Tổng hợp các dạng toán tịnh tiến biến hình lớp 11 ôn thi năm học 2017 2018

Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó?... Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.. b/ Tính chất 2: * Định lý 2: Phép tịnh tiến

1 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

2 HƯỚNG DẪN GIẢI 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN

3 PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN

I 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 3. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Ảnh tam giác FEO là qua T AB là:

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x42y52 36 và

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho v  2; 1 

Tìm tọa độ điểm A biết ảnh của nó là điểm A' 4; 1  

qua phép tịnh tiến theo vectơ v

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho va b; 

Với mỗi điểm M x y ;  ta có M 'x y'; ' là ảnh

của M qua phép tịnh tiến theo v

Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó?

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A1;3 và B2; 4 , tọa độ M' là ảnh của

Câu 20. Trong mặt phẳng cho vectơ v

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' được gọi

là phép tịnh tiến theo vectơ v

Câu 28. Cho điểm A  2;5 và vectơ v  3; 2 

Tìm tọa độ của A' sao cho A là ảnh của A' qua phép tịnh tiến vectơ v

sao cho khi tịnh tiến đồ thị  C theo vectơ v

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn   C : xm22y 3 m2 10;

II CHUYÊN ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD Phép tịnh tiến T DA biến:

A/ B thành C B/ C thành A C/ C thành B D/ A thành D

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD Phép tịnh tiến T AB AD biến điểm A thành điểm:

A/ A’ đối xứng với A qua C B/ A’ đối xứng với D qua C

C/ O là giao điểm của AC và BD D/ C

Câu 3: Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB Gọi  là tiếp tuyến của (C) tại điểm A Phép tịnh tiến TAB biến  thành:

A/ Đường kính của (C) song song với  B/ Tiếp tuyến của (C) tại điểm B

C/ Tiếp tuyến của (C) song song với AB D/ Cả 3 đường trên đều không phải

Câu 7: Khẳng định nào sai:

A/ Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

B/ Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

C/ Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó

D/ Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Câu 8: Khẳng định nào sai:

A/ Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

B/ Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

C/ Nếu M’ là ảnh của M qua phép quay QO, thì OM OM'; 

D/ Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M  6;1qua phép quay

Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M3; 4qua phép quay

II/ Bài tập tự luận:

1/ Trong mặt phẳng Oxy, cho v3; 4

và đường thẳng  :xy  6 0 Viết phương trình đường thẳng

'

 là ảnh của  qua phép tịnh tiến T v

2/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  : 2xy  3 0 Viết phương trình đường thẳng  'là ảnh của

C x y  x y  Viết phương trình đường tròn

 C' là ảnh của  C qua phép quay

5/ Trong mặt phẳng Oxy, cho v5; 4  

và điểm M3; 2 Gọi M ' là ảnh của M qua phép tịnh tiến T v ,

6/ Trong mặt phẳng Oxy, cho v  1;3

và điểm M4; 7 Gọi M' là ảnh của M qua phép quay

O,90o

Q ,

''

M là ảnh của M' qua phép tịnh tiến T v Tìm tọa độ M''

7/ Trong mặt phẳng Oxy, cho v4;1

và đường thẳng  :x 2y  5 0 Gọi  ' là ảnh của  qua phép quay

O,90o

Q ,  '' là ảnh của  ' qua phép tịnh tiến T v Viết phương trình  ''

8/ Trong mặt phẳng Oxy, cho v2;5

và đường tròn   C : x 22 y 12  25 Gọi  C' là ảnh của  C

qua phép tịnh tiến T v , C'' là ảnh của  C' qua phép quay

O,90o

Q Viết phương trình C''

9/ Cho đường tròn C I R , , trên  C lấy hai điểm cố định B và C, một điểm A thay đổi trên  C Họi H

là trực tâm ABC, B’ là điểm đối xứng với B qua tâm I

a/ CMR AH  B C'

b/ Tìm tập hợp điểm H khi A thay đổi

10/ Cho đường tròn C I R ,  và điểm A nằm ngoài đường tròn  C Điểm B thay đổi trên đường tròn  C Dựng ABC đều Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi

 

Ký hiệu : T v

2.Các tính chất của phép tịnh tiến :

a/ Tính chất 1:

*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’

b/ Tính chất 2:

* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự của ba điểm đó

HỆ QUẢ :

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó

3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc

tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A )

- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc

tơ cố định

- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích

Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Giải

- Kẻ đường kính BB’ Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định  AH  B C'

Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v B C '

- Cách xác định đường tròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C Sau đó dựng véc

Ví dụ 3 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM '  AB

b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB

c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?

Giải

- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt

QA tại trực tâm H OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : MH  2OA BA

Vậy phép

tịnh tiến theo BA

biến điểm M thành điểm H Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA

- Tương tự đối với tam giác NPQ

- Giới hạn quỹ tích Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B

BÀI TOÁN 2:

TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN

NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )

Cách giải

 Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ )

 Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M M sẽ là điểm duy nhất

 Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi

Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d

Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi

Ví dụ 1 Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng

AM và BN Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất

Giải

- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN U

- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U

Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM

- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB

Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất

Giải

- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau :

- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo C D U QQ '

.Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng

- Các bước thực hiện :

+/ Tìm Q’ sao cho : C D U QQ '

+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N

+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán

BÀI TOÁN 3:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO u a b; 

KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C )

Cách giải :

 Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )

 Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến

 Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 Đó chính là phương trình của (C’ ) cần tìm

Ví dụ Trong mặt phẳng (Oxy) cho u  1; 2  

a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :

+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ?

+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0

b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : 2 2

a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng Theo công

Thay x,y vào phương trình các đường ta có :

- Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0

- Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0

điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN OA

Bài 2 ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)

Bài 3 ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )

Gợi ý Bài 1 Vì : MN OAT OA :M N

 

Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) Từ đó suy ra cách tìm :

- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N

- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M

- Khi : 0 sin 0; os 1 '

'

x x a c

- Nếu : F2 :M x y( ; ) M' 2x; y;N x y '; 'N' 2x '; ' y  Khi đó khoảng cách hai điểm là :

 ' 2  ' 2; ' ' 4 ' 2  ' 2

MN  x x  y y M N  xx  y y

- Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình

là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng Bài 3

a/ Bài 2- trang 7

- Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành )

- A’ sẽ trùng với G Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG

- Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : AG AD D

phải trùng với G b/ Bài 3-trang 7

'

3 1 2 ' ' 2;7

* Cho đường thẳng d Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : '

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

- Vẽ hình Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ Nối CH’

- Chứng minh IH=IH’ Thật vậy

Ta có :   A BCH' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)

- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C

* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC

- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H

- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )

- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có trực tâm H

a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau

b/ Gọi O O O1, 2, 3 là tâm các đường tròn nói trên Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm

1 , 2 , 3

O O O bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 O1

chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC Cho nên bán kính của chúng bằng nhau Tương

tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O)

b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O O O1 , 2 , 3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB

Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác O O O1 2 3

BÀI TOÁN 2 TÌM ĐIỂM

CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), MA MB ĐẠT GIÁ

TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d )

Cách giải :

 Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

 Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M Là điểm cần tìm

 Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất

Ví dụ 1 (Bài 9-tr13- HH11NC)

Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Giải

- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox

- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm

Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA

=CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) )

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M M chính là điểm cần tìm

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1) Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’BA B' Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng Nghĩa là M trùng với M’

Ví dụ 3 Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ) Tìm điểm M trên d sao cho

MA MB đạt GTLN

Giải

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M M chính là điểm cần tìm

- Thật vậy : MA MB  MA' MB A B' Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó :

' ' ' ' ' '

M A M B  M AM B A B Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’

Ví dụ 4 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d

a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’

b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài

Giải

Vẽ hình :

a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán

- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’)

 Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d

 Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) Khi đó d’ cắt d tại M Chính là điểm cần tìm

 Tương tự áp dụng cho (O’;R’)

- Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d

BÀI TOÁN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với

điểm A qua đường thẳng d ?

LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d

CÁCH GIẢI

 Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B

 Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d

 Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d

- Trên d’ lấy điểm M (3;3) Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d Gọi H là trungđiểm của

- Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2)

- Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’

(*) Với H là trung điểm của MN , U

là véc tơ chỉ phương của d’ Ta

Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2

- Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , U  1; 2

là véc tơ chỉ phương của đường

thẳng d Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện :  