chưa gọn gàng sáng sủa Thậm chí còn một số học sinh không có hướng giải quyết Nguyên nhân

vẽ đồ thị hàm số Lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu của ahàm số để giải phương trình và

hệ phương trình vô tỉ thì rất hạn chế mà trong đề thi THPT Quốc Gia nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số Do đó việc trang bị cho học sinh phương pháp hàm số để giải toán là rất cần thiết Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn hay và độc đáo

Để góp phần vào việc giải quyết các đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn sưu tầm, tập hợp,

bổ xung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng viết thành đề tài:

“ Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm” Hy vọng rằng với

đề tài này sẽ giúp học sinh nhận biết, xử lý bài toán giải phương trình, hệ phương trình nhanh và thành thạo hơn

dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học cho học sinh, công việc đó cần phải làm thường xuyên trong quá trình giảng dạy.

Chủ đề phương trình và hệ phương trình được đề cập trong SGK đại số 10 với số tiết

là 14 tiết, với thời lượng đó học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số Học sinh đã biết được một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp Trong SGK Giải tích lớp 12 có giới thiệu chủ đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với số tiết tương đối nhiều, học sinh nắm được khái niệm đồng biến nghịch biến của hàm số trên một khoảng từ đó học sinh có thể chỉ ra được các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số nào đó.Học sinh biết khảo sát sự biến thiên và vẽ được đồ thị hàm số dựa vào tính đồng biến nghịch biến của hàm số Ngoài ứng dụng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm là công cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức

Tuy nhiên trong các đề thi THPT Quốc Gia hiện nay câu phương trình và hệ phương trình là một câu tương đối khó đối với học sinh và chủ yếu dùng phương pháp hàm số để giải.Thông thường bài tập trong SGK đưa ra đơn giản, lượng bài tập đưa ra sau mỗi bài học cũng rất hạn chế chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ…, còn lượng bài tập sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải chưa có nhiều SGK chỉ giới thiệu các bài tập này, do đó phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

và hệ phương trình là không phổ biến và bắt buộc Chính lẽ đó mà học sinh sử dụng phương pháp này một các máy móc hoặc chưa biết cách sử dụng

Ví dụ 1: Giải phương trình: 7x+ +7 7x− =6 13

Đối với phương trình này học sinh sẽ giải theo cách bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ sau đó bình phương hai vế hoặc nhân liên hợp đưa về hệ phương trình.Tuy nhiên nếu sử dụng phương pháp đạo hàm ta thấy vế trái là một hàm đồng biến và x = 6 là một nghiệm của phương trình thì lời giải của bài toán rất ngắn ngọn

Ví dụ 2: Giải phương trình: x+ +3 42x− = −1 4 x3

Đứng trước phương trình này học sinh lúng túng không biết dùng phương pháp nào để giải nhưng nếu tinh ý một chút thì chuyển x3 sang bên vế trái, khi đó vế trái là một hàm đồng biến ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình Do đó khi sử dụng phương pháp đạo hàm thì bài toán này trở nên đơn giản

1 212

x x

x



 = −

+

Cách 1: ( Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất)

Viết lại phương trình dưới dạng 2 ( ) 2

(2x+1)(2+ (2x+1) + = −3 3 (2x + −( 3 )x +3)Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn : 3x(2x+1)<0 1 0

Xét hàm số f t( )=t(2+ t2+3)trên ¡ Ta có

2 2

Đứng trước thực tế học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 cần nắm chắc các kiến thức về đạo hàm biết vận dụng và tìm ra các phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến này mục đích hỗ trợ cho các

em học sinh có được hệ thống các bài tập giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm, đồng thời giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi dưỡng học sinh thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi tỉnh

Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến tôi chỉ đưa ra phương trình, hệ phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp đạo hàm

2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

2.1 Cơ sở lý thuyết: Học sinh cần nắm một số vấn đề sau đây

1 Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

+ Hàm số y = f x( ) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x x1, 2 thuộc K,

x1 <x2 ⇒ f x( )1 < f x( )2

+ Hàm sốy = f x( ) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x x1, 2thuộc K,

x1 <x2 ⇒ f x( )1 > f x( )2

2 Tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến:

+ Nếu f x( ) và g x( ) là hai hàm số cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch biến) trên D thì tổng f x( ) +g x( ) cũng là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D

+ Nếu f x( ) và g x( ) là hai hàm số dương, cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch biến) trên D thì tích f x g x( ) ( ) cũng là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D

+ Công thức tính đạo hàm của hàm số căn bậc n : Nếu u x( ) là hàm số có đạo hàm trên K

và thỏa mãn điều kiện u x( ) >0 với mọi x thuộc K khi n chẵn, u x( ) ≠0 với mọi x thuộc K khi n lẻ thì ( ( ) ) ( )1( )

n

n n

Cho hàm sốy= f x( ) có đạo hàm trên K ( Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a) Nếu f x′( ) >0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f x′( ) <0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

c) Nếu f x′( ) =0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) không đổi trên K

+ Chú ý: Quy tắc trên để xét tính đơn điệu của hàm số chỉ là điều kiện đủ chứ không phải

là điều kiện cần

5.Các tính chất đơn điệu của hàm số:

a) Nếu hàm số y = f x( ) đơn điệu trên K, thì phương trình f x( ) =c ( với c là hằng số)

nếu có nghiệm x=x0 thì nghiệm đó là duy nhất.

b) Nếu hàm số y= f x( ) đơn điệu trên K, u x( ) ,v x( ) là các hàm số nhận giá trị thuộc K thì f u x( ( ) ) = f v x( ( ) ) ⇔u x( ) =v x( )

Bước 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm sốy= f x( ) .

Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 2+ x− 3− =x 2

Phân tích

+Ví dụ trên là bài toán cơ bản có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương, đặt ẩn phụ, phương pháp nhân liên hợp Tuy nhiên nếu dùng phương pháp đạo hàm thì lời giải ngắn ngọn hơn rất nhiều

+ Bài toán có chứa hai căn 5 2 , 3+ x −x nhưng ( ) 1 1

+ Sử dụng máy tính ta được nghiệm x=2

Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số

Lời giải tham khảo

+ Sử dụng máy tính ta được nghiệm: x= 1

Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số

Lời giải tham khảo

+ Ta thấy nếu ta chuyển 2x−1 sang vế phải của phương trình ta thấy :

+ Sử dụng máy tính ta được x=1 là nghiệm.

Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số tương đối ngắn gọn

Lời giải tham khảo

Nên bài toán này giải quyết được bằng phương pháp hàm số

Lời giải tham khảo

Suy ra f x( ) là hàm số đồng biến trên khoảng (−2;4) , mà f ( )1 =0

Do đó phương trình f x( ) =0 có nghiệm duy nhất x= 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

+ Quan sát qua ta thấy vế trái của phương trình là biểu thức công kềnh và khó nhìn ra dấu của đạo hàm Nhưng ta thấy:

( )

4

3 4

Do đó vế trái của phương trình là biểu thức có đạo hàm luôn âm

+ Sử dụng máy tính ta được x=1 là nghiệm của phương trình

Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số

Lời giải tham khảo

+ Sử dụng máy tính ta tìm được hai nghiệm x=3;x=8

Do đó bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số

Lời giải tham khảo

Điều kiện:

83112

x x

3

2 3

Do đó vế trái là biểu thức có đạo hàm mang dấu dương

+ Sử dụng máy tính ta được nghiệm: x= −2;x=1

Nên bài toán gải quyết được bằng cách hàm số

Lời giải tham khảo:

Do đó phương trình f x( ) =0 có hai nghiệm x= −2;x=1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= −2;x=1

Ví dụ 8: Giải phương trình: 2

x+ + − =x x −

Phân tích

+ Phương trình viết lại thành: x2− x+ −5 5− + =x 6 0

+ Lấy đạo hàm vế trái ta được: 2 1 1

( ) 0 0

f x′ = ⇔ =x

Ta thấy f x′( ) >0 khi x∈( )0;5 ; f x′( ) <0 khi x∈ −( 5;0)

Suy ra hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( )0;5 , nghịch biến trên khoảng (−5;0) Nên trên

mỗi khoảng phương trình f x( ) =0 có tối đa một nghiệm.

+ Phương trình đã cho viết thành: x4+3x2−3 10 3− x−3 10 3+ x− =10 0

+ Lấy đạo hàm vế trái ta được: 4 3 6 9 9

− 

Nên trên mỗi khoảng phương trình f x( ) =0 có tối đa một nghiệm.

Mà f( )− =2 f ( )2 =0 Do đó f x( ) =0 có hai nghiệm x= 2 và x= − 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=2 và x= −2

Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:

2.2.1.2.Phương trình đưa được về dạng : f(u)=f(v).

Phương pháp:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f u( ) = f v( ) ( với u v, là các hàm số theo x ) Bước 3: Xét hàm số f t( ) , chứng minh f t( ) là hàm số đơn điệu

Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận nghiệm

** Trong phương pháp trên thì bước 2 là quan trọng nhất

Xét hàm số f t( ) = 5t + t ( t > 0 )

Ta có: ( ) 51 4 1 0, 0

25

t t

′ = + > > ⇒ f t( ) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

Theo (1) ta có : f u( ) = f v( ) ⇔ =u v

Với u v= ta được: 5x− =2 2x+1 ⇔ =x 1(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 1

Phương trình đã cho tương đương với: (2x+ +2) 2x+ =2 (2+ x+ +3) 2+ x+3

Ta thấy x= − 1 không là nghiệm của phương trình

x x x

Xét hàm số f t( ) = +t4 t , t >0

Ta có f t′( ) =4t3 + >1 0, ∀ >t 0 ⇒ f t( ) là hàm số đồng biến trên (0;+∞)

Theo (1) ta có : f u( ) = f v( ) ⇔ =u v

x x

2x 1 2 2x 1 3 3x 2 3x 3

+ Xét hàm số: f t( ) =t(2+ t2+3)

Lời giải tham khảo

Phương trình đã cho tương đương với:

( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( )2

2 2x+ +1 2x+1 2x+1 + = −3 2 3x + −3x −3x +3Đặt 2 1

Ta thấy vế trái có căn bậc ba, vế phải có chứa f x( ) f x( ) nên phương trình đã cho có thể đưa về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

Do đó phương trình được biến đổi thành: (x+1) x+ +1 x+ =1 (2x+ +1) 3 2x+1

1 52

1 52

x

x x

Lời giải tham khảo

Phương trình đã cho tương đương với: ( )2 ( ) 1 ( )2 ( ) 1

f x− = f x− ⇔ x− = − ⇔ =x x (thỏa mãn đều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3

x x

++ −

++

2.2.1.3 Một số dạng biến đổi đặc biệt : đưa phương trình về dạng đồng bậc ba.

Dạng 1: Phương trình đưa được về dạng:

Bước 4: Giải phương trình: ax b+ = f x( )

Chú ý: Trong phương pháp trên thì bước 2 là quan trọng nhất Ta sử lý bước hai như sau:

+ Nếu phương trình đưa được về dạng: ( )3 ( ) ( ( ) )3 ( )

+ Sau khi đưa được về dạng ( )3 ( ) ( ( ) )3 ( )

A ax b+ +B ax b+ =A f x +B f x , ta nên kiểm tra lại xem cách phân tích đó có đúng không

Ví dụ 1:Giải phương trình: x3+3x2+4x+ =2 (3x+2) 3x+1

Phân tích

+ Vế phải của phương trình được viết lại thành: ( )3

3x+1 + 3x+1 mà bậc của phương trình là 3, nên phương trình có thể đưa được về dạng đối xứng đồng bậc ba

+ Nếu phương trình đã cho viết được dưới dạng: ( ) (3 ) ( )3

+Sử dụng máy tính ta được x= −1 là nghiệm của phương trình trên, nên phương trình đã cho

có thể được viết dưới dạng: ( ) (3 ) ( )3

x x

+ Sử dụng máy tính ta được x= − 3 là nghiệm của phương trình: 3 2

Lời giải tham khảo

Ta có f t′( ) =6t2 + > ∀ ∈1 0, t ¡ Suy ra hàm số đồng biến trên ¡

x x

+ Sử dụng máy tính ta được 4

3

x= − là nghiệm của: 108x3+432x2+585x+268 0=+ Từ 4 3 4 0

3

x= − ⇒ x+ = , ta có hệ số của x3 là : 108 4.27 4.3= = 3 nên vế trái của phương trình có thể được phân tích thành: ( )3 ( )

4 3x+4 +3 3x+4 Kiểm tra lại ta thấy thỏa mãn

+ Phương trình đã cho tương đương với: ( )3 ( ) ( )3

4 3x+4 +3 3x+4 =4 2x+3 +3 2x+3+ Xét hàm số đặc trưng: f t( ) =4t3+3t

Lời giải tham khảo:

Ví dụ 4:Giải phương trình: 192x3+288x2 +164x+34=(9x+17) 3x+4

Phân tích

+Vế phải của phương trình được phân tích thành: ( ) (3 )

3 3x+4 +5 3x+4 Mà bậc của phương trình là 3, nên phương trình có thể đưa được về dạng đối xứng đồng bậc ba

+Khi đó phương trình đã cho tương đương với: ( )3 ( ) ( ) (3 )

3 4x+2 +5 4x+ =2 3 3x+4 +5 3x+4+ Xét hàm số : ( ) 3

Ta có f t′( ) =9t2 + > ∀ ∈5 0, t ¡ Suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên ¡

Theo (1) ta có : f(4x+2) = f ( 3x+4) ⇔4x+ =2 3x+4

12