SKKN hinh lop8( 2017 2018)

Trong các đó bài toán có nhiều phơng pháp sửdụng diện tích các hình phẳng để giải các bài tập hình học là một ph ơng phápthú vị.. Với những lý do đã trình bày ở trên tôi đã chọn đề tài “

Lời mở đầu

I Đặt vấn đề

Trong Hình học nói riêng và toán học nói chung, việc giải các bài toán cónhiều phơng pháp khác nhau Trong các đó bài toán có nhiều phơng pháp sửdụng diện tích các hình phẳng để giải các bài tập hình học là một ph ơng phápthú vị Việc sử dụng phơng pháp này để giải các bài toán hình học mang ý nghĩatổng quát và có lúc đem lại cho ta những kết quả ngắn gọn bất ngờ

Phơng pháp diện tích cho phép ta hiểu sâu thêm các tiêu đề hình học,trong đó đáng quan tâm về các tiêu đề diện tích đồng thời cho phép ng ời đọcthấy rõ bản chất các vấn đề nêu ra

Giải các bái toán bằng phơng pháp diện tích còn gây đợc hứng thú tìm tòicho ngời giải toán Bởi lẽ không phải bất cứ bài toán nào cũng có thể giải bằngphơng pháp đó Song nếu nh cố gắng tìm tòi thì ta có thể khai thác đợc nhiều vấn

đề hết sức thú vị của các bài toán

Với những lý do đã trình bày ở trên tôi đã chọn đề tài “ Sử dụng phơng

pháp diện tích để giải các bài toán hình học” để nghiên cứu,.

Trong đề tài, tôi đã lựa chọn đợc các bài tập ở nhiều dạng, có những bàitoán nâng cao và những kiến thức mở rộng hơn so với kiến thức đã trình bàytrong SGK lớp 8 và 9 Do vậy, đề tài chỉ áp dụng đ ợc cho các học sinh khá giỏi ởTrờng THCS

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

a Thực trạng:

Trong những năm dạy toán ở Trờng THCS, thông qua việc tìm hiểu số ợng bài tập hình học thì các bài toán giải bằng ph ơng pháp diện tích đợc trìnhbày quá ít Chính vì vậy học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc những bài toán

l-nh vậy Bởi thế, để giúp học sil-nh giải tốt các bài toán hìl-nh học nói chung vàphần bài tập về diện tích đa giác nói riêng là điều mà thầy cô giáo quan tâm vàsuy nghĩ Do kinh nghiệm cha nhiều và sự hạn chế của bản thân, tôi chỉ chọn kiếnthức và bài tập phần diện tích đa giác ở lớp 8 và kiến thức mở rộng ở lớp 9 đểnghiên cứu kinh nghiệm giảng dạy này

b Kết quả.

Khi cha áp dụng đề tài, việc giải bài tập ở dạng về diện tích đa giác củahọc sinh gặp rất nhiều khó khăn Kết quả thu đợc trong 2 năm thử nghiệm nhsau:

Năm học Số học sinh

kiểm tra

Kết quả đạt đợc Giỏi

(%)

Khá (%) TB (%) Yếu (%)

1

2017 - 2018 30 10 15 35 40

2

Phần I:

Các kiến thức cơ bản

I Các công thức diện tích hay sử dụng cho tam giác.

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c lần lợt đối diện với các

(a + b + c) là nửa chu vi của tam giác

- r: bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC

- ra, rb, rc: bán kính đờng tròn

bằng tiếp ABC tiếp xúc với a, b, c

Ta có công thức tính diện tích tam giác sau:

* Giá trị sử dụng của các công thức:

- Công thức (1) đợc sử dụng khi biết một cạnh và đờng cao thực nó

- Công thức (2) đợc sử dụng khi biết 3 cạnh

- Công thức (3) đợc sử dụng khi biết 3 cạnh và bán kính đờng tròn ngoạitiếp tam giác

- Công thức (4) đợc sử dụng khi biết 3 cạnh và bán kính đờng tròn nội tiếp

- Công thức (5) đợc sử dụng khi biết 3 cạnh và bán kính đờng tròn bằng tiếptơng ứng

II Các công thức tính diện tích tam giác hay dùng

1 Diện tích hình vuông cso cạnh là a: S = a2

5 Diện tích hình thang có hai đáy là a, b b và đờng cao h :

6 Diện tích hình thang có đờng cao h, đờng trung bình m: S = m h

III Các bài toán cơ bản về diện tích.

'

AH S

S

BC A

2 1

2 1

AH AH

BC

AH BC S

S

BC A

Hệ quả 3: Nếu ABC có diện tích không đổi và có cạnh đáy a đờng cao

là h thì a và h là hai đại lợng tỉ lệ nghịch

Bài toán 3: Ta xét các trờng hợp sau:

GT ABC, A’BC, AA’ cắt BC tại E

KL

'

AE S

S

BC A

’H’

Chứng minh:

Ta có

' '

' 2 1

2 1

AE AH

AH AH

BC

AH BC S

S

BC A

S

S

C B A

BC B

Mặt khác ABH ~A’B’H’ => k

H A

AH B

' ' '

' '

' ' ' ' '.

' 2 1

2

1

k k k H A

AH C

B

BC H

A C B

AH BC S

S

C B A

Loại 1: Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ

Loại 2: Tổng hoặc hiệu các đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác

Loại 3: Tổng hoặc hiệu diện tích các hình bằng diện tích một hình khác

Loại 4: Tỉ số diện tích hai hình phẳng

Loại 5: Chứng minh các bất đẳng thức hình học

Loại 6: Chứng minh các đờng thẳng đồng quy

Loại 7: Chứng minh các bài toán cực trị hình học và một số bài toán dạngkhác

Loại 1: Phơng pháp chứng minh “các đoạn thẳng tỉ lệ”

K S

S

M B A

ABM

B A M d

AB M d

 ) ' '

; (

)

; (

Bài tập vận dụng:

Bài toán 1 : Lấy một điểm O trong ABC Các tia AO, BO, CO cắt BC,

AC, AB lần lợt tại P, Q, R Chứng minh rằng    2

CR

OC BQ

OB AP OA

S

ABC OBA

 (hệ quả 2)Mặt khác do OK // AH

=>

AP

OP S

S AP

OP AH

AOB ABC

OBC

S

S S

S S

S CR

OR BQ

OQ AP OP

Ta có: AO APBQ BOCD CR AP AP OPBQ BQ OQCR CR OR

= 3 - (   )  3  1  2

CR

CO BQ

OQ AP

OP

=>    2

CR

CO BQ

BO AP

AO

(ĐPCM)

Bài toán 2: Cho ABC có ba góc nhọn và ba đờng cao AA’, BB’, CC’,

gọi H là trực tâm của ABC Chứng minh

'

' '

' '

'

CC

HC BB

HB AA

AHC ABC

HBC

S

S S

S S

S CC

HC BB

HB AA

' '

'

=

ABC

AHB AHC

HBC

S

S S

AHB AHC HBC

S

S S

S S

S

=>

'

' '

' '

'

CC

HC BB

HB AA

HA



Bài toán 3: (Hệ quả bài toán 2)

Cho ABC có ba góc nhọn AA’, BB’, CC’ là các đờng cao, H là trực tâmcủa ABC Chứng minh rằng  ABC là tam giác đều nếu:

'

' '

' '

'

CC

HC BB

HB AA

' '

' '

HB AA

AH

'

' '

' '

'

gt CC

HC BB

HB AA

' '

' '

HB AA

AH

=> H là trọng tâm ABC => ABC

đều

Bài toán4: Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC lấy các điểm A1, B1,

C1 Chứng minh rằng nếu các đờng thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại điểm P

1

1 1

1 1

1



A B

CB C A

Nhân vế với vế của các đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:

1

.

.

.

1

1 1

CBCP ABP ACP

S S S

S S S A B

Loại II: Phơng pháp chứng minh Tổng hoặc hiệu các đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác

Muốn chứng minh: AD + CD = PQ Ta chứng minh theo các cách sau:

Cách 1: Chỉ ra tồn tại một điểm M

SMAB + SMCD = SMPQ

d(M; AB) = d(M; CD) = d(M;PQ)Cách 2: Chỉ ra tồn tại hai điểm M, N

SMAB + SMCD = SNPQ

d(M; AB) = d(M; CD) = d(N;PQ)Cách 3: Chỉ ra tồn tại ba điểm M, N, R

SMAB + SMCD = SRPQ

d(M; AB) = d(N; CD) = d(R;PQ)

Bài tập vận dụng:

Bài toán 5: Cho ABC (AB = AC) Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy

BC Từ D kẻ các đờng thẳng DE và DF lần lợt vuông góc với AC, AB Chứng minhrằng tổng DE + EF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên BC

Chứng minh:

Để chứng minh DE + DE không phụ thuộc

vào vị trí điểm D ta chứng minh

nó luôn bằng một đoạn thẳng có

độ dài không đổi

Thật vậy kẻ đờng cao CK ta có

SABD + SACD = SABC

mà SABD = AB DF S ACD AC.DF

2

1 ,

2

=> DF + DE CK, do CK là đờng cao

=> CK không đổi Vậy DR + DE không đổi

Bài toán 6: Chứng minh tổng các khoảng cách từ một điểm thuộc miền

trong của tam giác đều ABC đến cạnh của nó không phụ thuộc vào vị trí của

Loại III: Phơng pháp chứng minh Tổng hoặc hiệu các hình bằng diện tích một hình khác

Để chứng minh: S1 + S2 + S3 + + Sn = S, ta có thể sử dụng:

- Các công thức tính diện tích

- Các bài toán cơ bản đã nêu

Bài tập vận dụng

Bài tập 7: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của

các cạnh BC và AD, P là giao điểm của các đ ờng thẳmg AM và BN, Q là giao

điểm của các đờng thẳng CN và DM

AD CC

AD



=> SAMN = SABN + SCND Mặt khác ta có: SMPNQ = SAMD - (SAPN + SMDQ)

Thay SMPQN = (SABN + SCND) - (SAƠN + SNQD)

SMPQN = (SABN - SAPN) + (SCND - SQND) vvậy SMPQN = SABP + SCQD

Bài toán 8 : Cho tứ giác lồi ABCD với M là trung điểm của đờng chéo AC.

NM’

B’

A

b Giả sử A không song song với CD Gọi E và F lần l ợt là trung điểm của

AB và CD Hãy tìm trên đoạn thẳng EF một điểm K sao cho

b Vì AB không song song với CD nên AB cắt CD tại T

Trên tia TA lấy điểm P sao cho TP = AB

Trên tia TD lấy điểm Q sao cho TQ = CD

Ta có: SAMB = STPM (hai tam giác

có đáy bằng nhau và cùng đờng cao)

Bài toán 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đờng cao BD, CF Gọi

H, K là hình chiếu của BC trên đờng thẳng ED

Chứng minh SBEC + SBDC = SBHCK

Chứng minh:

Vẽ EF’, II’, DD’ vuông góc

với BC (I là trung điểm của ED)

=> II’ là đờng trung bình của

CB

FM

M

A

KQ

CD’

DD’ + EE’ = 2II’ Khi đó ta có

Loại IV: Phơng pháp chứng minh Tỉ số diện tích của hai hình phẳng

' '

' '

2 2

1

1

A SA

A A SA K K C B SA

Ta có thể chứng minh các cách sau:

Cách 1: Chỉ ra rằng  ABC ~  A’B’C’ theo tỉ số k

Cách 2: Chỉ ra SABC = K2 S A’B’C’ và dựa vào phơng pháp chứng minhloại 1, loại 2

Cách 3: Dùng tiêu đề diện tích để từ bài toán tổng quát đ a về bài toán chotam giác

Bài tập vận dụng:

Bài toán 10: Chứng minh rằng tam giác có đỉnh là giao điểm của hai cạnh

đối của một tứ giác lồi, hai đỉnh kia là hai trung điểm của hai đ ờng chéo của tứ

giác lồi có diện tích bằng

4

1

diện tích tứ giác

Chứng minh:

Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các đờng

chéo BD và AC của tứ gác ABCD, E là giao điểm

Bài toán 11: Cho  ABC trên BC, CA, AB lấy các điểm A1; B1; C1 sao cho

các đờng thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P Chứng minh:

C B

AB SBCP

A 2

A

=>

2 2

2

2

2 1

2 1

CC

AA CC

BP

AA BP SBCP

AB CC

AA

1

1 2

2

 (Do  AB1 A2 ~  CB1C2)

Vậy

C B

AB SBCP

Giải:

Gọi F là trung điểm của DC => EF// AD

=> BN = NE (DN là đờng trung bình của  BEF)

Gọi I là trung điểm của GE => NI // MG

Bài toán 13: Trên cạnh AC và AB của  ABC lấy các điểm B1, C1

Gọi O là giao điểm của BB1 và CC1 Hãy tính

Giải: Ta có:

OC B

BOC

S

S OB

Ta thấy:

OC B

C B AB C B

AC

1

1 1 1

BO AC

BC

1 1

1



  =

OC B

Bài toán 14: Cho hình vuông ABCD, gọi E,F,O,N lần lợt là trung điểm

của các cạnh AB, BC, CD và DA Nối các đoạn AF, BO, CN lần lợt cắt nhau tại

A

C 1

A 1

B 1

N G

A E B

N

F P

.

AC Ab

AC AB

' 2 1

1 1

AB H C

AB CH

=

H C

CH AB

AC H

Chó ý: NÕu B  B’ th×

' ' 'B C A

Loại V: Phơng pháp chứng minh Các bất đẳng thức trong hình học

Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số và bất đẳng thức nh bất đẳng

thức cosi trong trờng hợp áp dụng cho hai số dơng.a2 + b2 > 2ba, 22 22

a

b b

a

 > 2Hoặc một số bất đẳng thức khác

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác a+b < a + b

Cách 3: Sử dụng các phép biến đổi hình học làm xuất hiện các bất đẳng thức

từ các đại lợng về số đo diện tích và các đa giác mà ta kiến lập nên

Cách 4: Sử dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

(c-b) < a < c + b (a1b1c là số đo 3 cạnh của tam giác)

- Sử dụng mối quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên cùng kẻ từ một

điểm đến đờng thẳng

Bài tập vận dụng

Bài toán 16: Cho M là một điểm nằm trong tam giác ABC Qua M vẽ các đờng

thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh tam giác tơng ứng tại các điểm A1,B1, C1

Chứng minh rằng: a A AM M B BM M C CM M

1 1

1



 > 6 ; b A AM M B BM M C CM M

1 1

1

S

S S S S

S M A

3 2

3 2 1

1 1

S

S S

S S

S S MA

MA AA

2

1 2

3 2

1 3

S S

S S

S S MB

1

s S

S MC

1 2

3 3

2 1

2 2

1 1 1

S S

S S

S S

S S

S S

S MC

MC MB

MB MA

MA

> 2 + 2 + 2 = 6Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3

b Nhân về với về của ba đẳng thức (1) (2) (3) ta có:

3 2 1

3 2 3 1 3 2 1

1

1

) )(

)(

(

S S S

S S S S S S M C

MC M

1 2

CM M

B

BM M

A

3

2 2

2 1

2 1 1 3 3 2 2

3

2 1

2 2 1

2 1 3

2 3 1

.

4 4 4

.

) (

) (

) (

S S S

S S S S S S S

S S

S S S S S S

S S

1 2

CM M

B

BM M

A

AM

> 64 => A MA M B MB M C MC M

1 1

Bài toán 17: Cho  ABC, G là trọng tâm

a Chứng minh: Bất kỳ điểm P trên một cạnh của tam giác ta luôn tìm đợc

một điểm Q trên cạnh hoặc nằm trong tam giác sao cho SGPQ >

a Gọi AM là BN là các trung tuyến của

 ABC Giả sử P thuộc cạnh BC và BP < PC

PM MC MG

MC

PH PC S

(

2

2 2

BM MC

PM BM PM MC

Do đó (1) (2) (3) rút ra điểm không không thoả mãn đợc SKPQ >

6

1

SABC

Bài toán 18: Cho  ABC, gọi ha là đờng cao ứng với cạnh a và hb là đờng

cao ứng với cạnh b Chứng minh nếu a > b thì a = ha > b = hb

17

A

B 1

C

A 1

hb

ha b

A

N S

H

M P

K

 G

B C

A

D 1

D

M A

1

Dấu “ =” xảy ra khi 2 S = ab

Loại VI: Phơng pháp chứng minhCác đờng thẳng đồng quy

Khó có thể chỉ ra phơng pháp chung dùng diện tích để chứng minh các ờng thẳng đồng quy ( ở đây ta có thể nói rằng không có ph ơng pháp diện tích thìbài toán chứng minh các đờng thẳng đồng quy vẫn có thể thực hiện đợc (nh sửdụng phơng pháp toạ độ và một số phơng pháp khác) Vì vậy việc tìm tòi phơngpháp diện tích để chứng minh là một sộ cố gấng

đ-Tuy nhiên, ta có thể dựa vào một tính chất quan trọng của hình bình hànhsau đây để làm cơ sở cho phơng pháp chứng minh đồng quy

Tính chất: ABCD là hình bình hành.M là một điểm trong ABCD Qua M kẻ các

đởng thẳng song song với các cạnh ta đợc bốn hình bình hành Khi đó M  AC

Bài toán 19: Trên cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD lấy

các điểm M, H, K, P tơng ứng sao cho MK//AD và HP//AB Chứng minh rằngcác đờng thẳng BP, MD, CD đồng quy tại một điểm (O là giao điểm của HP vàMK)

O

phải thuộc đờng chéo MD hay ba đờng thẳng

BP, MD và CO đồng quy

Bài toán 20: Chứng minh rằng nếu trong một lục giác mà các đờng chéo

nối các đỉnh với nhau đều chia lục giác đó thành hai phần tơng đơng thì các ờng chéo đồng quy tại một điểm

đ-Chứng minh:

Giả sử AD cắt CF tại P và cắt BE tại R, cắt FC tại Q

Vì các đờng thẳng AD, BE đều chia đôi

diện tích lục giác nên:

SAREF + S RED = SRDCB + SRAB

SAREF + SSRB = SRDCB + SERD

=> SRED = SRAB; Tức là AR BR = RERD

=> (AP + PR) (BQ + QR) > AP BQ

Tơng tự AP.FP > QC.RD và BQ.OC > PF.RE

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:

RE.RD.AP.EP.PQ.QC > AP.BQ.QC.RD.PE.RE

( Vô lý, vì thực ra 2 vế bằng nhau)

Vậy các đờng chéo của lục giác phải đồng quy tại một điểm

Loại VII: Phơng pháp chứng minh Các bài toán cực trị hình học

Về phơng pháp chứng minh tơng tự giống nh ở loại 5 chú ý thêm:

+ Tổng các số dơng không đổi thì tích các số đó đạt giá trị lớn nhất khichúng bằng nhau

+ Nếu tích các số dơng không đổi thì tổng các số đó đạt giá trị bé nhất khichúng bằng nhau

Bài toán 21: Cho M nằm trong tam giác ABC Các đờng thẳng AM, BM,

CM lần lợt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Hãy xác định điểm M trongtám giác sao cho:

a

1 1

MC MB

MB MA

D C

B A

S S S

S S

S MA

MA

B MA

MAB C

S S S

S S

S MB

MB

B MA

MAB C

MC MB

MB MA

2 2

1 1

2 3

1 1

3

S

S S

S S

S S

S S

S S

S

> 6

Vậy

1 1

MC MB

MB MA

3 1

3 1

2 1

3 2

2 1

,

;

S S

S MC

MC S S

S MB

MB S S

S MA

3 3 1

2 3 2

1

S S

S S S

S S S

1

S S S S S

1

S S S S S

Vậy P = MA MA1 MB MB1 MC MC1 >

2 3

Bài toán 22: Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo của tứ giác ABCD Biết

SAOB = 4, SCDO = 9 Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD

Giải:

Ta có:

OBC

ODC OAB

OAD

S

S OB

OD S

S





=> SOAD.SOBC = SOAB SODC = 4.9 = 36

=> SOAD.SOBC > 2 S CAD.S OBC = 12

=> SABCD = SOAC + SOBC + SOCD + SODA > 4 + 9 + 12 = 15

=> AABCD đạt giá trị bé nhất là 25 khi SOAD = SOBC = 6

Bài toán 23: Cho hình bình hành ABCD có diện tích là a,  MKL nối tiếp

trong hình bình hành ABCD Tìm giá trị lớn nhất của diện tích  MKL

Giải: * Xét trờng hợp đặc biệt:

B A

M

K

L

Q

Phần III: Bài tập đề nghị

Bài tập 1: Cho  ABC (Aˆ =900) Trên các cạnh AB, AC, BC ở phía ngoàitam giác dựng hình vuông ABED, ACBQ và BCMN Đờng cao AH thuộc cạnhhuyền của  ABC cắt MN tại F Chứng minh

a SBHFN = SABED, từ đó suy ra AB2 = BC.BH

b A HCME = SAOPQ, từ đó suy ra AC2 = BC.HC

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD có góc BAD nhọn, đờng phân giác

của góc BAD cắt CD tại M là cắt đờng thẳng BC tại N Gọi O là điểm cách đều ba

điểm C, M, N là không là giao điểm của OB và OD chứng minh

a SOBN = SOBC

b SBCK + SNOC = sDOK

Bài tập 3: Cho  ABC (AB = AC), đờng cao AH, O là trung điểm của

AH, tia BO cắt AC tại D, tia CO cắt AB tại E Tính tỉ số diện tích tứ giác ADOE

là diện tích tam giác ABC

Bài tập 4: Cho  ABC (Cˆ =900) trong các tam giác lấy điểm hoặc saocho SOAB = SOBC = SOAC Chứng minh: OA2 + OB2 = 50C2

Bài tập 5: (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 chuyên Vĩnh Phúc - 2003)

Cho  ABC (Aˆ =900) là điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lợt là

điểm đối xứng của H qua AB, AC