f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B B.. f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B C.. f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiể
Trang 1Ôn Giải tích (Các bài toán kinh tế)
1, 2 1 1 2 2 2
Khi đó, chi phí biên theo Q tại 1 Q Q1, 210,20 là
Câu 2: Cho hàm sản lượng
1 1
2 4 , 6
Q L K L K với L là lượng lao động, K là lượng tiền vốn Khi đó, sản
lượng biện theo vốn tại L K, 100,10000 là
A 3
1
Câu 3: Cho hàm
1 1
9 4 , 3
Q L K L K Khi đó, độ co dãn của Q theo L tại L K; 5;20000 là
A 1
1
1
1 36
Câu 4: Cho hàm cung của một loại hàng 0,5
S
Q P P P: đơn giá Khi đó, độ co dãn của Q S tại
5
S
A 2
5
1
Câu 5: Cho hàm nhu cầu của một loại hàng là Q P D( )1002P0,5,P: đơn giá Khi đó, độ co dãn của Q D
tại P 10 là
8
Câu 6: Cho Độ co giãn của Q theo L tại L4 là
A
1/2
2
L
B
1/2
2
L
C 1/2 D Cả ba câu trên đều sai Câu 7: Cho hảm nhu cầu của một loại hàng là Q P D( )1002 ,P P : đơn giá Khi đó, tại P 10
A Nếu giá tăng 1% thì hàm cầu tăng 4% B Nếu giá giảm 2% thì hàm cầu tăng 4 %
C Nếu giá giảm 4% thì hàm cầu tăng 2% D Nếu giá tăng 4% thì hàm cầu giảm 1%
Câu 8: Cho hàm nhu cầu của một loại hàng A phụ thuộc vào giá của loại hàng A và B là P P1, 2 như sau:
A
D
A Nếu P1 thay đổi 11%, P2 cố định thì
A
D
Q tăng 25% B Nếu P1 tăng 11%, P2 cố định thì
A
D
Q giảm 25%
C Nếu P1 giảm 25%, P2 cố định thì
A
D
Q tăng 11% D Nếu P1 tăng 25%, P2 cố định thì
A
D
Q giảm 11%
Câu 9: Cho hàm cung của một loại hàng A phụ thuộc vào giá của loại hàng A và B là P P1, 2 như sau:
A
S
A Nếu P1 thay đổi 3%, P2 cố định thì
A
S
Q tăng 1% B Nếu P1 tăng 6%, P2 cố định thì
A
S
Q tăng 2%
C Nếu Q giảm 6%, S A P2 cố định thì P1 tăng 2% D Nếu Q tăng 6%, S A P2 cố định thì P2 giảm 2%
Câu 10: Hàm số f(x,y) = – 2x2 – 2y3 + 12xy có hai điểm dừng là A(0,0) và B(18,6) Chọn kết luận đúng
A f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
B f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
C f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
D f đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
Câu 11: Câu 13: Cho hàm chi phí C x y , 6x18y với x y, là sản lượng của loại hàng 1 và 2 C x y( , ) nhỏ nhất tại x y với điều kiện o, o 3xy 10 thì
A x o 3y o B x y o o 3 C y o 3x o D Cả 3 câu trên dều sai
Trang 2Câu 12: Cho hàm lợi ích của hai loại sản phẩm A và B là U x y với , x y là lượng sản phẩm của A và B Biết , đơn giá của sản phẩm A vả B lần lượt là 5, 10 (đvt) và người tiêu dùng sử dụng hết 2000 (đvt) để mua hai loại sản phẩm nầy Để lợi ích đạt lớn nhất thì
A U x 2U y B U y 2U x C U U x y 2 D U x 4U y
Câu 13: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và đơn giá của sản phẩm 1 và 2 lần lượt là 400 , 500 Biết hàm
1, 2 1 1 2 2
C Q Q Q Q Q Q với Q Q lần lượt là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Để lợi nhuận của 1, 2
xí nghiệp đạt lớn nhất thì
A 1
2
150
100
Q
1 2
200 100
Q
1 2
100 200
Q
1 2
100 150
Q Q
Câu 14: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thỉ trường tách biệt Biết
hàm nhu cầu của sản phẩm nầy trên thị trường 1 và 2 lần lượt là
1( )1 300 1
D
2( )2 400 2
D
1, 2
P P là giá bán trên thị trường một và hai Hàm tổng chi phí C Q 100Q 10 với Q là sản lượng Khi đó, để
xí nghiệp có lợi nhuận tối đa thì lượng hàng phân phối trên thị trường 1 và 2 là Q Q1, 2 sẽ là
A 1
2
150
100
Q
1 2
100 150
Q
1 2
100 200
Q
1 2
200 100
Q Q
Câu 15: Cho hàm lợi nhuận
1 1
3 3
lợi nhuận lớn nhất thì
A
10
100
L
100 1000
L
100 10000
L
200 10000
L K
Câu 16: Gọi C1 và C2 lần lượt là số tiền tiêu dùng tại cuối thời kỳ thứ nhất và thứ hai Giả sử tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ nhất là I 1000 (đơn vị tiền); lãi suất tại cuối thời kỳ thứ nhất là r 0, 01 Tìm C C sao 1, 2 cho hàm lợi ích U C C1 2 đạt cực đại toàn cục thỏa điều kiện 1 2
1
C
r , với I và r đã cho ở trên
A C1 = 500, C2 = 505 B C1 = 505, C2 = 500 C C1 = 1000, C2 = 1020 D C1 = 1020, C2 = 1000
Câu 17: Cho hàm lợi ích U x y , (x 1)(y2) 2 với x y là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Biết đơn giá , của sản phẩm 1 vả 2 lần lượt là 2, 1 (đvt) và người tiêu dùng sử dụng hết 80 (đvt) để mua hai loại sản phẩm nầy
Để lợi ích đạt lớn nhất thì
A
10
20
x
20 10
x
30 20
x
20 40
x y
Câu 18: Cho hàm chi phí C L K( , ) L 0, 01K và hàm sản xuất Q L K , LK Trong đó, L là lượng lao động, K là lượng vốn Để chi phí nhỏ nhất khi xí nghiệp làm ra 1000 đơn vị sản phẩm thì
A L100K B K 100L C L10K D K 10L
Câu 19: Cho hàm f(x,y) = x.y và hàm g(x,y) = x3 + y3 2 Chọn phát biểu đúng
A Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 2 điểm dừng
B Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 3 điểm dừng
C Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 4 điểm dừng
D Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 1 điểm dừng
Câu 20: Cho f x y( , )x4 9y42x22y2 (x 0,y 0) thì
A f không có điểm dừng B f có điểm dừng nhưng không đạt cực trị
C f đạt cực tiểu D f đạt cực đại
Trang 3Câu 21: Cho hàm lợi ích U(x, y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên R Giả sử ta có điều kiện :
2x + 3y = T (1) với P1, P2 và T là các hằng số dương cho trước Điều kiện cần để U đạt cực đại tại (x, y) là
A 2U x 3U y B 3U x 2U y C 6U U x y D Các câu trên đều sai
Bài 22 Một xí nghiệp sử dụng hai loại nguyên liệu đầu vào A và B để sản xuất một loại hàng hóa Giả sử sản
lượng Q phụ thuộc vào lượng nguyên liệu đầu vào x của A và y của B bởi hệ thức Q(x, y) = 2xy + x2 Chi phí mua nguyên liệu là C(x,y) = 30x + 10y Nếu (x0, y0) là mức nguyên liệu để sản xuất 3000 đơn vị sản phẩm với C(x,y) thấp nhất thì ta có
A x0y0 = 400 B y0/x0 = 2 C x0/y0 = 2 D Các câu trên đều sai
Bài 23 Một loại sản phẩm được tạo ra từ 2 loại nguyên liệu A và B Giá thành của 2 loại nguyên liệu này là
130, P2 20
P Sản lượng của xí nghiệp được cho bởi hàm :
0.3 lnx 0.6 lnx
Q
với x y, là lượng nguyên liệu A và B Chi phí để mua nguyên liệu là I 9000 Đặt:
1
Q MP
Q MP
y
Khi sản lượng của loại sản phẩm này đạt cực đại thì :
A MP1 MP2 0 B MP10.002 ; MP2 0.003
Bài 24 Một xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm và bán trên thị trường với giá P1 170,P2 160 Hàm chi phí của xí nghiệp là :
1 1 2 2
Khi lợi nhuận của xí nghiệp đạt cực đại thì :
A
1
17
16
e CQ B
1
100 91
2
80 91
e CQ D
2
17 16
e CQ Trong đó,
1
e CQ và
2
e CQ là độ co giãn của chi phí theo sản lượng đối với 2 loại sản phẩm
Tự luận
Câu 25: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và đơn giá của sản phẩm 1 và 2 lần lượt là 400 , 500 Biết hàm
1, 2 1 1 2 2
C Q Q Q Q Q Q với Q Q lần lượt là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Tìm mức sản 1, 2 lượng của hai loại sản phẩm để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa
Câu 26: Cho hàm lợi ích đối với hai loại sản phẩm U x y( , )lnxlny, trong đó x y lần lượt là lượng hàng , thứ nhất và thứ hai Tìm x y để U lớn nhất với điều kiện , 5x2y 200
Câu 27: Gọi C1 và C2 lần lượt là số tiền tiêu dùng tại cuối thời kỳ thứ nhất và thứ hai Giả sử tổng thu nhập tại cuối thời kỳ thứ nhất là I 2000 (đơn vị tiền); lãi suất tại cuối thời kỳ thứ nhất là r 0, 02 Tìm C C sao 1, 2 cho hàm lợi ích U C C1 2 đạt cực đại toàn cục thỏa điều kiện 1 2
1
C
r , với I và r đã cho ở trên
Câu 28: Cho hàm lợi nhuận
1 1
3 3
Tìm L , K để lợi nhuận lớn nhất
Câu 29: Cho hàm chi phí C L K( , )400L0, 01K và hàm sản xuất Q L K , L K Trong đó, L là lượng lao 12 12
động, K là lượng vốn Tìm L K để chi phí nhỏ nhất khi xí nghiệp làm ra 1000 đơn vị sản phẩm ,
Câu 30 : Cho hàm lợi nhuận p PQ C tQ, trong đó Q là sản lượng và
- Đơn giá P = 3000 - Q
- Chi phí C = Q2 + 1200Q + 100
- t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm
Giả sử p lớn nhất tại Q(t) Định t để T = t.Q(t) đạt giá trị lớn nhất
Trang 4
-1) Cực trị không điều kiện :
Cách tìm cực trị của z f x y( , )
Bước 1: Tìm điểm dừng (điều kiện cần)
0
0
x
o o o y
f
Bước 2: Lập ma trận Hesse (điều kiện đủ)
xx xy
yx yy
H
f f Đặt H1 f xx và H2 H
Nếu 1
2
( ) 0 ( ) 0
o o
H x
H x f đạt cực đại tại x o
Nếu 1
2
( ) 0 ( ) 0
o o
H x
H x f đạt cực tiểu tại x o
Nếu H x2( )o 0 f không đạt cực trị tại x o
2) Cực trị có điều kiện :
Cách tìm cực trị của z f x y( , ) với điều kiện g x y( , )0
Bước 1: Lập hàm Lagrange
( , , )l ( , )l ( , )
L x y f x y g x y
Bước 2: Tìm điểm dừng (điều kiện cần)
0
0
l
l
x
L
L
: điểm dừng (không duy nhất)
Bước 2: Lập ma trận Hesse biên (bao) (điều kiện đủ)
l l
l l ll
xx xy x
yx yy y
x y
Đặt 1 l
l ll
xx x x
H
Nếu 1
2
( ) 0 ( ) 0
o o
H M
H M f đạt cực đại tại ( , )x y o o
Nếu 1
2
( ) 0 ( ) 0
o o
H M
H M f đạt cực tiểu tại ( , )x y o o