ĐỀ THI THỬ ĐẠI HOC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A, B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC NINH TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI 2

www.MATHVN.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC NINH

TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI 2

www.MATHVN.com

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HOC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A, B

Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH ( 7,0 điểm)

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số: y=x3−3x+2 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị ( C) tại ba điểm phân biệt A( 2; 4), B, C sao cho gốc tọa độ O nằm trên đường tròn đường kính BC

Câu II ( 2 điểm)

1 Giải phương trình

4

4

(2 sin 2 )(2 cos cos )

2 sin

x

x

2 Giải phương trình x+4 x(1−x)2 +4 (1−x)3 = 1− +x 4 x3 +4 x2(1−x) (x∈R).

Câu III ( 1 điểm) Tính tích phân

1

(2 1) ln 3

e

x x

=

+

∫

Câu IV ( 1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với

mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là

một điểm trên cạnh AB sao cho BQ =

4

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng

(MAC)⊥(NPQ)

Câu V ( 1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:

3

PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a ( 2 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành OABC có diện tích bằng 4 Biết A (-1; 2) và giao điểm I

của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x - 1 Tìm tọa độ đỉnh B và C

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x− +y 2z− =1 0 và các đường thẳng

:

d − −

− ,

:

x y z

d − = = +

Tìm các điểm A trên d và B trên 1 d sao cho AB song 2

song với mặt phẳng (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1

Câu VII.a ( 1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 1 2 2 2

x

+

= + , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3 + 2 =

n n

A 2C 16n

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI b ( 2 điểm )

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1 ; 2) và đường thẳng d: 4x – 3y – 23 = 0 Hai điểm B và C di động

trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5 Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông ABCD với A(1; 2; 0); C(2; 3; -4) và đỉnh B nằm trên

mặt phẳng (Q): x+2y+z−3=0 Tìm toạ độ của đỉnh D

Câu VII.b ( 1 điểm)

Tìm a và n nguyên dương thỏa :

n n

n

+

3 20

n

A = n

www.MATHVN.com

Họ tên thí sinh :……….Số báo danh:………

www.MATHVN.com

4

2

-2

f x ( ) =
x 3 -3ìx  +2

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM

a TXĐ: D = R

b Sự biến thiên: 2

y = x ư , ' 0 1

1

x y

x

=



= ⇔

= ư



Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ư∞ ư ; 1 ) và ( 1; +∞ )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ư 1;1 )

0,25

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y CT = 0

+ Hàm số đạt cực đại tại x = -1; y CĐ = y (-1) = 4

Giới hạn:

→+∞ = +∞

lim

→ư∞ = ư∞

lim

0,25

Bảng biến thiên:

x -∞ -1 1 +∞

y'

+ 0 - 0 +

y

4

-∞ 0

+∞

0,25

3 Đồ thị:

+ Giao với trục Oy (0; 1)

+ Giao với trục Ox (1; 0), (-2; 0)

0,25

2 ( 1 điểm)

Phương trình đường thẳng d qua điểm A(2;4)có hệ số góc k là: y=k x 2( ư +) 4

Hoàng độ giao điểm của của đường thẳng d và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình:

3 ( ) ( ) ( 2 )

x ư + =3x 2 k x 2ư + ⇔ ư4 x 2 x +2x 1 k+ ư =0

0,25

2

x 2 0

x 2x 1 k 0 (2)

ư =



⇔

+ + ư =



Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm

> >

0,25

Khi đó tọa độ B(x 1 ;y 1 ); C(x 2 ;y 2 ) với 1 2

1 2

2 1

+ = ư





= ư

 , y1 =k x( 1ư +2) 4, y2 =k x( 2ư +2) 4

Điểm O nằm trên đường tròn đường kính BC khi và chỉ khi OB OC





 = 0

0,25

 k3ư9k2+25kư17= ⇔ =0 k 1 ( thỏa món )

Vậy d : y = x+2

0,25

1.(1,0 điểm)

II

1) ĐK: x≠kπ,k∈ℤ

Với ĐK trờn phương trỡnh đó cho tương đương

0,25

www.MATHVN.com

với:

1

2

2

1

2

0,25



1 cos

2

x

x

=







2 2

3

π

π

π





⇔



0,25

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2

2 , 3

2 1 điểm

+) điều kiện 0≤ ≤x 1

Đặt

4

4 4 4

1

+ =





0,25

+) Phương trình trở thành a2+ab2+ = + +b3 b2 a3 a b2 ⇔ −(a b a b a b)( + )( + − =1) 0

0 ( ì )

1

a b

=







0,25

+) Với a = b  4 4 1

2

+) Với a+b= 1 ta có hệ

2

1 1

1

0

2

2

a b

a b

a b

ab

ab

ab

+ =

+ =

+ =

=





0 ( ) 1

x

tm x

=



⇔

=



Vậy phương trình có 3 nghiệm x= 0, x= 1, 1

2

x=

0,25

Câu III

1 điểm

0,25

+)

2

0,25

+)

1

1

1

e

e

www.MATHVN.com

K M

I

N

C A

B

B'

2

1

e x

x x

+

=

+

∫ §Ætt=xlnx+1⇒dt=lnx+1, §æi cËn x= 1 => t = e; x= e => t = e+1 0,25

+)

1 2 1

1

1

e

e dt

t

1 2 ln(1 ) 2( 1)

I = + =I I + +e e−

0,25

Gọi I là trung điểm A’B’ thì ' ' '

' AA '

C I A B

C I



suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính là góc C BI'

Suy ra C BI' =600

2

a

C I =BI C BI =

0,25

Có

2 ' ' '

A B C

a

3 ' ' ' ' ' '

ABC A B C A B C

a

0,25

+) / / '

( ) / /( ' ) / / '

PQ C I



⇒



0,25

+)

ABM BB I c g c suy ra AMB BIB suy ra AMB B BI

Mặt khác theo chứng minh trên C’I ⊥AM nên AM ⊥ ( 'C BI)

Suy ra (AMC) ⊥ ( 'C BI) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MAC)⊥(NPQ)

0,25

.Do ab + bc + ca = 3 nên

VT (***) =

b ab bc ca+c ab bc ca+a ab bc ca

=

( )( ) ( )( ) ( )( )

0,25

Theo BĐT Cô si ta có 3 3

a b c a b a

b c c a

3

− −

+ + (1)

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:

( )( ) 8

c a a b

− −

≥ + + (2)

( )( ) 8

a b c a

≥ + + (3)

0,25

www.MATHVN.com

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được (***)

4

a b c

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được : a + b + c ≥ 3( ab bc + + ca )= 3

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (Đpcm)

0,25

Câu VI

a

1 1 điểm

Ta có phương trình đường thẳng OA: 2x+y=0 gọi h là khoảng cách từ I tới AB OA= 5

0,25

Gọi toạ độ diểm I là I x y ( 0, 0) ta có hệ

0 0

0 0





0,25

Do I là trung điểm OB và AC nên

+) Với I(1;0) suy ra B(2;0) và C(3;-2)

0,25

+) Với I( 1

; 3

− 4 3

−

) suy ra 2 8

;

B− − 

  và C

1 14

;

−

Vậy có hai cặp B, C thoả mãn B(2;0) và C(3;-2) hoặc 2 8

;

B− − 

  và C

1 14

;

−

0,25

2 1 điểm

vectơ pháp tuyến của (P) là n(2; 1; 2)−

A∈d ⇒A t+ t+ − t B∈d2 ⇒B k(3 +5, 4 , 2k k−5)

AB= k− +t k− −t k+ −t



0,25

p 0

AB n = ⇔





6k+ + =t 1 0

0,25

( /( ) )

A P

AB P ⇒d + − − − − +

1

t t

= −



⇔

=



0,25

t= − ⇒k= ⇒A − − B − 

t= ⇒k =− ⇒ A − B − − 

  Vậy …………

0,25

Câu

VIIa

1 điểm

I

A

B

www.MATHVN.com

d d'

C H A'

B

+) ⇔ n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n ⇔ n2 – 2n – 15 = 0 ⇔  =

= −



n 5

n 3 (loại) Vậy n = 5 0,25

+) Với n= 5 ta cĩ

12

12 0

1

k

x

− +

=

+)Theo bài ra ta cĩ -12+3k = 0  k = 4

Vậy số hạng khơng chứa x trong khai triển là C12434 =40095 0,25 Câu VI

b

1 1 điểm

Gọi d’ là đường thẳng qua A và // d => d’ cĩ pt: 4x – 3y + 2 = 0

Gọi D(x ; y) trên d’ sao cho AD = 5

D x x+ ⇒


AD= −x x− AD= ⇒D D

0,25

Ta cĩ chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = AB + BC + 5

=> chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất

Xét tứ giác ABCD Dễ cĩ ABCD là hình bình hành => AB + AC = AC + CD

Gọi A’ đối xứng với A qua d => AC = A’C => AC + CD = A’C + CD

 AB + AC nhỏ nhất khi và chỉ khi A’C + CD nhỏ nhất, hay 3 điểm A’, C, D thẳng hàng

0,25

Do A’ đối xứng với A qua d nên tìm được

AA’: 3x + 4y – 11 = 0 ta cĩ H = AA ' ∩ d ⇒ H (5; 1) − ⇒ ’ 9; –4 A ( )

=> A’D: 2x + y – 14 = 0 ta cĩ 13

2

0,25

( ; 3) 2

Dễ thấy khi A’, C, D thẳng hàng thì A’, B, D’ cũng thẳng hàng

Vậy hai điểm cần tìm là: 7

( ; 3)

0,25

2 1 điểm

+) Gọi I là trung điểm của AC => 3 5

( ; ; 2)

2 2

Gọi B( a; b; c) =>


AB a( −1;b−2; ),c CB a


( −2;b−3;c+4)

Ta cĩ B∈( )Q ⇒a+2b c+ − =3 0 (1)

0,25

+) Vì ABCD là hình vuơng ta cĩ 4 12 (2)

⇔

0,25

+) Từ (1) và (2) ta cĩ 21 9

9 5

= +





= − −

 thay vào (3) ta được

2

2

107

c

c

= −





=



Với c = - 2 => B( 3; 1;-2) do I trung điểm BD nên D( 0; 4; -2)

0,25

www.MATHVN.com

+) Với 256

107

c= −

=> 57 317 256

107 107 107

do I trung điểm BD nên 378 218 172

107 107 207

Vậy có 2 điểm thỏa mãn D( 0; 4; -2), 378 218 172

107 107 207

0,25

1 điểm Câu

Đk : n≥3 àv n∈N

n

A = n⇔n n− n− = n⇔n − − =n ⇔ n = 6 và n = – 3 ( loại )

0,25

Khi đó:

127

Ta có : (1+x)6 =C60 +C x C x61 + 62 2+C x63 3+C x64 4+C x65 5+C x66 6 Lấy tích phân hai vế

(1 )

0,25

[ ]

(1 )

a

0,25 VIIb

a

+ − = ⇒ + = ⇒ + = ⇔ a=1

Vậy n = 6, a = 1

0,25