Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm

Để chính xác các khái niệm nêu trên, tôi đã chọn nghiên cứu và làm rõ các khái niệm về tính đóng và đầy đủ các véc tơ và mối quan hệ của chúng trong không gian X.. Nhiệm vụ chính: Nghiên

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang cùng toàn thể các thầy cô, cán bộ công nhân viên đang công tác và giảng dạy tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải – người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp

đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Học viên

Thân Thị Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Văn Khải

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Học viên

Thân Thị Thanh

Mục lục

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Trong giải tích toán học và trong toán học tính toán, nhiều trường hợp ta

không thể tính đúng được phân tử x trong không gian X (thường thì X là

không gian véc tơ vô hạn chiều có trang bị chuẩn hoặc là tích vô hướng)

Khi đó người ta sẽ tìm cách tính gần đúng x và một trong những cách đó

được mô tả như sau:

Bước 1: Chọn một hệ véc tơ  x i , i  trong X Bước 2: Khai triển hình thức x theo hệ  x i , i  dưới dạng

x

0

i i i

 là sai số của x so với x

Nếu hệ véc tơ  x i , i  chọn ở trên “đủ tốt” thì sai số nêu trên đủ nhỏ khi N0 đủ lớn

Để chính xác các khái niệm nêu trên, tôi đã chọn nghiên cứu và làm rõ các khái niệm về tính đóng và đầy đủ (các véc tơ) và mối quan hệ của chúng trong

không gian X

2 Mục đích nghiên cứu Làm rõ khái niệm về tính đóng, tính đầy đủ (hai khái niệm nền tảng trong tính toán của giải tích) và sự liên hệ giữa hai khái niệm này

Luận văn cũng nghiên cứu tính đóng, tính đầy đủ một số hệ véc tơ đặc biệt trong 2 

,

L a b hoặc C 0,1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ của một hệ véc tơ trong không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert

Nghiên cứu mối liên hệ giữa các khái niệm này Nghiên cứu một số trường hợp cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là hai khái niệm: Tính đóng, tính đầy đủ trong những không gian giải tích hàm trừu tượng

Phạm vi nghiên cứu: Các không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert và các trường hợp cụ thể 2 

,

L a b , C 0,1

5 Phương pháp nghiên cứu Dịch và đọc tài liệu Phân tích tổng hợp và trình bày lại các khái niệm đóng và đầy đủ theo phương pháp giải tích hàm

6 Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống vấn đề tính đóng và tính đầy đủ

Trình bày mối quan hệ về tính đóng và tính đầy đủ

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Trước khi nghiên cứu về tính đóng và tính đầy đủ, chúng ta cùng nhắc lại một số kiến thức cơ sở

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn

Ta nhắc lại một số khái niệm về không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng Hàm d: X x X  được gọi

là một khoảng cách (hay metric) nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn:

1, x y, X ( , ) d x y 0, d x y( , ) 0 x y ;

2, (x y, X ) ( , ) d x y d y x( , );

3, (x y z, , X ) ( , ) d x y d x z( , )d z y( , ) (bất đẳng thức tam giác) Tập X với hàm khoảng cách d xác định như trên được gọi là không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là không gian metric với hàm khoảng cách

( , )

d x y Nếu x0X, tập U( x r ) bao gồm tất cả các phần tử 0, xX thỏa mãn

 , 0

d x x r được gọi là một hình cầu mở tâm x bán kính 0 r Một phần tử

xS (S là tập mở) được gọi là phần tử trong của S nếu có một r 0 sao cho U( , x r )S

Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm  x n trong không gian metric X được gọi là hội

tụ tới phần tử xX nếu lim ( , n) 0

  Khi đó ta nói x là giới hạn của dãy  x n và viết

lim n

n x x

 

Nhận xét: Một dãy hội tụ thì không thể hội tụ tới hai phần tử khác nhau

Thật vậy, giả sử lim ( , n) 0

,

lim ( m, n) 0

  Không gian X là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều có giới hạn trong X Định nghĩa 1.1.5 Cho X là một tập khác rỗng, X được gọi là không gian tuyến tính trên trường K (thực hay phức) nếu trên X tồn tại hai ánh xạ sau đây mà chúng được gọi lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vô hướng

3, (x y, X ) x y  x  y

Khi đó ánh xạ được gọi là chuẩn xác định trên X Không gian tuyến tính

X cùng với chuẩn xác định như trên được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Nếu K  thì X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn thực

Với ,x y thuộc không gian tuyến tính định chuẩn X đặt d x y( , ) xy

Ta thấy rằng hàm d: XxX  là hàm khoảng cách và ta nói đó là metric

cảm sinh bởi chuẩn

Định nghĩa 1.1.7 Nếu trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi dãy Cauchy có giới hạn thuộc X thì X là đầy đủ Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach

Ví dụ 1.1.1: Không gian Euclide phức nlà đầy đủ Do đó nó là không gian Banach

trên a b Do đó nếu hàm ,  f x( )C a b ,  sao cho:

'

thì kéo theo f hội tụ tới f theo chuẩn n

Ví dụ 1.1.3: Cho X là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn a b với , 

b a

f  f x dx thì X là không đầy đủ Thật vậy, ta có thể chỉ ra dãy Cauchy trong X nhưng không hội tới phần tử thuộc X

Để đơn giản ta lấy a 1, b và xét 1 f x định nghĩa bởi n( )

x n

tụ theo chuẩn đến một hàm liên tục ( )g x vì

Định nghĩa 1.1.8 Tập Y   được gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X nếu Y là không gian tuyến tính con của không gian X và chuẩn xác định trên Y là chuẩn cảm sinh từ chuẩn trên X Định nghĩa 1.1.9 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K

là trường số thực hoặc trường số phức ) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện:

Ví dụ 1.1.4: Cho X là không gian của các hàm xác định trên a b Cho , 

Y là không gian con của X gồm tập các hàm xác định và liên tục trên a b, 

Rõ ràng Y C a b ,  là không gian con thực sự của X Với ax1b, xét phiếm hàm :L Y  xác định bởi L ( f )=

Định lý 1.1.1 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực và Y

là một không gian con tuyến tính (Y  X ) Cho ( ) p x là một phiếm hàm giá trị thực xác định trên các phần tử của X và thỏa mãn các tính chất dưới đây:

1, ( )p x 0  x X;

2, (p x y) p x( ) p y( ) x y, X; (1.1.1)

3, ( p x)p x( )  x X,0

Cho L là một phiếm hàm tuyến tính thực xác định trên Y và thỏa mãn ( ) L x  p x( )   (1.1.2) x Y Khi đó L có thể mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính L xác định trên X 1

và thỏa mãn

L x1( ) p x( )  x X (1.1.3)

y cố định trong Y và x thay đổi trong Y ta có p( x x0)L x( ) bị chặn

trên Tương tự cho y thay đổi, x cố định ta có p y( x0)L y( ) bị chặn dưới

2 Không gian con tuyến tính định chuẩn Y0 bao gồm tất cả các phần tử

y có dạng yxx0, x Y Mỗi phần tử trong Y có một cách biểu diễn 0

duy nhất ở dạng trên Giả sử y Y 0, yx11 0x x2 2 0x Khi đó

1 2 ( 1 2) 0

x x    x Nếu 12 thì x0 sẽ là một tổ hợp tuyến tính của x x1, 2

và do đó x0Y Điều này trái với điều kiện của x0 Do đó 12và từ đó ta

có x1x2 Xác định L trên 1 Y với 0

L y1( )L x( )r Nếu y Y ,   thì 0 L y1( )L y( ), y Y  Từ L là tuyến tính kéo theo L là 1

3, Cuối cùng, xét tập hợp  là tất cả các phiếm hàm tuyến tính được mở

rộng từ L trên một không gian con tuyến tính chứa Y và nó thỏa mãn điều

kiện (1.1.5) Trang bị cho tập này thứ tự  như sau: L'L'' nghĩa là L là mở ''

rộng của L Với sắp thứ tự này mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn ' 0 của

đều có cận trên đúng Cận trên đúng này là phiếm hàm xác định trên tập hợp các miền xác định của các phiếm hàm thành phần L' và trùng với từng L'

trên miền xác định của nó Theo bổ đề Zorn’s tồn tại một mở rộng cực đại L 1

trong toàn bộ  Phiếm hàm tuyến tính L1 này là xác định trên toàn bộ không

gian X , vì nếu không, ta có thể mở rộng L bằng cách thực hiện bước 2 Vậy 1

1

L là hàm cần tìm

Một phiếm hàm ( )p x thỏa mãn (1.1.1) được gọi là một phiếm hàm lồi Định nghĩa 1.1.11 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và L là phiếm hàm tuyến tính trên X Nếu tồn tại số

x





2, ( )L x  L x Chú ý: Có thể thấy với phiếm hàm tuyến tính thì tính bị chặn và liên tục là tương đương

Định lý 1.1.2 (Hahn-Banach) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn thực và Y là không gian con Cho L là phiềm hàm tuyến tính xác định trên Y

và có chuẩn L Y Khi đó có một phiếm hàm tuyến tính L1 là mở rộng của L trên X và 1 X

x X

L x

L x

Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn phức

Không gian X bao gồm các phần của X Phép cộng xác định trong R X là R phép cộng trong X Nếu a là số thực và xX R thì ax là phần tử của X với

(ai0)xax , x trong X bằng R x trong X Nếu L là phiếm hàm tuyến tính phức và bị chặn xác định trên X thì với L R chúng ta sẽ có phiếm hàm giá trị thực xác định trên X bởi biểu thức R

L x  R( ) Re ( ) L x (1.1.6)

x bên trái là phần tử của X R , x bên vế phải là phần tử của X

Bổ đề 1.1.1 Nếu L là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X thì L là R một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X R

( ) L x  ( )x  i ( )ix (1.1.9) xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X

Vậy L là tuyến tính trên X

Định lý 1.1.3 (Bohnenblust-Sobczyk-Suchomlinoff) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn phức và Y là không gian con Cho L là một phiếm hàm tuyến tính phức xác định trên Y và có chuẩn L Y Khi đó có một phiếm hàm tuyến tính L1 là mở rộng của L trên X và thỏa mãn 1 X

Y

Chứng minh

Viết L x( )L x R( )iL x1( )  x Y, trong đó L R và L1 là hàm giá trị thực

Theo bổ đề 1.1.1, L R là một phiếm hàm tuyến tính giá trị thực bị chặn xác định trên Y , ( R Y là không gian tyến tính định chuẩn thực liên kết với Y) Mở R

rộng L R trên X R theo định lý 1.1.1, thu được một phiếm hàm tuyến tính thực

Nó là một mở rộng của L Lấy x Y khi đó theo (1.1.8) ta có

Định lý 1.1.4 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn Y là một

Như trong định lý 1.1.2, cho Y là không gian con tuyến tính định chuẩn 0

gồm các phần tử có dạng xx0   Sự khai triển này là duy nhất x Y Xây dựng L trên Y0 thỏa mãn:

( )L y  vớiyxx0 (1.1.12) Đặc biệt với ( )L x  x Y0   và L x( )0 L(0 1 ) 1 x0  ,

 , định lý được chứng minh

1.2 Không gian với tích vô hướng

Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là trường

X mọi ánh xạ từ tích đề các X x X vào trường K, kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên đề:

1, x y, Xy x, x y,  ;

2, x y z, , Xx y z,   x z,   y z, ;

3, x y, X  Kx y, x y, ;

4,  x Xx x, 0, x x ,  0 nếu x  (  là phần tử không)

Các phần tử , , x y z …được gọi là các phần tử của tích vô hướng, số x y , 

được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y , các tiên đề 1,2,3,4, được gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.2.2

Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert

Mọi không gian tiền Hilbert là định chuẩn với chuẩn sinh ra bởi tích vô

hướng Nếu với chuẩn này X là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert

Ví dụ 1.2.1: là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng ( , )x y x y

Ta kiểm tra thấy nó thỏa mãn hệ tiên đề của tích vô hướng nên nó là không gian tiền Hilbert

Ví dụ 1.2.2: Ký hiệu k là không gian véc tơ thực k chiều Với



Ta kiểm tra thấy hệ thức trên thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh

ra bởi tích vô hướng là

2 1

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Với bất kỳ hai phần tử x y của ,

không gian tiền Hilbert ta có

( , )x y  x y Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi x và y là phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh

Nếu y  thì bất đẳng thức thỏa mãn 0Giả sử y 0 ta có:

y y

  rồi nhân hai vế với ( , )y y ta được

0( , )( , )x x y y  ( , )x y 2  ( , )x y  x y (Bất đẳng thức Schwarz)

Nếu x và y là phụ thuộc tuyến tính thì ykx, k Khi đó

( , )x y  ( ,x kx)  k x x( , ) k x x  x kx  x y

Bây giờ cho x và y là các véc tơ sao cho:

( , )x y  x y ( , )( , )x y y x ( , )( , )x x y y Chúng ta xẽ chỉ ra rằng ( , )y y x( , )x y y Thật vậy từ biểu thức trên ta có 0

điều phải chứng minh

Định lý 1.2.2 (Quy tắc hình bình hành) Với hai phần tử x và y của một không gian tiền hilbert ta có:

Định nghĩa 1.2.3 Một hệ  x i i I

gian tiền Hilbert X được gọi là trực giao nếu

( , x x )=0 i j   i j Nếu hệ trực giao  x i i I thỏa mãn thêm x i 1   thì hệ được gọi là trực i I chuẩn

   trong đó ( ), x t y t là những hàm giá trị thực trên ( ) a b , 

được gọi là một cung trong mặt phẳng phức Các điểm ( ),a ( )b lần lượt gọi là các điểm đầu và cuối của cung Nếu ( )a  ( )b thì cung đó được gọi

là cung kín Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tại

1, 2 ( , )

t t  a b để ( )t1  ( )t2 được gọi là đường cong Jordan Đường cong Jordan có điểm đầu và cuối trùng nhau được gọi là chu tuyến

Ta cũng có định nghĩa sau về đường cong Jordan:

Định nghĩa 1.3.2 Một đường cong Jordan trong mặt phẳng là ảnh đồng phôi của một đường tròn Nghĩa là, một điểm ( , x y ) thuộc đường tròn có thể biểu diễn được dưới dạng tham số x f( ), yg( ) trong đó:

(a) f và g là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2 và

Nếu f liên tục trên D và biên của D là một chu tuyến thì với z D ta

Bổ đề 1.3.1 Cho C là một cung cầu trường được (với điểm mút là a và b)

có độ dài L Cho ( ) f z là hàm liên tục và xác định trên C và có ( ) w  là mô- đun liên tục Lấy z0 a z, , ,1 z n  là những điểm của b C sắp xếp theo thứ tự dọc theo C Giả sử zz i  với mọi z thuộc cung z z i i1,

0,1, , 1

i n Khi đó

1

1 0

n

i i i i

i

i

z n

Giả sử f xác định trên miền D  Khi đó  chia mặt phẳng C thành hai miền, một trong hai miền đó là bị chặn ký hiệu là D và gọi là miền trong

giới hạn bởi  , miền còn lại viết là D và gọi là miền ngoài giới hạn bởi 

Miền D được gọi là miền đơn liên nếu mọi chu tuyến  D đều có

D D

Cho D là một miền đơn liên biên của nó là một đường cong Jordan

Dãy các miền đơn liên bị chặnD được gọi là hội tụ tới n D từ bên ngoài nếu:

(A) Mỗi D chứa n D (bao đóng của D )

(B) D chứa n D n1 (C) Tập D1D2 không chứa điểm nào nằm ngoài D Với mỗi D ta có thể tìm được một dãy hội tụ Cho z  ở bên trong D 0

Ánh xạ bảo giác D lên đường tròn đơn vị n w  là 1 n( )z D được ánh xạ

bởi ( ) z Các hàm ánh xạ phải thỏa mãn các tính chất sau:

        Ánh xạ bảo giác từ D lên D được xác định n wm z n( ); m n(0)0, m n'(0)0

Định lý 1.3.1 Với các ký hiệu bên trên

n n n n

C và liên tục trên C Với chuẩn được xác định max ( )

z C



 (1.3.3)

Chương 2 Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm

tìm được các hằng số 1, ,n sao cho:

hạn đều của một dãy các đa thức, suy ra nó có thể được xấp xỉ tùy ý gần bằng

tổ hợp tuyến tính của hữu hạn phần tử trong dãy 1, ,x x2 Tức là dãy 1, ,x x2

f  f x dx Dãy 1, ,x x2 là đóng trong X (tương tự ví dụ trên)

Ví dụ 2.1.3: Cho X là La b tập các hàm số xác định đo được theo nghĩa , 

Lebesgue và khả tích trên đoạn a b với chuẩn,  ( )

b a

f  f x dx Dãy 1, ,x x2

là đóng trong X Thật vậy, với   ta tìm được một hàm liên tục tuyệt đối 0

g( x ) sao cho:

( ) ( ) / 2

b a

Khi đó hệ z z z, 2, 3 là không đóng trong X

Thật vậy, giả sử hệ này là đóng trong X cho ,   và xét hàm đồng nhất 0

1 ta có thể tìm được các hằng số a a1, 2, ,a n sao cho:

2

1 2 1

z a z a z a z 

     

cho z , ta thu được 10  (mâu thuẫn)

Định lý 2.1.1 (Lauricella) Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn

và  x n là một hệ đóng Khi đó hệ  y n là đóng trong X khi và chỉ khi nó là đóng trong  x Điều này có nghĩa là mỗi n x n đều có thể xấp xỉ tùy ý gần bằng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các phần tử trong dãy  y n

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên

Ta chứng minh điều kiện đủ

Lấy xX và  0 cho trước Từ  x n là đóng ta có thể tìm được các hằng

Định nghĩa 2.2.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường K Xét X* là tập hợp các phiếm hàm L tuyến tính liên tục xác định trên X

Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn ta đưa vào X khái niệm chuẩn: *

0

( )sup

x

L x L

x





thì X * cũng là không gian tuyến tính định chuẩn và được gọi là không gian

tuyến tính định chuẩn liên hợp với X Định nghĩa 2.2.2 Dãy các phần tử  x k k *

 là đầy đủ trong không gian

đó X* là không gian tuyến tính định chuẩn liên hợp của X

2.2.2 Tính đầy đủ trong không gian tiền Hilbert Định nghĩa 2.2.3

Một tập S trong một không gian tiền Hilbert X là đầy đủ nếu ( , ) y x 0  x S (2.2.1) kéo theo y=0

Nhận xét: Như vậy trong không gian tiền Hilbert bây giờ có hai định nghĩa

về dãy đầy đủ định nghĩa 2.2.3 và định nghĩa 2.2.2 với chú ý về chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng Nếu không gian là đầy đủ thì hai định nghĩa này là như nhau Thật vậy, khẳng định trên được suy ra từ định lý sau đây:

Định lý 2.2.1 Cho X là không gian Hilbert Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục L trên X luôn tồn tại một phần tử duy nhất x0X sao cho:

Chứng minh Thật vậy, giả sử xX nếu ImPY, P2 P và

xP x  y  x X y Y 

và  ( , )x Y inf x y :y Y  Theo định nghĩa của infimum ta tìm được dãy  y n hội tụ tới y Y Áp dụng đẳng thức hình bình hành vào hai cạnh x y m và xy n ta có:

tới y Y với xy ( , )x Y Giả sử y'Y sao cho x y'  Một lần nữa áp dụng đẳng thức hình bình

hành với hai cạnh xy và xy' ta có

Như vậy với mỗi xX tồn tại duy nhất yP x Y( ) để Y xy ( , )x Y

Ta kiểm tra lại rằng tương ứng xP x Y( ) xác định phép chiếu trực giao của

X lên Y Đầu tiên ta chỉ ra rằng x yY với yP x Y( )

Giả sử z Y Vì

2 2

ta có k2 z 2k x(  y z, )k x( y z, ) 0Thành thử nếu k t x(  y z, ), t thì

Y Y

P P vì P x Y( )x   Để kiểm tra lại tính tuyến tính x Y

của P trước hết chú ý rằng Y y'Y mà x yY thì y' yP x Y( ) Thật vậy ta có (x y y, y')(x y y', y') và do đó

0(xy y,  y)(xy y,  y)(y y y, y) Vậy y y'

Bây giờ giả sử x, x'X và kP Do xP x Y( ) và x'P x Y( )' là trực

giao với Y nên kxkP x Y( ) và

Vậy P Y là tuyến tính và bổ đề được chứng minh

Bằng cách viết mỗi xX dưới dạng xP x Y( )(xP x Y( )) ta có

X YY Chứng minh định lý 2.1.1 Hiển nhiên công thức (2.2.2) xác định một phiếm

hàm tuyến tính trên X Vì L x( )  ( ,x x0)  x x0 nên phiếm hàm này là liên tục và vì L x( )0  x0 2 nên L  x0 Ta chứng minh rằng mọi phiếm

hàm tuyến tính liên tục L trên X đều biểu diễn dưới dạng (2.2.2) Nếu L  0chọn x 0 0 Giả sử L  thì Y0 KerL là siêu phẳng đóng trong X Theo

bổ đề trên tồn tại y0Y với y  sao cho mọi x0 0 X được biểu diễn duy nhất dưới dạng

' '

0 0 0 0

(x x x, x ) suy ra 0 x0 x0', định lý được chứng minh

Nhận xét: Nếu X là không gian không đầy đủ thì hai định nghĩa này

thì l là không gian tiền Hilbert nhưng nó không phải là không gian Hilbert 1

Thật vậy, từ x( )x i i1l1, y( )y i i1 có thể thấy rằng chuỗi l1

1

i i i

(1) (2) (1) (2)

1 (1) (2) (1) (2) (1) ( 2) 1

Vậy l là không gian tiền Hilbert Nhưng nó không phải là không gian Hilbert 1

với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng

Xét  

1

(1, , , ,0,0 )2

10

Do đó dãy  x m là dãy Cauchy trong l nhưng nó không có giới hạn trong 1 l 1

Vậy l không là Hilbert 1

n

i i n i



Do ( )y i i1 nên có l1 y i 0   i 1 y 0Tuy nhiên dãy này không đầy đủ theo định nghĩa 2.2.2 vì với phiếm hàm

nhưng f  0

2.3 Định lý cơ bản về tính đóng và tính đầy đủ Bây giờ chúng ta sẽ xét tới định lý mở rộng trực chuẩn cơ bản (Fourier)

Định lý 2.3.1 Xét x x x1*, 2*, *3, là dãy các phần tử trực chuẩn trong không gian tiền Hilbert X (dãy có thể chỉ gồm hữu hạn phần tử) Xét các khẳng định sau đây:

đương ABC C/ DEF (2.3.5)

Chứng minh Bước 1 A  B

* * 1

n

k k n

Vậy A  B  C  C / Bước 3 A D

Giả sử có A và giả sử rằng x x x1*, *2, 3*, ,w (w x i*) cũng là một hệ trực chuẩn

Hệ thứ hai này cũng đóng trong X

Suy ra ( ,w w )=0 (mâu thuẫn với w  ) 1

Vậy điều giả sử là sai, tức là A  D

*

( ,z x k)0, k1, 2

Với mỗi y, ( ,y x k*)( ,y x*k)( ,z x k*)(yz x, *k), k1, 2

Suy ra y và yz là hai phần tử phân biệt có cùng hệ số Fourier, trái với giả

thiết của F Vậy F  E Kết luận (2.3.4) đã được chứng minh

Giả sử X là không gian đầy đủ Chúng ta sẽ chỉ ra F B và (2.3.5) cũng

được chứng minh

Thật vậy, lấy wX và xét các phần tử