Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp

Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD Phương pháp Nodal Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán neutron

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HUY THIỆN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HUY THIỆN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ

VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN

VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 62440103

HÀ NỘI - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả, số liệu, đồ thị,… được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Hà Nội, 30 tháng 05 năm 2016

Tác giả luận án

Phan Huy Thiện

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn và GS TS Phan Văn Hạp - những người Thầy đã hết lòng tận tụy hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận án

Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận án này Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận án

Cuối cùng tác giả cảm ơn những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện và động viên cho tác giả hoàn thành bản luận án này.

Tác giả luận án

Phan Huy Thiện

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC 1

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 3

CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH 4

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN 12

1.1 Đạo hàm trung bình tích phân 12

1.1.1.Định nghĩa 13

1.1.2.Tính chất của đạo hàm trung bình tích phân 13

1.2 Một số khái niệm bổ trợ 15

1.2.1.Nghiệm xấp xỉ 16

1.2.2.Phương pháp cân bằng sai số 17

1.3 Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phương trình Wigner 18

CHƯƠNG II TÍNH TOÁN THÔNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÕ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN 21

2.1 Khái niệm mở đầu 21

2.2 Dạng tổng quát của phương trình khuếch tán 22

2.2.1 Phương trình khuếch tán 23

2.2.2 Phương trình vi phân cho các neutron nhiệt và giải phương trình đó cho các dạng hình học đơn giản 24

2.3 Phép gần đúng theo độ tuổi khuếch tán 28

2.4 Các điều kiện tới hạn 30

2.5 Độ tuổi neutron 32

2.6 Phép gần đúng khuếch tán đa nhóm 33

2.7 Các nghiên cứu tính toán lò phản ứng từ trước đến nay 35

2.7.1 Những phương pháp tính toán lò phản ứng hạt nhân đã được tính

toán trong vài thập kỷ vừa qua 35

2.7.2 Phương pháp nodal 36

2.7.3 Phương pháp nodal biến phân 37

2.8 Phát triển phương pháp IAD 38

2.9 Kết luận và so sánh 52

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NHIỄU XẠ SÓNG TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI……… 55

3.1 Đặt bài toán nhiễu xạ 55

3.1.1.Đặt vấn đề 55

3.1.2.Đưa bài toán về hệ phương trình tích phân kỳ dị 61

3.2 Giải gần đúng hệ phương trình 64

3.3 Kết luận và so sánh 67

KẾT LUẬN 70

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

Tiếng Việt 73

Tiếng Nga 74

Tiếng Anh 76

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Hàm F có điểm góc tại x 14 0

Hình 1.2 Hàm F không liên tục tại x 140

Hình 1.3 Miền được giải với biên 1, 2 16Hình 2.1 Giá trị thông lượng neutron trường hợp 1 chiều với k eff khác nhau 46Hình 2.2 Lò hình cầu 47Hình 2.3 Thông lượng neutron hình cầu cho nhóm nhanh và nhóm nhiệt 51 Hình 2.4 So sánh thông lượng neutron theo 2 phương pháp MC là phương pháp Monte Carlo và SN và phương pháp S của luận án [130] 53 N

Hình 3.1 Mặt phẳng đàn hồi  r, bị cắt một góc hình nêm 58Hình 3.2 Đồ thị nhiễu xạ hàm u x 66 

Hình 3.3 So sánh với kết quả trong [95] 67

CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH

Phương pháp IAD Gọi các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên có sử dụng

khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương pháp đạo hàm trung bình tích phân, gọi tắt là các phương pháp IAD (Integrally Averaged Derivative) Phương pháp này được áp dụng cho chương II và chương III Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán

vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc

xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa) Phương pháp giải

sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD

Phương pháp Nodal Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán

neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng bằng phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân trong lõi lò phản ứng hạt nhân

Phương pháp Monte

Carlo

Một phương pháp giải phương trình khuếch tán tính toán lò thường dùng theo phép thử xác suất

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thế giới các hiện tượng vật lý vi mô và vĩ mô quanh ta được mô tả, giải thích thông qua các định luật cơ bản của vật lý, các hiệu ứng giúp cho con người khám phá bản chất các hiện tượng tự nhiên Các đại lượng vật lý trong tự nhiên có mối liên hệ qua lại lẫn nhau mà công cụ toán học hiện đại cho phép mô tả các hiện tượng vật lý thông qua các phương trình Như vậy có thể nói Phương trình toán lý hay Phương trình vật lý toán là cần thiết phải được đặt ra giúp cho các nhà khoa học bằng tư duy logic khái quát hoá được hình ảnh và bản chất sâu sắc các hiện tượng vật lý, tìm ra mối liên hệ qua lại giữa chúng để giải thích và đánh giá đúng bản chất các hiện tượng tự nhiên trong thế giới vi mô và vĩ mô [15]

Rất nhiều bài toán vật lý, cơ học, kỹ thuật thường được mô hình hóa dưới dạng các phương trình vật lý toán (vi phân thường hay vi phân đạo hàm riêng) trong miền có biên (tĩnh) hoặc có điều kiện ban đầu (động) hay biên hỗn hợp (phụ thuộc

cả không gian lẫn thời gian) [7]

Một trong những vấn đề được quan tâm của toán học tính toán là tìm nghiệm gần đúng các bài toán biên [26] Vấn đề này được xét đầy đủ cho lớp các bài toán biên có hệ số, nghiệm, hay biên trơn Các bài toán thường gặp với các điều kiện phức tạp hơn thường không thỏa mãn các điều kiện lý tưởng, do đó cần nhấn mạnh rằng lớp các bài toán đó là khá rộng Bởi vậy phải chú ý đến các bài toán có hệ số, nghiệm, biên không trơn [28] Lớp các bài toán này thường nảy sinh nhiều trong thực tiễn, chẳng hạn khi nghiên cứu các quá trình khuếch tán (khuếch tán vật chất trong các bài toán môi trường, khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân), các bài toán truyền nhiệt, thủy động học, phương trình trạng thái trong các mẫu hạt nhân v.v…Có nhiều cách tìm nghiệm xấp xỉ loại bài toán như vậy [10] Bản luận án này tìm cách từ một khái niệm của đạo hàm IAD [3, 8] phối hợp với một số các phương pháp đã biết như các phép biến đổi toán tử, phương pháp phần tử biên, hay

phương pháp rời rạc hóa bài toán biên [9] v.v… để vượt qua tính không trơn của bài toán và mục đích là tìm cách đi đến nhanh và chính xác nhất các thông số và đại lượng vật lý cần tìm sát với thực tế (ví dụ như tính thông lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân [20, 58, 77], hay bài toán nhiễu xạ của sóng trong các môi trường đàn hồi bị hổng một góc  cho tới nay vẫn chưa được nghiên cứu hoàn chỉnh)

Chúng tôi muốn nhấn mạnh đến các phép tính lò phản ứng hạt nhân để đảm bảo điều kiện an toàn lò phản ứng hạt nhân [20, 77] Khi xảy ra điều kiện không an toàn như sự cố (sự cố nhà máy điện nguyên tử Chernobyl, Ukraina, sự cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima – Nhật bản), nhiệm vụ của người tính toán lò cần có một phương pháp tính nhanh nhất cho kết quả chính xác để đoán biết sự cố, và điều khiển lò ngay lập tức khắc phục sự cố ở miền có thông lượng cao để hệ số nhân hiệu dụng trở về ngưỡng an toàn cho phép

Với các bài toán có phương trình và điều kiện biên liên tục, đủ trơn đã có nhiều phương pháp giải và được nhiều nhà toán học, vật lý lý thuyết và vật lý thực nghiệm khảo sát, đề xuất [138] Đối với các bài toán cơ học và vật lý có biên phức tạp chứa đựng các điểm đứt gãy thì những phương pháp thông thường khó cho lời giải đảm bảo độ chính xác thậm chí không thể áp dụng được Phương pháp sai phân

là một trong những phương pháp có tính vạn năng [19, 25] cũng không phải lúc nào cũng cho kết quả khả quan tại các vùng kỳ dị hay đứt gãy của nghiệm đồng thời đòi hỏi việc phân vùng chia lưới luôn thay đổi Điều này gây trở ngại cho việc sử dụng thuật toán trên máy tính

Trong bản luận văn này chúng tôi tập trung vào một số bài toán vật lý cơ bản như phương trình Wigner 1 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công

bố liên quan đến luận án) đặc trưng cho loại phương trình Elliptic, giải phương trình khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân (còn được gọi là phương trình Boltzman) với nhiều nhóm năng lượng để tìm các đặc trưng neutron, trong đó có các đại lượng như thông lượng neutron, hệ số tới hạn, hệ số nhân hiệu dụng v.v… Cuối cùng, trên cơ sở bài toán nhiễu xạ của sóng trong các môi trường đàn hồi,

chúng tôi giải quyết bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi với biên cứng

bị hổng một góc  được mô tả bởi phương trình vi tích phân một cách dễ dàng theo phương pháp IAD trong 5 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công

bố liên quan đến luận án)

2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm đề xuất việc sử dụng phương pháp IAD (phương pháp đạo hàm trung bình tích phân) và một số phương pháp phối hợp như phương pháp lặp, phương pháp đạo hàm riêng và giá trị riêng để giải gần đúng (bằng số) cho các loại bài toán vật lý và cơ học cũng như kỹ thuật trong các trường hợp miền biên của hàm được xét chứa điểm vùng đứt gãy, kỳ dị Với phương pháp đạo hàm trung bình tích phân cho phép xây dựng được một thuật toán nhất quán đối với bài toán cần giải, nhất thể hóa các khái niệm vi phân, đạo hàm cho toàn miền nhằm khắc phục các khó khăn vấp phải khi sử dụng các phương pháp khác Để nâng cao độ chính xác của phương pháp IAD1 chúng tôi đã kết hợp với các phương pháp khác trong toán học tính toán như phương pháp Richarson, phương pháp tham số liên tục, phương pháp tham số

bé, phương pháp xấp xỉ, phương pháp tích phân kỳ dị [10, 11, 12], …v.v

Mục tiêu chính của luận án là tìm nghiệm gần đúng của các phương trình vật

lý toán có kỳ dị [6, 17] bằng cách sử dụng phương pháp IAD và các phương pháp kết hợp khác

Một số kết quả chính của luận án được ghi trong danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án

3 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án chúng tôi sử dụng các kiến thức

cơ bản của toán học như phương pháp tính và các phương pháp giải gần đúng [12]

…giải tích , giải tích hàm [31], giải tích phức [55], phương trình đạo hàm riêng

1 Ở Chương I, chúng tôi gọi tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged Derivative) bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo cách đạo hàm trung bình tích phân

[18], phương trình tích phân kỳ dị tuyến tính và không tuyến tính [6], cũng như các kiến thức cơ bản của vật lý lý thuyết [2, 4, 5, 58],

Trên cơ sở phương trình khuếch tán neutron [77] với các điều kiện biên trong lõi lò phản ứng hạt nhân Chúng tôi tiến hành tính toán thông lượng neutron với một vài dạng hình học đơn giản và so sánh với các phương pháp khác như phương pháp nodal và phương pháp Monte Carlo để đánh giá tính ưu việt của phương pháp IAD chúng tôi dựa trên bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi bị hổng một góc

 để giải quyết bài toán trong miền biên kỳ dị trong 3 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án)

4 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Với mục tiêu đã đề ra, luận án “Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp” đã được xây dựng trên cơ sở phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp tích phân kỳ dị, được GS TS Phan Văn Hạp đề xuất đã được chúng tôi áp dụng cụ thể cho việc tính thông lượng neutron bằng phương trình khuếch tán neutron đối với

lò phản ứng hạt nhân hình cầu trong gần đúng hai nhóm neutron theo phương pháp IAD bằng cách đưa về bài toán ma trận của hàm riêng và trị riêng được công bố trong các bài báo trong danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và đánh giá tính ưu việt của chúng so với phương pháp nodal và phương pháp Monte Carlo là các phương pháp mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân, và trên cơ sở bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi giải quyết được miền biên kỳ dị bằng cách đưa ra phương trình vi tích phân để giải bằng số trong 3.(danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án)

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Việc tính toán được kết quả dùng phương pháp IAD tính thông lượng neutron trong mô hình hạt nhân hình cầu và tính nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi có miền biên kỳ dị được chúng tôi áp dụng lần đầu tiên tính toán bằng phương pháp

IAD mang lại một kết quả tốt cho đóng góp vào cách tính mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân và bài toán nhiễu xạ

Với kết quả thu được của luận án chúng tôi nhận thấy đã đóng góp được một phần rất quan trọng vào một cách tiếp cận mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân, một vấn đề thời sự trong tính toán lò phản ứng hạt nhân Cuối cùng áp dụng phương pháp IAD để giải bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi thuần nhất bị hổng một góc 

Ngoài việc đóng góp vào nghiên cứu khoa học trong tính toán nhiễu xạ, thông lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân Một vấn đề khá thực tế trong điều kiện nước ta hiện nay đang gấp rút xây dựng 4 lò phản ứng hạt nhân cung cấp điện năng cho quốc gia Việc nghiên cứu này đóng góp vào tính toán và thiết kế lò bảo đảm cho việc vận hành lò phản ứng hạt nhân và an toàn cho nó

1994 [8] và 2 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án) Trước tiên chúng tôi định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân và các tính chất của nó, sau đó một số bài toán lý thuyết có nghiệm không trơn được giải bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân cũng sẽ được trình bày

ở đây

Trong chương này chúng tôi cũng đưa vào phương pháp tham số liên tục [21]

và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ để sử dụng cho các chương sau, khái niệm bài toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai chiều Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên

miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa) Chương II Áp dụng cho tính toán lò phản ứng hạt nhân được giải bằng phương pháp IAD Trong chương II, chúng tôi trình bày cơ sở vật lý lò phản ứng hạt nhân, các điều kiện biên trong lò và phương trình khuếch tán trong lò phản ứng hạt nhân, áp dụng phương pháp IAD tính toán thông lượng lò và so sánh với các kết quả của các phương pháp khác như phương pháp nodal, phương pháp Monte Carlo Kết quả đã được công bố trong các bài báo 1.- 8 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án)

Chương III Áp dụng phương pháp IAD cho bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi thuần nhất bị hổng một góc  Trong chương này chúng tôi xây dựng bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi trong bài toán cơ học Chúng tôi áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài toán biên có kỳ dị, băng phép biến hình bảo giác của hàm biến phức đưa bài toán về phương trình vi tích phân để giải Kết quả công bố trong bài báo 3 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án)

7 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài luận án

Tác giả đã hoàn thiện, cụ thể hóa việc áp dụng phương pháp IAD cho các bài toán được nêu trong luận án đồng thời chỉ rõ phạm vi ứng dụng của phương pháp cho nhiều lớp bài toán có cùng các đặc trưng của miền biên và độ kỳ dị Các kết quả

có thể mở rộng cho nhiều loại phương trình toán khác nhau trong cơ học và vật lý, trong thế giới vi mô và vĩ mô

Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 08 công trình dưới dạng các bài báo và báo cáo khoa học đăng trên tạp chí và kỷ yếu hội nghị khoa học quốc tế và trong nước, trong đó có 5 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế

Lò phản ứng hạt nhân là một hệ thống thiết bị công nghệ, trong đó phản ứng dây chuyền, phân hạch hạt nhân được kiểm soát và duy trì, từ đó năng lượng hạt

nhân dưới dạng nhiệt được lấy ra để sử dụng hữu ích, chẳng hạn như máy phát điện, tàu phá băng [58] Trong thiết bị như thế, neutron gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân với các hạt nhân nặng được gọi là nhiên liệu hạt nhân Các thành phần nguyên liệu của một lò phản ứng bao gồm nhiên liệu, nước làm mát hệ thống, vật liệu cấu trúc, và các thiết bị kiểm soát phản ứng phân hạch Nói chung, các vật liệu được sắp xếp rất không đồng nhất Trong các bài toán này, chúng tôi chủ yếu quan tâm đến bài toán dừng, nghiên cứu bài toán tĩnh để xem xét đặc trưng và các tính chất của lò phản ứng hạt nhân Các tính toán lò phản ứng hạt nhân nhằm xác định thừa số nhân neutron theo các cấu hình khác nhau của một lò phản ứng hạt nhân và phân bố thông lượng neutron (vì vậy suy ra phân bố công suất sinh ra) theo không gian và thời gian với các điều kiện biên khác nhau

Chúng tôi đã tạo nên một phương pháp IAD cho tính lò phản ứng hạt nhân mới dựa trên phương trình khuếch tán neutron mang tính nhất thể hóa Chúng tôi đã điều chỉnh các thông lượng phản hồi trong cách tính lặp thông qua các hệ số được định nghĩa trong phương pháp IAD Không mất nhiều thời gian tính toán, bộ nhớ máy tính và độ hội tụ tốt hơn Chúng tôi đã chủ động phối hợp với một số phương pháp khác như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Monte-Carlo, phương pháp lặp nodal, phương pháp tiệm cận, phương pháp biến phân để tìm thông lượng chính xác hơn có ý nghĩa về mặt vật lý Chúng tôi giải quyết các điều kiện biên kỳ

dị và không kỳ dị như điều kiện thực tế đặt ra trong lò phản ứng và đưa ra được thông lượng và các đặc trưng khác của lò phản ứng hạt nhân

Phương pháp IAD còn cho phép xây dựng thông số đặc trưng hạt nhân như tiết diện tán xạ, phân hạch, hấp thụ, hệ số khuếch tán, quãng chạy tự do trung bình của neutron v.v… là các thông số quan trọng tại vị trí và nhóm năng lượng nào đó trong lõi lò dùng để tính thông lượng neutron

Qua phép tính toán về áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài toán nhiễu

xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi nêu lên được phương pháp IAD có thể

áp dụng cho các bài toán nhiễu xạ bằng cách giải đơn giản, không cần nhiều tính toán lập trình cồng kềnh vẫn có thể cho được kết quả phù hợp thực tế

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN

Equation Section 1

Trong chương này luận án giới thiệu phương pháp đạo hàm trung bình tích phân bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận [9] Nghiên cứu này sẽ định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân và các tính chất của nó, sau đó giới thiệu một số bài toán lý thuyết có nghiệm không trơn được giải bằng cách sử dụng IAD

Phương pháp tham số liên tục và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ, khái niệm bài toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai chiều cũng được dẫn ra ở đây Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không

có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, cos đạo hàm liên tục tại mọi diểm không trơn, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm, trong tính toán các số liệu đầu vào thường không tuyến tính và chúng tôi áp dụng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân để xử lý các xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa [12]

1.1 Đạo hàm trung bình tích phân

Tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged Derivative) là thuật ngữ được sử dụng trong luận án bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo cách đạo hàm trung bình tích phân đã được định nghĩa trong trang 6

ii) Nếu tại x ta có 0 F x h 0,  Ah , trong đó A là ma trận vuông cấp n n 

thì F được gọi là khả vi trung bình theo tích phân tại x , và viết 0 F x h 0,  Ah Nhận xét: Do mục đích nghiên cứu của luận án nên ở đây chỉ sử dụng đạo hàm trung bình tích phân theo định nghĩa trên Ta có thể mở rộng định nghĩa trên bằng cách thay thế biểu thức trong i) bởi biểu thức

   0   0  0 0

ii) Nếu F có đạo hàm Gateaux tại x thì F’ cũng có đạo hàm trung bình tại đó 0

Hình 1.2 Hàm F không liên tục tại x 0

vi) Hàm F có đạo hàm hữu hạn hai phía tại x thì có đạo hàm trung bình tại đó 0

và ta cũng có

   0   0 0

Nhận xét: Các tính chất ii), iii), ) và iv) suy từ tính chất vi) Bây giờ chứng

minh tính chất vi) Do gỉả thiết F có đạo hàm hai phía tại x nên dễ dàng suy ra 0

kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa), phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận, Trong đó dùng các phép

biến đổi Fourier, Laplace để tìm nghiệm Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD

n

i i i

i) Bộ các hàm i x  là độc lập tuyến tính với mọi n

ii)     0, u n, sao cho

1

0 1

p p

n

i i i

Đặt (1.4) vào (1.1), (1.2), (1.3) thu được

1.2.2 Phương pháp cân bằng sai số

Gỉả thiết rằng W đều được viết dưới dạng

1

n

i i i



trong đó  i i1, ,n là hệ hàm đầy đủ; i,i1, ,n là các hệ số Mọi

hàm W thỏa mãn điều kiện biên bằng không tức là

1.3 Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phương trình Wigner

Trong mục 1.1 đã đưa ra định nghĩa của đạo hàm trung bình (tích phân) và các chương sau chúng tôi sẽ áp dụng các ứng dụng của nó vào tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán khuếch tán

Gần đây phương trình Wigner và bài toán liên kết Wigner – Poisson đã được

sự chú ý của các nhà toán học và vật lý lý thuyết do tính chất phi tuyến của nó khi xét trong môi trường Plasma lượng tử tĩnh điện Chúng được xét trên cơ sở lý thuyết trường trung bình

Ta xét bài toán được trình bày trong bài báo [83]

Chú ý rằng biểu thức (1.13) có dạng

  1 

trong đó f là phép biến đổi Fourier và 1

f là phép biến đổi ngược của nó, và

k k

Định lý Nếu u thỏa mãn điều kiện

 

3

4 1

( G u t  f là nghiệm của phương trình vận chuyển   t f v x f  E v f 0;f t 0u )

Dựa trên định lý này ta có thể áp dụng các phương pháp đạo hàm trung bình tích phân kết hợp với các phương pháp xấp xỉ cho gần đúng của nghiệm cho bài toán (1.19), (1.20) và xây dựng phương pháp IAD cho các đặc trưng của toán tử Với định lý trên cho phép chúng tôi xây dựng phương pháp IAD Phương pháp dựa trên định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân trong không gian hữu hạn chiều n

R cho các bài toán giải phương trình khuếch tán neutron trong lò phản ứng

hạt nhân đối với phương trình vi tích phân nhiều biến (được trình bày trong Chương 2) và phát triển bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi bị hổng một góc trong tài liệu 3 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án)

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN THÔNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÒ

PHẢN ỨNG HẠT NHÂN

2.1 Khái niệm mở đầu

Trước nhu cầu cần sử dụng năng lượng hạt nhân của nước ta hiện nay Việc nghiên cứu và tính toán thông lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân rất quan trọng, nó là một thiết bị hiện đại tạo ra năng lượng cho con người Chúng bao gồm các vật liệu đa dạng như nhiên liệu, chất làm chậm, nước làm mát, chất phản xạ v.v… tất cả các thành phần được sắp xếp không đồng nhất Do đó thiết kế lò phản ứng hạt nhân và phân tích các chế độ hoạt động khác nhau của nó là một nhiệm vụ phức tạp bao gồm nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật [72, 117] Tuy nhiên điều các nhà vật lý quan tâm nhất là sự phân bố và tính chất trạng thái của các neutron (được gọi là các đặc trưng neutron) như: phân bố thông lượng trong vùng hoạt; từ

đó tính hệ số nhân hiệu dụng (keff) cho các cấu hình khác nhau ở điều kiện nhiệt độ

20oC v.v… trong lò phản ứng hạt nhân Nó đóng một vai trò quan trọng và nhận được sự chú ý đáng kể trong vật lý lò phản ứng hạt nhân Mục tiêu chính của sự phân tích các đặc trưng neutron như vậy để mô tả và dự đoán trạng thái của lò phản ứng hạt nhân trong các điều kiện khác nhau và để tìm thấy cấu hình tối ưu của nó, trong đó có khả năng hoạt động tự bền vững lâu dài với sự can thiệp tối thiểu của con người [103]

Một trong các vấn đề mang tính thời sự hiện nay là các bài toán tính toán lò phản ứng hạt nhân Neutron chuyển động trong lò phản ứng hạt nhân là nhân tố chính để xác định các hành vi hoạt động của lò phản ứng hạt nhân, nó được coi như các hạt điểm có vận tốc, tọa độ xác định Các hành vi chuyển động và tương tác bao gồm hấp thụ, tán xạ hay phân hạch thỏa mãn phương trình vận chuyển Boltzmann, còn gọi là phương trình vận chuyển neutron trong lò phản ứng hạt nhân Chúng tôi dành nội dung chương này để xây dựng mô hình vật lý đưa ra phương trình vận

chuyển neutron trong lò phản ứng hạt nhân và áp dụng một số phương pháp giải trong chương 1 để áp dụng giải phương trình này

Sự cân bằng neutron trong lò phản ứng hạt nhân được mô tả bằng phương trình vi tích phân với 7 biến độc lập, đó là phương trình vận chuyển neutron Tiếp theo chúng tôi đơn giản hóa phương trình vận chuyển neutron thành một hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng chỉ với 3 biến độc lập trong không gian ba chiều trong trạng thái tĩnh ở nhiều nhóm năng lượng liên tục [81]

Lý thuyết khuếch tán neutron trong một thời gian dài là một công cụ tiêu chuẩn để tính toán toàn bộ các đặc trưng neutron trong lò phản ứng hạt nhân, nó cho phép tính toán hình thức nhưng chưa đánh giá được sai số và chưa cho kết quả hợp

lý cho nhiều cấu hình lò phản ứng thực tế Các giả định trong khi đặt vấn đề xuất phát điểm của nó chưa giải thích được các gần đúng đặt ra về mặt vật lý Như sự tán

xạ, hấp thụ chỉ ổn định đối với các neutron xuất phát từ nguồn là đẳng hướng còn nếu bất đẳng hướng bài toán không được chính xác nhất là với biên phức tạp [20]

2.2 Dạng tổng quát của phương trình khuếch tán

Quá trình khuếch tán neutron được xét như quá trình vận chuyển neutron trong lõi lò phản ứng hạt nhân nó chính là nhân tố tạo nên các tương tác vật lý gây ra các hiện tượng phân hạch hạt nhân và các quá trình bức xạ trong hạt nhân Do đó, chuyển động và tương tác của neutron với vật liệu (chất làm chậm và nhiên liệu) trong lõi lò cần phải biết hướng đi và tốc độ di chuyển của chúng

Trong quá trình di chuyển, neutron có thể bị tán xạ hay hấp thụ hoặc bị trễ…Phương trình khuếch tán neutron là phương trình vận chuyển cân bằng số neutron trong một thể tích nào đó tại đó có các điều kiện biên xác định được đặc trưng bằng thông lượng neutron (với biến là hướng, tốc độ di chuyển, năng lượng)[77, 81] Từ thông lượng neutron người ta có thể biết được các đặc trưng khác của lò phản ứng hạt nhân như hệ số nhân neutron, quá trình phân hạch tự duy trì…v.v

Có nhiều phương pháp giải phương trình khuếch tán neutron như phương pháp biến phân, phương pháp S (rời rạc hóa theo hướng), phương pháp n P (rời rạc hóa n

theo tọa độ không gian) [81], phương pháp Nodal (Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng bằng phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân trong lõi lò phản ứng hạt nhân) [81] hoặc phương pháp Monte Carlo (phương pháp giải phương trình khuếch tán tính toán lò thường dùng theo phép thử xác suất ) [137]…v.v

2.2.1 Phương trình khuếch tán

Cân bằng neutron (nghĩa là, tốc độ thay đổi số neutron) có năng lượng trong

khoảng từ E đến E + dE trong thể tích cơ bản, ở điểm được xác định bằng

trong đó D(E) – hệ số khuếch tán; Δ – toán tử Laplace

Tốc độ hao hụt neutron được xác định bằng phản ứng bắt neutron của hạt nhân

( ) ( , )

a

Sự tăng trưởng số neutron là do hai quá trình hạt nhân: tán xạ Qs (đàn hồi và

không đàn hồi) và sinh neutron do phân hạch các hạt nhân Q f (Q = Q s + Q f) Tốc

độ gia tăng số neutron do tán xạ được mô tả

s s E

trong đó s(EE) – tiết diện tán xạ vĩ mô vi phân của neutron có năng lượng

trong khoảng từ E đến E + dE Đại lượng Qs được gọi là tích phân các va chạm và thường được ký hiệu là ˆ ( , )S r E

Tốc độ sinh neutron do phản ứng phân hạch được xác định

trong đó χ(E) – phổ các neutron phân hạch

Khi thay phương trình (2.2) - (2.5) vào biểu thức (2.1) và rút gọn dE, sẽ nhận

được phương trình dịch chuyển neutron trong môi trường phân hạch theo phép gần

đúng khuếch tán (phương trình khuếch tán)

0

a f f

D       v (2.7) hoặc



Đại lượng λtr được gọi là độ dài vận chuyển, cosθ – cosin trung bình của góc tán

Đại lượng ù được gọi là thông số vật liệu lò phản ứng

Điều kiện biên của bài toán: tính liên tục của Ф trên đoạn từ 0 đến R và khả

năng tiến đến 0 của Ф ở biên ngoại suy của lò phản ứng (theo bán kính của các phép

Đó chính là phương trình Helmholtz với các điều kiện biên (2.14) là ψ(R) = 0

và ψ(0)  Phương trình (2.15) với các điều kiện biên trên, có vô số nghiệm độc lập ψ0, ψ1, ψ2,…ψn,… Các nghiệm đó được gọi là các hàm riêng (hoặc hàm điều

hòa) của toán tử Laplace Trong đó chỉ tồn tại một nghiệm duy nhất ψ0 (hàm điều hòa điểm không), thỏa mãn đồng thời các điều kiện biên được sử dụng và điều kiện không âm của hàm trong vùng đang xét Mỗi hàm riêng ψn tương ứng với một giá

Thông số hình học chỉ phụ thuộc vào hình dạng và kích thước lò phản ứng mà không phụ thuộc vào các tính chất tái sinh của môi trường

Đối với lò phản ứng dạng hình cầu, nghiệm của phương trình (2.15) được

trong đó C1, C2 – các hằng tùy ý Từ điều kiện biên ψ(0)  (hạn chế nghiệm ở

điểm r = 0) tìm được C2 = 0 Khi đó nghiệm có dạng

1

sin(B r n )

C r

hoặc B R n n1 với n0,1, 2, , Biểu thức (2.17) là nghiệm dương của bài

toán trong khoảng (0, R) không phải cho mọi n, mà chỉ với n = 0 Khi đó

(Sau đây bỏ qua chỉ số 0.) Trong trường hợp này, đại lượng 2  2

B   R là giá trị

riêng nhỏ nhất của toán tử Laplace đối với dạng hình cầu

Đối với các phương trình lò phản ứng mọi hình dạng và mọi kích thước, đều tồn tại các giá trị riêng của mình

Đẳng thức các thông số vật liệu và các thông số hình học là điều kiện tồn tại

trạng thái tĩnh của trường neutron trong môi trường tái sinh hạn chế không có nguồn bên ngoài

B



Điều kiện (2.20) và kích thước lò phản ứng tương ứng với điều kiện đó, được

gọi là điều kiện tới hạn

Đối với lò phản ứng hình cầu, từ điều kiện (2.20) có thể dễ dàng tìm bán kính

tới hạn của lò phản ứng

th

hoặc, sau khi đặt biểu thức (2.11) vào (2.20), ta có

Thể tích môi trường tái sinh nằm trong trạng thái tĩnh, mà các thông số vật liệu

và hình học của môi trường đó thỏa mãn các điều kiện tới hạn, được gọi là thể tích

tới hạn, khối lượng chất phân hạch trong thể tích đó – khối lượng tới hạn

Nghiệm của phương trình khuếch tán một tốc độ đối với lò phản ứng có dạng

tấm phẳng dài vô tận độ dày H



với điều kiện biên

02

ở đây, J0(Br) – hàm Bessel bậc không Từ điều kiện biên ta tìm được nghiệm số của phương trình J0(ξ); ξ = 2,405 [49, 57]

Thông số hình học cho lò phản ứng hình trụ B = 2,405 / R, bán kính tới hạn

2, 405

2, 405

1

L R

k



Giải phương trình đối với lò phản ứng dạng hình trụ có độ cao hữu hạn

Nghiệm của phương trình cho hình trụ hai chiều (r, z)

2

2 2

( , )r z G r F z( ) ( ),

trong đó G(r), F(z) – tương ứng, nghiệm của bài toán cho hình trụ vô tận và tấm

phẳng vô tận Thông số hình học cho hình trụ hữu hạn là

2.3 Phép gần đúng theo độ tuổi khuếch tán

Sự lan truyền các neutron nhiệt trong lò phản ứng, khi không xét đến quá trình làm chậm chúng, được mô tả bằng phương trình theo phép gần đúng khuếch tán đơn nhóm Vì vậy, độ chính xác tính toán nhờ cách tiếp cận đó là không cao Tồn tại một số phương pháp tính toán neutron của toàn bộ dải năng lượng Đơn giản nhất

trong số các phương pháp đó là lý thuyết theo độ tuổi, được Fecmi phát triển [58,

72] và được sử dụng đến ngày nay để tính toán và phân tích trạng thái lò phản ứng

Về bản chất, lý thuyết theo độ tuổi dẫn đến cách mô tả rút gọn của quá trình làm chậm neutron, và tương ứng với điều đó, là rút gọn phép tích phân các va chạm, điều này cho phép đưa phương trình vi-tích phân khuếch tán về phương trình vi phân, và trong nhiều trường hợp sẽ nhận được nghiệm của nó ở các phép cầu phương

Ý nghĩa của phép gần đúng có sử dụng lý thuyết theo độ tuổi là đưa đến việc thay thế cách mô tả sự thay đổi theo bậc của năng lượng neutron khi va chạm bằng

tính phụ thuộc liên tục Cách tiếp cận này có tên gọi là phép gần đúng làm chậm

liên tục và đúng trong trường hợp mất ít năng lượng sau một lần va chạm

Đưa ra khái niệm mật độ dòng làm chậm (sau đây gọi là mật độ làm chậm)

( , , )

j r u t , nó được xác định như là số neutron trong một đơn vị thể tích, được làm

chậm trong một đơn vị thời gian đến giá trị lethargy) cao hơn u (hoặc, cũng đúng như vậy, đến giá trị năng lượng thấp hơn E(u))

Dễ dàng xác định mối liên hệ giữa mật độ làm chậm và dòng neutron, xuất phát từ định nghĩa ( , , )j r u t – số neutron trong 1 cm2, mà sau 1 s chúng chuyển từ vùng lethargy nhỏ (0 u u) đến vùng lethargy lớn (0u ):

2

0

( , , ) ( , , ) ( )( ) ( , )

u q u

u

j r u t   r u t L  u  W u u du   (2.37) trong đó W u u( , )  – xác suất, ở trong khoảng u u , du, của khả năng neutron

có lethargy là u trước tán xạ, q = ln(1/α) – bậc làm chậm neutron ở các hạt nhân có

số khối lượng A, α = ((A – 1) / (A + 1))

Giả sử, ФΣs ít thay đổi khi thay đổi lethargy, tích phân (2.37) có thể viết gần đúng

( , , ) ( , , ) s( ) ,

u q u

Phương trình tĩnh của quá trình làm chậm trong phép gần đúng khuếch tán được viết ở dạng

 τ – độ tuổi của neutron, Q – nguồn

Trong phép gần đúng đang xét, phương trình khuếch tán cho các neutron nhiệt

có nguồn, mà các neutron được làm chậm đóng vai trò của nguồn đó, có dạng

( , ) 0

aT

D    j r   (2.40) Trong đó τT = τ(E0,ET), ET – năng lượng biên của các neutron nhiệt; ΣaT – tiết diện

vĩ mô hấp thụ neutron nhiệt, j( , )r – tốc độ thể tích của quá trình sinh neutron nhiệt

Để diễn đạt bài toán một cách trọn vẹn theo toán học, các phương trình (2.39)

và (2.40) cần được bổ sung các điều kiện ban đầu và điều kiện biên Điều kiện ban đầu của bài toán được xác định bằng các neutron nhanh đã được sinh ra lần nữa trong phân hạch (τ = 0) và đối với trường hợp hấp thụ yếu, có dạng

( , ) 0, ( ) 0,

ở đây, R – biên giới ngoại suy của vùng hoạt

2.4 Các điều kiện tới hạn

Ta viết phương trình (2.39) cho trường hợp hấp thụ yếu và không có nguồn bên trong

ù Sau khi thay thông số vật liệu ù 2

bằng thông số hình học B2 trong biểu thức (2.51), có thể nhận được phương trình tới hạn của lò phản ứng trong phép gần đúng khuếch tán theo độ tuổi

Đối với các lò phản ứng kích thước lớn, trong đó rò rỉ neutron là nhỏ, biểu thức cho thông số vật liệu được rút gọn:

Biểu thức (2.54) đối với lò phản ứng tới hạn 2 2

B ù tương đương với

2

2

1

k B M

Từ đó thấy rằng, τ có đơn vị đo là cm2 và là hàm dịch chuyển neutron từ điểm

được sinh ra – khoảng (E f – E) càng lớn thì độ tuổi neutron càng lớn và neutron đi

khỏi nguồn càng xa

Dễ thấy rằng, độ tuổi neutron có liên quan đến bình phương trung bình dịch chuyển của các neutron được làm chậm bằng hệ thức

2

6

Đại lượng  được gọi là độ dài làm chậm Như vậy, độ tuổi quyết định quá

trình vận chuyển các neutron được làm chậm Đối với các neutron được làm chậm,

độ tuổi đóng vai trò tương tự như vai trò của bình phương độ dài khuếch tán L2

đối với neutron nhiệt

2.6 Phép gần đúng khuếch tán đa nhóm

Phương trình khuếch tán cho neutron nhiệt (2.7), (2.8) (được gọi là phép gần

đúng đơn nhóm), trên cơ sở phương trình đó giả định rằng tiết diện và dòng neutron

không phụ thuộc vào năng lượng, là phương trình rất thô lược khi giải phần lớn các bài toán thực tế Trong khi đó, không thể có được kết quả giải tích của phương trình ban đầu (2.57), vốn không sử dụng phép gần đúng nói trên, là do các hằng số (của các tiết diện vĩ mô) phụ thuộc vào năng lượng một cách phức tạp và bất thường Vì vậy, hiện nay, đối với các tính toán vận hành và các tính toán thiết kế, người ta sử dụng phương pháp số để giải phương trình (2.6) dựa trên cơ sở tiệm cận phân khúc-

cố định mối tương quan năng lượng của các tiết diện và dòng neutron, và được gọi

là phép gần đúng đa nhóm Bản chất của phương pháp đa nhóm như sau Toàn bộ

vùng thay đổi năng lượng neutron được chia ra thành các khoảng (nhóm) riêng Độ

rộng của nhóm thứ I là ΔE i = │E i , E i-1│ Trong mỗi nhóm, tất cả các hằng số của phương trình (2.6) (hệ số khuếch tán, hệ số tiết diện vĩ mô) được coi là không đổi,

bằng giá trị trung bình theo nhóm và được gọi là các hằng số theo nhóm Đưa ra khái niệm dòng theo nhóm

i j i

E E E

s

f f

E E E

đã chọn và tiếp tục phép thế các biểu thức (2.58) – (2.60) đối với trường hợp tĩnh

(dФ/dt = 0) ta có (N – 1) biểu thức cho các thông lượng theo nhóm

Các điều kiện biên cũng được viết cho tất cả N nhóm Giải đồng thời hệ N – 1

phương trình (4.8.4) và phương trình (4.8.5) kèm theo các điều kiện biên tương ứng

cho phép nhận được các đặc tính vật lý-neutron cơ bản của lò phản ứng tĩnh, trong

số đó có sự phân bố phổ và phân bố không gian của các neutron

Thời gian trước đây, do tốc độ tính toán của máy tính không đủ cao nên việc

sử dụng rộng rãi cách tiếp cận đa nhóm để tính toán lò phản ứng neutron nhiệt đã bị hạn chế [109] Chỉ khi xuất hiện các máy tính với tốc độ đủ lớn trong khoảng vài chục năm gần đây, các phương pháp số để giải các phương trình đa nhóm trong không gian ba chiều của lò phản ứng đã có những bước tiến mới trong việc cải thiện

độ chính xác tính toán so với phép gần đúng khuếch tán theo độ tuổi, cũng như phương pháp khuếch tán đơn nhóm Bước tiếp theo nâng cao độ chính xác tính toán

sẽ là bước chuyển sang các phương pháp để giải bài toán vận chuyển neutron trong

lò phản ứng

2.7 Các nghiên cứu tính toán lò phản ứng từ trước đến nay

2.7.1 Những phương pháp tính toán lò phản ứng hạt nhân đã được tính toán trong vài thập kỷ vừa qua

Phương pháp tính toán lò phản ứng hạt nhân chủ yếu dựa trên cơ sở phương pháp tính để dự đoán phân bố neutron trong trạng thái dừng ở mọi vị trí trên vùng lõi lò Giá trị chính xác của phân bố này là rất cần để đảm bảo rằng: các lò phản ứng

có thể được vận hành ở công suất không đổi; các phản ứng dây chuyền phân hạch

có thể nhanh chóng bị dập tắt, đặc biệt là trong điều kiện có tai nạn; mật độ công suất tại từng vùng trong lò phản ứng hạt nhân không vượt quá các giới hạn tính toán toàn bộ vùng lõi lò; và nhiên liệu được sử dụng trong lò đạt hiệu suất cao

Các tính toán trong vùng nhiên liệu nhỏ dựa trên cơ sở lý thuyết vận chuyển neutron, ở vùng lớn như toàn bộ lõi lò phương pháp tính toán chiếm ưu thế dựa trên

lý thuyết khuếch tán neutron [106]

Phương trình vận chuyển neutron mô tả cơ bản và chính xác phân bố neutron trong không gian, theo năng lượng và hướng (chuyển động) Chúng là nền tảng vật

lý và điểm khởi đầu cho phương pháp tính toán gần đúng Nó được xét từ sự cân

bằng của neutron trong một thể tích nhỏ vô hạn chỉ với giải thiết bỏ qua hiệu ứng hoặc hiện tượng không quan trọng như tương tác neutron – neutron trong đa số các ứng dụng Phương trình khuếch tán neutron được thêm một gỉả thiết là thông lượng góc có tính đẳng hướng phụ thuộc vào bài toán có nguồn và tán xạ đẳng hướng Điều đó cho phép bỏ qua các biến chỉ hướng của phương trình mật độ neutron và các phương pháp tính số liên quan và đơn giản khi tính toán Đương nhiên, gỉả thiết khuếch tán sẽ không có giá trị khi mật độ neutron phụ thuộc mạnh vào hướng, tức là quãng đường tự do trung bình bị hấp thụ mạnh, nơi có nguồn hoặc điều kiện biên chân không

2.7.2 Phương pháp nodal

Các tính toán thực tế đối với neutron trong trạng thái dừng của cả hai thiết kế

lò phản ứng mới và các lò phản ứng đang hoạt động liên quan đến một số lượng lớn các tính toán toàn bộ lõi lò để xác định các thông số như thông lượng neutron trong lõi lò, trên biên và biên phản xạ để thiết lập hệ thống điều khiển Các tính toán được thực hiện ở một số bước thời gian để đảm bảo điều hành lò phản ứng hạt nhân không được vượt quá điều kiện bình thường tại thời điểm bất kỳ Với tốc độ hiện tại của máy tính, nó là hoàn toàn không thực tế để thực hiện tất cả những tính toán này bằng cách áp dụng phương pháp vận chuyển cho lưới tinh đến một mô hình có chứa chi tiết ở mức độ thanh nhiên liệu, bộ phận điều khiển, và các vùng nước làm mát trong toàn bộ một lõi lò phản ứng Vì lý do này, phương pháp tính neutron trong lõi

lò được dựa trên một phương pháp hai giai đoạn [109]

(1) Đồng nhất hóa ô mạng: Giai đoạn đầu tiên là tính toán phần lõi lò theo lý thuyết vận chuyển neutron trong miền nhỏ được gọi là ô mạng Chi tiết của một lõi

lò phản ứng được phân chia thành các ô mạng Một ô mạng điển hình thường chứa một số thanh nhiên liệu cộng với nước làm chậm xung quanh hoặc các chất làm chậm đặc trưng khác Điều kiện biên phản xạ (đối xứng) được sử dụng, do đó bài toán vận chuyển neutron trong ô mạng được xét đến Sự phân bố thông lượng neutron từ những tính toán ô mạng sử dụng để đồng nhất về không gian và giá trị nhất định của năng lượng đã được đưa ra Các dữ liệu ô mạng đồng nhất sau đó