Định lý hahn banach và đối ngẫu của một số không gian hàm

èi ng¨u cõa khæng gian l1.. èi ng¨u cõa khæng gian l∞... Trong Gi£i t½ch h m, ành lþ HahnBanach l mët cæng cö quan trång.. Nâ cho ph²p mð rëng cõa c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n ành ng

Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P

H€ NËI, 5/2019

Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P

Gi£ng vi¶n h÷îng d¨n: TS.BÒI KI–N C×ÍNG

H€ NËI, 5/2019

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  thüc hi»n khâa luªn, vîi sü cè g­ng cõa b£n th¥n công nh÷ sü h÷îng d¥n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n sinh vi¶n em ¢ ho n th nh khâa luªn n y.

Em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ cæng t¡c t¤i khoa To¡n, Tr÷íng ¤i Håc S÷ Ph¤m H  Nëi 2 v  c¡c th¦y cæ ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y, truy·n ¤t cho em nhúng ki¸n thùc quþ b¡u chuy¶n mæn công nh÷ kinh nghi»m nghi¶n cùu trong thíi gian vøa qua.

°c bi»t em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y gi¡o, ti¸n s¾ Bòi Ki¶n C÷íng, ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï, ch¿ b£o công nh÷ cung c§p cho em nhúng ki¸n thùc n·n t£ng º em ho n th nh khâa luªn n y.

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

Nguy¹n H£i H 

Em xin cam oan d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o Bòi Ki¶n C÷íng khâa luªn cõa em ÷ñc ho n th nh khæng tròng vîi b§t k¼ · t i n o kh¡c,c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong khâa luªn ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc rã r ng.

Trong khi thüc hi»n · t i em ¢ sû döng v  tham kh£o c¡c th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi láng bi¸t ìn tr¥n trång.

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

Nguy¹n H£i H 

Möc löc

1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 6

1.1 Khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach 6

1.2 Khæng gian d¢y c0 8

1.3 Khæng gian d¢y lp 9

1.4 Khæng gian Lp 14

2 ành lþ Hahn-Banach 21 2.1 èi ng¨u trong khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach 21 2.2 ành l½ Hahn-Banach thüc 24

2.3 ành l½ Hahn-Banach phùc 25

2.4 Mët sè h» qu£ 26

3 èi ng¨u trong mët sè khæng gian h m 31 3.1 èi ng¨u trong khæng gian lp, 1 < p < ∞ 31

3.2 èi ng¨u cõa khæng gian l1, khæng gian l∞ 35

3.2.1 èi ng¨u cõa khæng gian l1 35

3.2.2 èi ng¨u cõa khæng gian l∞ 36

3.3 èi ng¨u cõa khæng gian Lp(1 < p < ∞) 37

K˜T LUŠN 40

T i li»u tham kh£o 41

1 Lþ do chån · t i:

Gi£i t½ch h m l  mët ng nh cõa gi£i t½ch to¡n håc nghi¶n cùu c¡ckhæng gian vectì ÷ñc trang bà th¶m mët c§u tróc tæpæ phò hñp v  c¡cto¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc giúa chóng C¡c k¸t qu£ v  ph÷ìng ph¡p cõa

nâ th¥m nhªp v o nhi·u ng nh kh¡c nhau nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n th÷íng, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, lþ thuy¸t c¡c b i to¡n cüctrà v  bi¸n ph¥n, ph÷ìng ph¡p t½nh, lþ thuy¸t biºu di¹n, Ra íi v onhúng n«m ¦u cõa th¸ k 20, b­t nguçn tø c¡c cæng tr¼nh v· ph÷ìngtr¼nh t½ch ph¥n cõa Hilbert, Fredholm, , ¸n nay gi£i t½ch h m t½ch lôy

÷ñc nhúng th nh tüu quan trång v  nâ ¢ trð th nh chu©n müc trongvi»c nghi¶n cùu v  tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc to¡n håc Trong Gi£i t½ch

h m, ành lþ HahnBanach l  mët cæng cö quan trång Nâ cho ph²p

mð rëng cõa c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n ành ngh¾a tr¶n mëtkhæng gian con cõa mët khæng gian vectì l¶n to n bë khæng gian â, nâcông chùng tä r¬ng câ "õ" c¡c phi¸m h m li¶n töc ành ngh¾a tr¶n méikhæng gian ành chu©n º vi»c nghi¶n cùu c¡c khæng gian li¶n hñp l  câthº Nâ ÷ñc °t t¶n theo Hans Hahn v  Stefan Banach l  nhúng ng÷íi

ëc lªp chùng minh ành lþ n y v o nhúng n«m 1920 Vîi möc ti¶u l 

ho n thi»n ki¸n thùc cho b£n th¥n tr÷îc khi ra tr÷íng v  ÷ñc sü gióp

ï tªn t¼nh cõa th¦y Bòi Ki¶n C÷íng, em ¢ thüc hi»n khâa luªn tètnghi»p vîi · t i:  ành l½ Hahn-Banach v  èi ng¨u cõa mët sè khænggian h m

2 Möc ½ch v  nhi»m vö nghi¶n cùu:

Nghi¶n cùu v· èi ng¨u trong khæng gian ành chu©n, khæng gianbanach; ành l½ Hahn-Banach thüc, ành l½ Hahn-Banach phùc; èi ng¨utrong mët sè khæng gian h m

3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu:

- Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu l½ thuy¸t

- Ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch h m

4 C§u tróc khâa luªn:

Ngo i ph¦n möc löc, mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o v  phö löc,khâa luªn gçm ba ch÷ìng

Ch÷ìng 1:"Mët sè ki¸n thùc chu©n bà" Ch÷ìng n y s³ i tr¼nh b yc¡c kh¡i ni»m cì b£n v· khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach,khæng gian c¡c d¢y c0, lp, Lp

Ch÷ìng 2:"ành l½ Hahn-Banach" Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh

b y v· èi ng¨u trong khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach,ành

lþ Hahn - Banach thüc,ành lþ Hahn - Banach phùc v  mët sè h» qu£.Ch÷ìng 3:"èi ng¨u trong mët sè khæng gian h m" Möc ½ch cõach÷ìng n y l  tr¼nh b y v· èi ng¨u cõa khæng gian `p, 1 < p < ∞, èing¨u cõa khæng gian `∞, `1, èi ng¨u cõa khæng gian Lp, 1 < p < ∞Khâa luªn n y ÷ñc tr¼nh b y tr¶n cì sð c¡c t i li»u tham kh£o ÷ñcli»t k¶ trong ph¦n T i li»u tham kh£o âng gâp cõa em thº hi»n ðché, cõng cè n­m vúng ÷ñc ành l½ Hahn-Banach v  h» qu£ cõa ành l½

Hahn-Banach n­m ÷ñc t½nh èi ng¨u cõa mët sè khæng gian h m.

Do thíi gian thüc hi»n · t i khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶nkhâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât Em mong nhªn ÷ñc sü

âng gâp þ ki¸n ph£n bi»n tø quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Khæng gian ành chu©n, khæng gian Banach

ành ngh¾a 1.1 Mët chu©n tr¶n khæng gian vectì E tr¶n tr÷íng K l mët ¡nh x¤

f : E −→ [0, ∞)

x 7−→ kxkthäa m¢n c¡c t½nh ch§t d÷îi ¥y:

(i) (B§t ¯ng thùc tam gi¡c) kx + yk ≤ kxk + kyk ( ∀ x,y ∈ E )

ành ngh¾a 1.3 Khæng gian ành chu©n (E, k.k) ÷ñc gåi l  khænggian Banach n¸u E vîi metric d(x, y) = kx − yk, x, y ∈ E l  mët khænggian ¦y õ.

V½ dö 1.1.1 Nhúng v½ dö thæng th÷íng nh§t cõa Khæng gian ànhchu©n l  Rn v  Cn

V½ dö 1.1.2 Kncòng vîi ti¶u chu©n Euclidean l  mët khæng gian metric

¦y (â l  mët khæng gian Banach)

V½ dö 1.1.3 (`∞, k.k∞) l  mët khæng gian Banach ( â l  ¦y õ, tr÷îc

â chóng ta ¢ bi¸t r¬ng â l  mët khæng gian ành chu©n)

M»nh · 1.1 N¸u (E, k.kE) l  mët khæng gian ành chu©n v  F ⊆ E

l  mët khæng gian gian vectì con, khi â F trð th nh khæng gian ànhchu©n n¸u ta x¡c ành chu©n tr¶n F bði k.kF bði

kxkF = kxkE vîi x ∈ F

Ta gåi (F, k.kF) l  mët khæng gian con cõa (E, k.kE)

M»nh · 1.2 N¸u (E, k.kE) l  khæng gian Banach v  (F, k.kF) l  khænggian ành chu©n con, khi â F l  mët khæng gian Banach n¸u v  ch¿ n¸u

F âng trong E

M»nh · 1.3 Cho (E, k.k) l  mët khæng gian ành chu©n Khi â E l 

mët khæng gian Banach khi v  ch¿ khi måi chuéi hëi tö tuy»t èi ·u hëi

º chùng minh trüc ti¸p c0 l  âng trong l∞ c¦n mët chót kÿ thuªt,bði v¼ c¡c ph¦n tû cõa c0 l  c¡c d¢y væ h÷îng v  º chùng tä c0 ⊆ l∞ l 

âng, chóng ta i chùng minh r¬ng khi mët d¢y (zn)∞n=1 cõa zn ∈ c0 hëi

tö trong l∞ ¸n mët giîi h¤n w ∈ l∞ th¼ w ∈ c0

Ta vi¸t ra méi zn ∈ c0 nh÷ l  mët d¢y væ h÷îng b¬ng c¡ch sû döngmët c°p ch¿ sè d÷îi:

zn = (zn,1, zn,2, zn,3, ) = (zn,j)∞j=1

(trong â zn,j ∈ K l  c¡c væ h÷îng) Chóng ta câ thº vi¸t w = (wj)∞j=1

v  b¥y gií chóng ta ang gi£ sû r¬ng zn → w trong (l∞, k.k∞) Ngh¾a l 

lim

n→∞kzn− wk∞ = lim

n→∞

sup

j≥1

|zn,j − wj|



= 0

º chùng tä w ∈ c0, b­t ¦u vîi ε > 0 cho tr÷îc Khi â ta câ thº t¼m

N ≥ 0 sao cho kzn− wk∞ < ε/2 vîi måi n ≥ N °c bi»t kzN − wk∞ <ε/2 V¼ zN ∈ c0 n¶n limj→∞zN j = 0 Nh÷ vªy tçn t¤i j0 > 0 sao cho

|zN,j| < ε/2 cè ành vîi måi j ≥ j0 Cho j ≥ j0 khi â ta câ:

|wj| ≤ |wj − zN,j| + |zN,j| < ε/2 + ε/2 = ε

i·u n y chùng minh limj→∞wj = 0 v  w ∈ c0

i·u n y chùng minh c0 âng trong l∞ v  ho n th nh vi»c chùng minh

v  nh¥n mët d¢y vîi mët væ h÷îng thæng th÷íng Nâ l  mët khæng gianBanach vîi chu©n

º chùng minh m»nh · n y, ta c¦n mët sè k¸t qu£ sau

Bê · 1.1 Gi£ sû 1 < p < ∞ v  q ÷ñc x¡c ành bði 1

Chùng minh i·u n y kh¡ t¦m th÷íng khi ta chùng minh cho p = 1 v 

p = ∞ Bði vªy, gi£ sû 1 < p < ∞

Ti¸p theo, chóng ta i chùng minh b§t ¯ng thùc,

n

|xn|p

p1X

p

Cëng hai v¸ cõa hai b§t ¯ng thùc ta câ:

k(xn + yn)nkpp ≤ k(xn)nkpk(xn + yn)nk

p q

p + k(yn)nkpk(xn+ yn)nk

p q

p

B¥y gií, n¸u k(xn + yn)nkp = 0 khi â b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh

l  thäa m¢n N¸u k(xn + yn)nkp 6= 0 ta câ thº chia cho k(xn + yn)nk

p q

p

nhªn ÷ñc:

k(xn+ yn)nkp−

p q

p ≤ k(xn)nkp+ k(yn)nkp

Tø p − p

q = 1, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh

B¥y gií ta chùng minh M»nh · 1.5

Chùng minh Tø b§t ¯ng thùc Bê · 1.3 ta d¹ d ng th§y ÷ñc lp l mët khæng gian vectì v  k.kp l  mët chu©n tr¶n nâ

º chùng minh r¬ng lp l  ¦y õ, ta chùng minh r¬ng måi chuéi Σkxkhëi tö tuy»t èi trong lp l  hëi tö

Vi¸t xk = (xk,n)n = (xk,1, xk,2, ) vîi méi k Chó þ r¬ng

|xk,n| ≤ kxkkp =

X

B¥y gií, vîi b§t k¼ N ≥ 1,

p1/p

= lim

K→∞k(x1,1, x1,2, , x1,N, 0, 0, ) + (x2,1, x2,2, , x2,N, 0, 0, ) + + (xK,1, xK,2, , xK,N, 0, 0, )kp

Mët t½nh ch§t l  óng h¦u kh­p (h¦u kh­p nìi) n¸u tªp hñp nhúng ph¦n

tû ð â t½nh ch§t khæng óng chùa trong mët tªp câ ë o khæng

kf kp < ∞Chóng ta gåi kfkp l  Lp Lp trð th nh khæng gian ành chu©n vîi chu©n

V½ dö 1.4.1 N¸u X = [0; 1] v  µ l  mët ë o Lebesgue, v  f li¶n töc,th¼ kfk∞ = sup{|f (x)||x ∈ [0; 1]}

Bê · 1.4 (B§t ¯ng thùc Holder) N¸u p v  q l  c¡c sè mô li¶n hñp,

1 < p < ∞ v  n¸u f ∈ Lp(X, µ) v  g ∈ Lq(X, µ) khi â fg ∈ L1(X, µ),

v 

kf gk1 ≤ kf kpkgkq

Bê · 1.5 Vîi hai h m sè b§t k¼ u = u(t), v = v(t) khæng ¥m v  µ−

Chùng minh N¸u f = 0 h.k.n tr¶n tªp X ho°c g = 0 h.k.n tr¶n tªp Xth¼ b§t ¯ng thùc

kf gk1 ≤ kf kpkgkq.hiºn nhi¶n óng

N¸u f 6= 0 v  g 6= 0 tr¶n tªp E0

⊂ E, µ(E0) > 0 th¼Z

kf gk1 ≤ kf kpkgkq

Bê · 1.6 (B§t ¯ng thùc Minkowski) Cho f, g ∈ Lp(X, µ),vîi 1 ≤ p ≤

∞ f + g ∈ Lp(X, µ) v 

kf + gkp ≤ kf kp+ kgkp

Chùng minh Vîi p = 1 b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng

Vîi p > 1 ta l§y sè thüc q sao cho 1

p +

1

q = 1, th¼ q > 1 v 

p + q = pq → p = q(p − 1), q = p(q − 1)

 Z

X

|f + g|q(p−1)

1q+

 Z

X

|g|p

1p

 Z

X

|f + g|q(p−1)

1qhay

Z

X

|f + g|p ≤

 Z

X

|f |p

1p+

 Z

X

|q|p

1p

ë o khæng Ek sao cho

|fm(x) − fn(x)| ≤ 1

k

∀x ∈ X \ Ek, ∀m, n ≥ Nk

°t E = ∪kEk th¼ E l  tªp câ ë o khæng v  ta th§y ∀x ∈ X \ E, d¢y

fn(x) l  Cauchy (trong R).V¼ vªy, fn(x) → f (x)∀x ∈ X \ E Chuyºn quagiîi h¤n khi m → ∞ ta ÷ñc

E∗ = B(E, K) = { T : E → K : T li¶n töc v  tuy¸n t½nh}

c¡c ph¦n tû cõa E∗ ÷ñc gåi l  phi¸n h m tuy¸n t½nh (li¶n töc) tr¶n E M»nh · 2.1 N¸u E l  mët khæng gian ành chu©n th¼ E∗ l  mët khænggian Banach

M»nh · tr¶n l  h» qu£ cõa ành lþ d÷îi ¥y

ành lþ 2.1 Cho E l  mët khæng gian ành chu©n v  F l  mët khænggian Banach Cho B(E, F ) l  k½ hi»u cõa khæng gian t§t c£ to¡n tû tuy¸nt½nh bà ch°n T : E → F Chóng ta câ thº lªp B(E, F ) l  mët khæng gianvectì x¡c ành bði T + S v  λT (T, S ∈ B(E, F ), λ ∈ K) nh÷ sau:

(T + S)(x) = T (x) + S(x), (λT )(x) = λ(T (x))(x ∈ E)

Khi â to¡n tû ành chu©n l  mæt chu©n tr¶n B(E, F ) v  lªp th nh khænggian Banach.

Chùng minh B(E, F ) l  mët khæng gian vectì ành chu©n ta c¦n ch¿ rakhæng gian â l  mët khæng gian ¦y õ

L§y mët d¢y Cauchy {Tn}∞n=1 trong (B(E, F ), k.kop) Cho x cè ành b§tk¼, x ∈ E, {Tn(x)}∞n=1 l  d¢y Cauchy trong F v¼

n→∞kTn− T kop = 0(tùc l  Tn → T theo chu©n cõa B(E, F ))

Theo i·u ki»n Cauchy, chóng ta th§y r¬ng câ thº t¼m ÷ñc N sao cho

kTn− Tmkop < 1 vîi måi n, m ≥ N B¥y gií chån x ∈ E, kxkE ≤ 1 Do

â vîi n, m ≥ N ta câ:

kTn(x) − Tm(x)kF = k(Tn − Tm)(x)kF = kTn− Tmkop < 1

L§y n = N v  m → ∞ v  sû döng t½nh li¶n töc cõa chu©n tr¶n F i ¸nk¸t luªn

kTN(x) − T (x)kF ≤ 1Kh¯ng ành tr¶n óng vîi måi x ∈ E cõa chu©n kxkE ≤ 1 V  chóng ta

câ thº sû döng nâ º k¸t luªn r¬ng

Ta th§y r¬ng T bà ch°n Bði vªy T ∈ B(E, F )

Ta ti¸p löc l°p l¤i m§y b÷îc sau còng ð b¶n tr¶n èi vîi ε > 0 tòy þcho tr÷îc Theo i·u ki»n Cauchy chóng ta câ thº t¼m ÷ñc N sao cho

kTn − Tmkop < ε vîi måi n, m ≥ N B¥y gií l§y x ∈ E, kxkE ≤ 1 Nh÷tr÷îc ta nhªn ÷ñc

ành lþ 2.2 N¸u khæng gian èi ng¨u E∗ cõa khæng gian ành chu©n

E l  t¡ch ÷ñc, th¼ khæng gian E l  t¡ch ÷ñc

Nhªn x²t 2.1.1 Vîi méi ph¦n tû x ∈ E∗ l  mët phi¸n h m tuy¸n t½nh

li¶n töc tr¶n E v  câ chu©n l 

Thªt vªy theo ành ngh¾a chu©n cõa to¡n tû tuy¸n t½nh ta câ |x∗(x)| ≤

kx∗kkxk Suy ra supx ∗ =1|x∗(x)| ≤ kxk vîi måi x∗ ∈ E∗ Ng÷ñc l¤i vîi

x = 0th¼ ¯ng thùc tr¶n luæn óng; n¸u x 6= 0, ¡p döng h» qu£ cõa ành

lþ Hahn-Banach tçn t¤i x∗ ∈ E∗ sao cho x∗(x) = kxk v  kx∗k = 1 Vªy

Tr÷íng hñp th÷íng xuy¶n nh§t x£y ra khi E l  mët khæng gian ànhchu©n v  α l  mët h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n mët khæng gian vectìcon M Khi â α ∈ M∗, |α(x)| ≤ kαkkxk(x ∈ M ) p döng ành l½ tr¶n,vîi p(x) = kαkkxk.

K¸t luªn cõa ành l½ l  mët th¡c triºn tuy¸n t½nh β : E → R cõa αthäa m¢n

|β(x)| ≤ p(x) = kαkkxk(x ∈ E)Ho°c nâi c¡ch kh¡c, th¡c triºn β ∈ E∗ còng vîi chu©n kβk ≤ kαkTrong thüc t¸ th¡c triºn β khæng thº câ chu©n nhä hìn α v¼ th¸kβk = kαk

Khi â tçn t¤i phi¸n h m β : E → C cõa α v  thäa m¢n:

(i) β(x) = α(x) vîi måi x ∈ M

(ii) |β(x)| ≤ p(x) vîi måi x ∈ E

T÷ìng tü α(x) = kxk Theo ành l½ Hahn-Banach, ta câ thº mð rëng

α tîi mët phi¸n h m tuy¸n t½nh tr¶n khæng gian E câ chu©n b¬ng 1.H» qu£ 2.2 Cho E l  mët khæng gian ành chu©n v  x, y ∈ E l  haiph¦n tû ph¥n bi»t (x 6= y) Khi â tçn t¤i α ∈ E∗ sao cho α(x) 6= α(y).Chùng minh p döng H» qu£ 2.1 cho (x − y) v  quan s¡t th§y r¬ngα(x − y) 6= 0 ⇒ α(x) 6= α(y)

H» qu£ 2.3 N¸u E l  mët khæng gian ành chu©n b§t k¼, khi â mët

¡nh x¤ tuy¸n t½nh tü nhi¶n

J : E → E∗∗ = (E∗)∗cho bði vîi méi x ∈ E

J (x) : E∗ → K

kJ(x)k(E∗ ) ∗ ≤ kxk

Theo H» qu£ 2.1, vîi méi x ∈ E cho tr÷îc, tçn t¤i α ∈ E∗ vîi kαk = 1

v  |α(x)| = kxk = kαkkxk i·u n y chùng minh r¬ng kJ(x)k ≥ kxk.Ch½nh v¼ vªy kJ(x)k = kxk v  J l  mët ¯ng cü ¸n ph¤m vi cõa nâ tùc

l  mët h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n M1, do â α ∈ M∗

1 Theo ành l½Hahn-Banach, ta câ thº mð rëng α tîi mët ph¦n tû cõa E∗ vîi c¡c t½nhch§t c¦n thi¸t

ành lþ 2.6 N¸u E l  mët khæng gian Banach væ h¤n chi·u b§t k¼ th¼

tçn t¤i mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh khæng li¶n töc

α : E → K

Chùng minh V¼ E l  mët khæng gian vectì tr¶n K, ph£i câ mët cì sð

¤i sè (ho°c cì sð Hamel) Cho {ei : i ∈ I} l  mët cì sð v  nh­c l¤i r¬ngkhi â méi x ∈ E câ thº ÷ñc biºu thà (theo mët c¡ch duy nh§t) nh÷ l mët tê hñp tuy¸n t½nh húu h¤n

x = xi1ei1 + xi2ei2 + + xineincõa c¡c ph¦n tû cì sð Vi¸t d÷îi d¤ng nh÷ sau

E N¸u méi αi j l  li¶n töc

Ch֓ng 3

èi ng¨u trong mët sè khæng gian

h m

3.1 èi ng¨u trong khæng gian lp, 1 < p < ∞

Vîi 1 < p < ∞ èi ng¨u cõa lp l  lq, trong â 1

p + 1q = 1 câ ngh¾a l måi phi¸n h m tuy¸n t½nh bà ch°n trong lp câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:

Chùng minh i·u ¦u ti¶n ta th§y r¬ng ¡nh x¤ T l  câ ngh¾a N¸u ta

cè ành b = (bn)n ∈ lq khi â b§t ¯ng thùc Holder cho chóng ta th§yr¬ng

... khổng gian nh chuân thẳ E∗ l  mët khỉnggian Banach

M»nh · tr¶n l  h» quÊ cừa nh lỵ dữợi Ơy

nh lỵ 2.1 Cho E l  mët khỉng gian ành chu©n v  F l  mët khỉnggian Banach. .. mổt chuân trản B(E, F ) v lêp th nh khænggian Banach.

Chùng minh B(E, F ) l  mët khæng gian vectỡ nh chuân ta cƯn ch rakhổng gian õ l mởt khổng gian Ưy ừ

LĐy mởt dÂy Cauchy {Tn}∞n=1... data-page="30">

Tữỡng tü α(x) = kxk Theo ành l½ Hahn- Banach, ta câ th m rởng

tợi mởt phián hm tuyán tẵnh trản khổng gian E cõ chuân bơng 1.Hằ quÊ 2.2 Cho E l  mët khỉng gian ành chu©n v  x, y E l haiphƯn