Đối ngấu trong một số không gian hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Trương Thị Ngọc Mai ĐỐI NGẪU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã sinh viên: 145D1402090089 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trương Thị Ngọc Mai

ĐỐI NGẪU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trương Thị Ngọc Mai

ĐỐI NGẪU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã sinh viên: 145D1402090089

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - Năm 2018

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, với sự cố

gắng của bản thân cũng như sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của

các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận

này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô công tác tại Khoa

Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực

tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên

môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu trong thời gian vừa qua

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, tiến

sĩ Bùi Kiên Cường, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cũng như

cung cấp cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành khóa

luận này

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Trương Thị Ngọc Mai

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Kiên

Cường khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề

tài nào khác

Trong khi thực hiện đề tài em đã sử dụng và tham khảo các

thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018

Sinh Viên

Trương Thị Ngọc Mai

MỞ ĐẦU 1

1.1 Không gian tích vô hướng 3

1.2 Không gian Hilbert 5

1.2.1 Một số ví dụ 6

1.3 Phiếm hàm tuyến tính trong không gian Hilbert 6

1.4 Đối ngẫu của không gian Hilbert 11

2.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 13

2.1.1 Không gian định chuẩn 13

2.1.2 Không gian Banach 14

2.2 Phiếm hàm tuyến tính trong không gian định chuẩn 14

2.3 Không gian đối ngẫu 15

2.3.1 Không gian đối ngẫu thứ hai 18

2.4 Định lý Hahn-Banach 19

2.4.1 Định lý Hahn-Banach trong thực và phức 19

2.5 Đối ngẫu của một số không gian Banach 26

2.5.1 Đối ngẫu trong Rn 26

2.5.2 Đối ngẫu trong `p(1 ≤ p < ∞) 272.5.3 Không gian đối ngẫu của Lp (1 ≤ p < ∞) 312.5.4 Đối ngẫu của C [a, b] 33

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Cho X là một không gian định chuẩn Không gian đối ngẫu của

X, ký hiệu X∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tụctrên X Với các phép toán cộng các phiếm hàm và nhân phiếm hàm

với một vô hướng X∗ là một không gian vectơ Hơn nữa, với mỗi phần

Mối liên hệ giữa X và X∗ không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X

là không gian định chuẩn có số chiều hữu hạn hoặc X là không gian

Hilbert Để nghiên cứu sâu thêm về không gian đối ngẫu trong các lớp

không gian hàm khác nhau, cùng với niềm say mê của bản thân và

được sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Kiên Cường, em đã thực hiện

khóa luận tốt nghiệp với đề tài:

“Đối ngẫu trong một số không gian hàm ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về đối ngẫu trong không gian Hilbert và một số

không gian Banach

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phương pháp giải tích hàm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối ngẫu trong không gian Hilbert tổng quát và trong một số

không gian Banach cụ thể

5 Cấu trúc khóa luận

Bài khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 : Đối ngẫu trong không gian Hilbert

Chương 2 : Đối ngẫu trong không gian Banach

Do mới được làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên những

vấn đề được trình bày trong bản khóa luận này không tránh khỏi

những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng

góp của các thầy cô và bạn đọc, để đề tài được hoàn thiện hơn

Đối ngẫu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1 Cho không gian véc tơ X trên trường P (P là trường

số thực R hoặc trường số phức C) Tích vô hướng trên X là một ánh

xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, kí hiệu (·, ·) thỏa mãn cáctiên đề:

Số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x và y Không gian

X cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi là một không gian tích

vô hướng hay không gian tiền Hilbert

Ví dụ 1.1.1 Cho Rk là không gian véc tơ thực k chiều ∀x, y ∈ Rk :

Vậy tiên đề 2 được thỏa mãn.

Vậy tiên đề 3 được thoản mãn

∀x = (x1, x2, xk) ∈ Rk, ta có:

(x, x) = (x1, x2, , xk) , (x1, x2, , xk)

Suy ra (x, x) =

q

Pk j=1x2j ≥ 0 ⇒ (x, x) ≥ 0 nếu x 6= θ

Ta có (x, x) = Pk

j=1x2j ⇒ x2

j = 0 ⇔ xj = 0 ⇔ x = θ

Vậy tiên đề 4 được thỏa mãn

Vậy Rk cùng với hệ thức (1.1) là một tích vô hướng

Công thức kx| = p(x, x) là một chuẩn trên không gian tiền Hilbert

Ta gọi chuẩn này là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

Định nghĩa 1.2 Một không gian tiền Hilbert H được gọi là một không

gian Hilbert, nếu với chuẩn sinh bởi tích vô hướng, H làm thành một

không gian Banach

Ta gọi là không gian con của không gian Hilbert, mọi không gian

tuyến tính con đóng của nó

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian

Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

với mọi x, y ∈ L2(E, µ).

Định lý 1.1 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không

gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

nhờ các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công

thức:

f (x) = (x, a), x ∈ H

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H

Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H Kí hiệu

H0 = {x ∈ H : f (x) = 0} Ta thấy H0 là không gian tuyến tính concủa không gian H, vì ∀x, y ∈ H0, ∀a, b ∈ P ta có:

f (ax + by) = af (x) + bf (y) = 0 ⇒ ax + by ∈ H0

Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H Thật vậy nếu dãy điểm(xn) ⊂ H0 hội tụ tới x ∈ H, nhờ tính liên tục của phiếm hàm f ta có

f (x) = lim

n→∞f (xn) = 0 ⇒ x ∈ H0

Do đó H0 là một không gian con của không gian H

Nếu H = H0 thì chọn phần tử a = θ, ta nhận được biểu diễn (1.2)

|f (a)| = |(a, a)| = kak kak ⇒ kf k ≥ kak

vì vậy kf k = kak Vậy định lí được chứng minh

Áp dụng định lí Riesz vào không gian Lp[a, b] ta được định lísau:

Định lý 1.2 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian

Lp[a, b] (p > 1) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f (x) =

Z b a

x(t)y(t)dt, x(t) ∈ Lp[a, b] (1.4)

trong đó hàm só y(t) ∈ Lq[a, b], (1p + 1q = 1) được xác định duy nhấtbởi phiếm hàm f và

Chứng minh Ta xét p = 2, ∀x(t), y(t) ∈ L2[a, b] ta đặt

(x, y) =

Z b a

Dễ dàng kiểm tra công thức (1.6) xác định một tích vô hướng trên

không gian L2[a, b], mặt khác ta lại có

kxk = p(x, x) =

s

Z b a

|x(t)|2dt

do đó chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trùng với chuẩn xuất phát, nên

không gian L2[a, b] cùng với tích vô hướng (1.6) là một không gianHilbert Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên

không gian Lp[a, b] (p > 1)

Ta xét trường hợp 1 < p < 2 Ta có L2[a, b] ⊂ Lp[a, b], có thể xem

Lp[a, b] là không gian con đóng của Lp[a, b], khi đó có thể coi f tácdụng lên L2[a, b]

Theo định lí Riesz, tồn tại duy nhất một hàm số y(t) ∈ L2[a, b] saocho

f (x) =

Z b a

x(t)y(t)dt, x(t) ∈ L2[a, b] (1.7)Giả sử hàm số y(t) không tương đương với 0 trên đoạn [a, b] Đặt

yn(t) =

(y(t) nếu |y(t)| ≤ n

n sign y(t) nếu |y(t)| > n, n = 1, 2,

Hiển nhiên các hàm số yn(t)(n = 1, 2, ) đo được, bị chặn và |yn(t)| ≤

|y(t)| , (∀t ∈ [a, b]), nên yn(t) ∈ Lq[a, b] ,1p + 1q = 1, p > 1 Ta đặt

|xn(t)|pdt



1 p

=

Z b a

|yn(t)|qdt



1 p

đồng thời ta có

f (xn) =

Z b a

xn(t)y(t)dt =

Z b a

|yn(t)|q−1|y(t)| dt ≥

Z b a

|yn(t)|qdtMặt khác

f (xn) ≤ kf k kxnkp ⇒

Z b a

|yn(t)|qdt ≤ kf k

Z b a

|yn(t)|qdt



1 p

|yn(t)|qdt



1 q

Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức (1.10) khi n → ∞ ta được :

Z b a

|y(t)|qdt



1 q

≤ kf k ⇒ y(t) ∈ Lq[a, b]

Ta lập phiếm hàm

g(x) =

Z b a

x(t)y(t)dt, x(t) ∈ Lp[a, b] (1.11)

Hệ thức (1.11) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

Lp[a, b] và kgk = kykq Hiển nhiên g(x) = f (x), (∀x(t) ∈ L2[a, b])

Vì không gian C[a,b] trù mật khắp nơi trong không gian Lp[a, b] đặcbiệt không gian C[a,b] trù mật khắp nơi trong không gian L2[a, b] nên g

là thác triển liên tục duy nhất của phiếm hàm f từ không gian L2[a, b]trên toàn không gian Lp[a, b] và theo định lí Hahn-Banach

Trường hợp p > 2 được chứng minh hoàn toàn tương tự như trên

Vậy định lí được chứng minh

Một phiếm hàm tuyến tính đặc biệt trong H là f (x) = (x, y)

với y ∈ H Từ định lí Cauchy-Schwarz, |f (x)| ≤ kxk kyk

Lấy x = y ta thấy rằng kf k = kyk Ngược lại,ta có định lí sau

Định lý 1.3 (Riesz-Fréchet) Nếu f ∈ H∗, có duy nhất y ∈ H saocho f (x) = (x, y), ∀x ∈ H và kf k = kyk.

Chứng minh Nếu f = 0, định lí là tầm thường Giả sử f 6= 0, tập

N ={x ∈ H : f (x) = 0} là đóng và không bằng H Từ H = N L N⊥,lấy một z ∈ N⊥− {0} hạn chế nó sao cho f (z) = 1 Chúng ta sẽ chỉ

Đối ngẫu trong không gian định chuẩn

2.1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 2.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính E trên trường P (P = Rhoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ E vào tập số thực R kí hiệu làk·k đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

2.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 2.2 Không gian Banach được định nghĩa là không gian

vecto định chuẩn đầy đủ, nghĩa là một không gian Banach là một không

gian vecto V trên trường số thực hay số phức với một chuẩn k.k sao

cho mọi dãy Cauchy có giới hạn trong V

Mệnh đề 2.1 Nếu M là một không gian con đóng của một không gian

Banach X, thì không gian thương X/M là một không gian Banach

Định nghĩa 2.4 Một phiếm hàm tuyến tính f trong không gian định

chuẩn V là bị chặn nếu có một số M > 0 sao cho |f (x)| ≤ M kxk,

với ∀x ∈ V Hằng số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được

gọi là chuẩn của f , ký hiệu kf k

Định lý 2.1 Cho f là một phiếm hàm tuyến tính trong không gian

định chuẩn V Các mệnh đề sau là tương đương:

(1) f liên tục

(2) f liên tục tại 0

(3) f bị chặn

Ví dụ 2.2.2 Trong l0 (không gian của các dãy hữu hạn) với chuẩn

là tổng các giá trị tuyệt đối các thành phần của nó, ta xác định phiếm

hàm cho bởi x = (x1, , xn, 0, 0, ) ∈ l0, f (x) = Pn

k=1kxk Phiếm hàmtuyến tính đó là bị chặn

Định nghĩa 2.5 Nếu E là một không gian định chuẩn trên trường

K, không gian đối ngẫu của E là

E∗ = B(E, K) = T : E −→ K : T liên tục và tuyến tính

Mệnh đề 2.2 Nếu E là không gian định chuẩn, thì E∗ là không gianBanach

Chứng minh Mệnh đề trên được chứng minh từ một kết quả tổng

quát hơn sau (do lấy F = K)

Định lý 2.2 Cho E là một không gian định chuẩn và F là một không

gian Banach Cho B(E, F ) là kí hiệu của không gian tất cả các toán

tử tuyến tính bị chặn T : E −→ F Chúng ta có thể lập B(E, F ) là

một không gian vecto với quy tắc T + S và λT (T, S ∈ B(E, F ), λ ∈ K)như sau:

(T + S)(x) = t(x) + S(x), (λT )(x) = λ(t(x)) với x ∈ E

khi đó toán tử định chuẩn là một chuẩn trên B(E, F ) và lập nó thành

không gian Banach

Chứng minh B(E, F ) là một không gian vecto và toán tử "định chuẩn"

hiển nhiên là chuẩn trên không gian đó Điểm chính cho thấy rằng đây

là một không gian đầy đủ

Lấy một dãy Cauchy {Tn}∞n=1 trong (B(E, F ), k·kop) Với mỗi

x ∈ E không đổi, {Tn(x)}∞n=1 là dãy Cauchy trong F bởi

kTn(x) − Tm(x)kF ≤ kTn − TmkopkxkE

là đúng nếu n và m đều lớn Vì F là không gian đủ, nên điều đó tồn

tại trong F (với mỗi x ∈ E) Nó cho phép chúng ta xác định một ánh

Theo điều kiện Cauchy, ta thấy rằng có thể tìm được N sao cho

kTn− Tmkop < 1 với mọi n, m ≥ N Vì lấy x ∈ E, kxkE ≤ 1 Do đó,

kTN(x)kF + sup

x∈E kxk61

kT (x−)TN(x)kF

≤ kTN(x)kop+ 1

Ta thấy vì T bị chặn nên T ∈ B(E, F )

Ta lặp lại vài bước cuối cùng với một số ε > 0 tùy ý mà đã

có 1 trước Theo điều kiện Cauchy ta có thể tìm được N sao cho

kTn− Tmkop < ε với mọi n, m ≥ N Vì lấy x ∈ E, kxkE ≤ 1 Nhưtrên, ta nhận được

kTn(x) − Tm(x)kF = k(Tn− Tm)(x)kF ≤ kTn− TmkF ≤ kTn− Tmkop < ε.với n, m ∈ N, kxk ≤ 1 Cho bất kì n ≥ N và cho m → ∞ ta được

kTn(x) − T (x)kF ≤ ε

Ta có khẳng định trên đúng với mọi x là chuẩn tối đa 1 và mọi n ≥ N

kTn − T k = sup

x∈E,kxk≤1

kT (x − Tn(x))kF ≤ εvới n ≥ N điều đó chứng minh rằng Tn → T trong B(E, F ) là mộtkhông gian Banach Điều đó đã chỉ ra hướng của chứng minh trên là

tương tự với chứng minh (với không gian Topo X)(BC(X), k·k∞) là

đủ

2.3.1 Không gian đối ngẫu thứ hai

Cho x ∈ V , ký hiệu hx, x∗i := x∗(x) (tương tự như một tíchtrong) Ký hiệu này cũng cho phép xác định một hàm f trên V∗ (với

x ∈ V xác định):

f (x∗) = hx, x∗i, x∗ ∈ V∗,

trong đó f là tuyến tính, và |f (x∗)| = |hx, x∗i| ≤ kxk kx∗k, nên

kf k ≤ kxk, và theo Hahn-Banach, có một x∗ ∈ V∗ sao cho |hx, x∗i| =kxk kx∗k, do đó kf k = kxk

Định nghĩa 2.6 V∗∗ = (V∗)∗, không gian đối ngẫu thứ hai của mộtkhông gian định chuẩn V , là tập các phiếm hàm tuyến tính bị chặn

trên V∗

Ta thấy, có một ánh xạ ϕ : V → V∗∗, cho bởi ϕ(x) = x∗∗, trong

đó hx∗∗, x∗i = hx, x∗i Ánh xạ này là tuyến tính và "bảo toàn chuẩn":kϕ(x)k = kxk Tuy nhiên, ϕ không phải luôn là toàn ánh, nghĩa là, cóthể có x∗∗ ∈ V∗∗ không được biểu diễn bởi các phần tử của V

Định nghĩa 2.7 Một không gian định chuẩn V là phản xạ nếu ϕ là

toàn ánh Khi đó, ta viết V = V∗∗

Ví dụ 2.3.1

1 `p và Lp (1 < p < ∞) là các không gian phản xạ, vì (`p)∗∗ =(`q)∗ = `p, trong đó 1/p + 1/q = 1

2 `1 và L1 không phải là các không gian phản xạ

3 Mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ

2.4.1 Định lý Hahn-Banach trong thực và phức

Định lý 2.3 (Định lý Hahn-Banach thực) Cho E là một không gian

vecto trên R và M là một không gian vecto con Giả sử p : E → [0, ∞)

là một nửa chuẩn trên E và là α là một phiếm tuyến tính trên M thỏa

mãn

|α(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ M

Khi đó tồn tại một mở rộng tuyến tính β : E → R của α và thỏa mãn(i) β(x) = α(x) với mọi x ∈ M (tức là β thác triển α)

(ii) |β(x)| ≤ p(x) với mọi x ∈ E

Trường hợp thường xuyên xảy ra khi E là một không gian định

chuẩn và α là một hàm tuyến tính liên tục trên không gian vecto con

M vì thế α ∈ M∗ và |α(x)| ≤ kαk kxk (x ∈ M ) Sử dụng định lý, ta

có p(x) = kαk kxk

Kết luận của định lý là một thác triển tuyến tính β : E → R của αthỏa mãn

|β(x)| ≤ p(x) = kαk kxk (x ∈ E),hoặc các số hạng khác, một thác triển β ∈ E∗ với chuẩn kβk ≤ kαk.Thực tế thì thác triển β không có chuẩn nhỏ hơn α và vì thế kβk =kαk

Định lý 2.4 (Định lí Hahn-Banach cho không gian định chuẩn)

Cho V là không gian định chuẩn thực, và p là một nửa chuẩn liên tục

trong V f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con

M ⊂ V thỏa mãn f (x) ≤ p(x) trên M Khi đó, có một mở rộng F

của f từ M đến N sao cho F (x) ≤ p(x) trên V

Hệ quả 2.1 Cho f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn xác định

trên một không gian con M của V Khi đó có một mở rộng F của f

đến V sao cho kF k = kf k

Định lý 2.5 (Định lý Hahn-Banach phức) Cho không gian vectơ E

trên trường C và M là một không gian vectơ con Giả sử p : E →[0, ∞) là một nửa chuẩn trên E và giả sử:

(i) β(x) = α(x) với mọi x ∈ M

(ii) |β(x)| ≤ p(x) với mọi x ∈ E

Hệ quả 2.2 Nếu E là một không gian định chuẩn và x ∈ E khác

phần tử không, khi đó tồn tại α ∈ E∗ với

kαk = 1 và α(x) = kxk

Chứng minh Cho M = {λx : λ ∈ K}, một không gian con duy nhấtcủa E Xác định α : M → K bởi α(λx) = λ kxk Khi đó α là tuyếntính và

kαk = sup

λ6=0

|α(λx)|

kλxk = 1.

Tương tự α(x) = kxk Theo định lý Hahn-Banach, ta có thể mở rộng

α tới một hàm tuyến tính trên không gian E của chuẩn 1

Hệ quả 2.3 Cho E là một không gian định chuẩn và x, y ∈ E phân

biệt (x 6= y) Khi đó tồn tại α ∈ E∗ với α(x) 6= α(y)

Chứng minh Áp dụng hệ quả 2.2 cho (x − y) ta có α(x − y) 6= 0 ⇒

α(x) 6= α(y)

Hệ quả 2.4 Nếu E là một không gian định chuẩn bất kỳ, khi đó có

một ánh xạ tuyến tính:

J : E → E∗∗ = (E∗)∗