Ánh xạ đối ngẫu trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2ĐÀO MỸ HẠNH ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO MỸ HẠNH

ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO MỸ HẠNH

ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Hoàng Ngọc Tuấn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quátrình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóahọc Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồngnghiệp trường THPT Xuân Hòa, gia đình và bạn bè đã luôn động viên,giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi nhữngthiếu sót Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo vàcác bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018

Đào Mỹ Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giảdưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Hoàng Ngọc Tuấn Luận văn khôngtrùng lặp với các đề tài khác

Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giảĐào Mỹ Hạnh

Mục lục

1 ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI VI PHÂN 6

1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hàm lồi 6

1.2 Dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi 13

1.3 Không gian Banach trơn 19

1.4 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach 22

1.5 Ánh xạ đối ngẫu dương 26

2 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ LỚP CÁC KHÔNG GIAN BANACH BỞI ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU 31 2.1 Không gian Banach lồi chặt và lồi đều 31

2.2 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach phản xạ 43

2.3 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Lp 47

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích hàm phi tuyến là một nhánh của giải tích toán học nghiêncứu về các ánh xạ phi tuyến Trong toán học và trong khoa học vật lý, hệphi tuyến là một hệ mà sự thay đổi của dữ liệu đầu ra không tỷ lệ với sựthay đổi của dữ liệu đầu vào Các bài toán phi tuyến nhận được sự quantâm của nhiều nhà toán học, vật lý, kỹ thuật và các nhà khoa học khácbởi hầu hết các hệ thống trong tự nhiên đều là phi tuyến

Tích vô hướng có một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhữngvấn đề và hiện tượng diễn ra trong không gian Hilbert Một trong nhữngvai trò chính của tích vô hướng là giúp biểu diễn một phần tử x ∈ H như

là một phiếm hàm x∗ trong H, tức là một phần tử trong không gian đốingẫu H∗ Tuy nhiên, nhiều đối tượng và mô hình không xuất hiện mộtcách tự nhiên trong không gian Hilbert

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trên không gian Banach X, là ánh xạ đatrị định nghĩa bởi

J : X −→ {x∗ ∈ X∗ : kx∗k2 = kxk2 = hx∗, xi}

được dùng như một sự thay thế phép đẳng cấu H ∼= H∗ trong không gianBanach Tổng quát hơn, ta cũng xem xét các ánh xạ đối ngẫu được liên kếtvới một hàm trọng Một sự lựa chọn (không cần liên tục) j của J, nghĩa

là, ánh xạ J : X −→ X∗ sao cho

kxk2 = kjxk2 = hjx, xi

cũng được coi là một ánh xạ đối ngẫu

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa đã trở thành một trong những công cụ toánhọc quan trọng nhất trong giải tích hàm phi tuyến, đặc biệt đối với các

vấn đề liên quan tới các toán tử phi tuyến đơn điệu, tăng dần và phân tán.Hiện nay, chủ đề này tiếp tục thu hút sự chú ý của các nhà toán học trênthế giới.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ánh xạ đối ngẫu trong không gianBanach, dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đề tài

“Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach ” để thực hiện luận văncủa mình

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một số tính chất của ánh xạđối ngẫu và đặc trưng của một số lớp các không gian Banach bởi ánh xạđối ngẫu Qua đó, thấy được tầm quan trọng của những kiến thức đã học

và những ứng dụng của chúng Với nội dung nghiên cứu này, ngoài phầnlời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành haichương

Chương 1 Ánh xạ đối ngẫu và dưới vi phân Trong chương này,luận văn phần đầu trình bày những kiến thức cần thiết về giải tích lồi

và giải tích hàm Sau đó, luận văn trình bày về không gian Banach trơn

và ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach cũng như ánh xạ đối ngẫudương

Chương 2 Đặc trưng của một số lớp các không gian Banachbởi ánh xạ đối ngẫu Chương này, luận văn trình bày đặc trưng củamột số lớp các không gian Banach, trong đó bao gồm các không gian lồichặt, lồi đều và các không gian Banach phản xạ thông qua các tính chấtcủa ánh xạ đối ngẫu Cuối chương, luận văn trình bày về các ánh xạ đốingẫu trong không gian Lp, trong đó ta quan tâm đến Định lý Clarkson vàứng dụng của Định lý Asplund

Chương 1

ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI

VI PHÂN

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số khái niệm, định nghĩa

và các kết quả cần thiết về giải tích lồi và giải tích hàm như hàm lồi, dưới

vi phân và liên hợp của hàm lồi Tiếp nữa, luận văn trình bày về khônggian Banach trơn Và sau cùng, luận văn quan tâm đến ánh xạ đối ngẫutrong không gian Banach cũng như ánh xạ đối ngẫu dương Tài liệu thamkhảo chính của chương này là [1], [4] và [8]

1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hàm

được gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f Ngoài ra, hàm f được gọi

là chính thường (proper ) nếu domf 6= ∅

Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Ta nói f : X −→ R là một hàm lồi nếue

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]

Hơn nữa, f được gọi là một hàm lồi chặt trên X nếu

Khi đó, domδC = C và tập C là lồi nếu và chỉ nếu δC là một hàm lồi.Hàm này có tên là hàm chỉ

Mệnh đề 1.1.5 Một hàm f : X −→ R là lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thịecủa nó là một tập lồi trên X ×R.

Chứng minh Giả sử f là một hàm lồi và [x, a], [y, b] ∈ epif Khi đó,

Ngược lại, giả sử epif là lồi Từ

[x, f (x)], [y, f (y)] ∈ epif ∀x, y ∈ domf,

ta suy ra

λ[x, f (x)] + (1 − λ)[y, f (y)] ∈ epif với mọi λ ∈ [0, 1]

Do đó, ta có hàm f là lồi trên domf Mệnh đề được chứng minh

Định nghĩa 1.1.6 Một hàm f : X −→ R được gọi là nửa liên tục dướie(lower-semi continuous) (viết gọn là lsc) tại x0 ∈ X nếu

trong đó Vx0 là tập tất cả các lân cận của điểm x0

Mệnh đề 1.1.7 Với f : X −→ R, các khẳng định sau là tương tương:e(a) f là nửa liên tục dưới trên X;

(b) Với mọi số thực α, tập mức dưới {x ∈ X | f (x) ≤ α} là một tậpđóng trong X;

(c) Trên đồ thị của hàm f là một tập đóng trong X ×R.

Hệ quả 1.1.8 (1) Mọi hàm nửa liên tục dưới f trên một không giantôpô compact thì bị chặn dưới và đạt cận dưới lớn nhất của nó trên X.(2) Bất kỳ hàm lồi trên một không gian lồi địa phương là nửa liên tụcdưới nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục dưới yếu

Định lý 1.1.9 Cho f : X −→ R là một hàm lồi bị chặn trên trên mộtelân cận của một điểm trong x0 ∈ domf Khi đó, f liên tục trên domf.Chứng minh Trước tiên, ta sẽ đi chứng minh tính liên tục của f tại

x0 Lấy V ∈ Vx0 và M > 0 sao cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ V Chuyển qua nếucần lân cận V ∩ (−V ), ta có thể giả thiết V đối xứng Ta cũng có thể giả

sử rằng x0 = 0 và f (x0) = 0 Thật vậy, f là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếuhàm F (x) = f (x + x0) − f (x0) liên tục tại gốc với mọi x ∈ X; hơn nữa

F (0) = 0 và F là hàm lồi

ρ > 1 sao cho ρy ∈ domf Nếu V là lân cận gốc được sử dụng ở trên, thìbất kỳ x ∈ Vy = y +1 − 1

F (x + ty) − F (x)

0 +(x, y)

tồn tại, thì ta nói F+0 (x, y) là đạo hàm theo hướng y ∈ X của F tại x.(2) Nếu tồn tại một toán tử trong L(X, Y ), được ký hiệu bởi F0(x) saocho

limt→0

F (x + ty) − F (x)

0(x)y với mọi y ∈ X,

thì ta nói rằng F là khả vi Gateaux (hay G-khả vi) tại x (Đôi khi F0(x)

còn được gọi là gradient của F tại x.)

(3) Ta nói rằng F : D −→ Y là khả vi Fréchet (F-khả vi) tại x nếu nó

là G-khả vi tại x và

limt→0 supkyk=1

F (x + ty) − F (x)

t − F0(x)y = 0

Định lý 1.1.12 Cho X, Y, Z là các không gian Banach và f : X −→

Y, g : Y −→ Z là các khả vi Fréchet tương ứng trên X và trên Y Khi đó,

Bổ đề 1.1.14 Cho ϕ : R −→ R là một hàm lồi Khi đó,e ϕ có đạo hàmmột phía tại bất kỳ t ∈ intdomϕ và

ϕ0−(t) ≤ ϕ0+(t) (1.3)Hơn nữa, với mọi t1, t2 ∈ intdomϕ sao cho t1 < t2; t1, t2 ∈ intdomϕ, ta có

ϕ0+(t1) ≤ ϕ(t2) − ϕ(t1)

t2 − t1 ≤ ϕ

0

−(t2) (1.4)Chú ý 1.1.15 Trong (1.4) bất đẳng thức đầu tiên thỏa mãn khi t1 ∈intdomϕ và với mọi t2 ∈ R, trong đó t1 < t2

Định lý 1.1.16 ([4]) Cho f : X −→ R là một hàm lồi chính thường.eKhi đó, với mỗi x ∈ intdomf, đạo hàm theo hướng f+0 (x, y) tồn tại vớimọi hướng y ∈ X; hàm y 7→ f+0 (x, y) là lồi, thuần nhất dương và thỏa mãn

f−0 (x, y) ≤ f+0 (x, y), ∀y ∈ X (1.5)Hơn nữa, nếu f là liên tục tại một điểm trong x0 của miền hữu hiệu của

Ta sẽ chỉ ra y 7→ f+0 (x, y) là hàm dưới cộng tính và từ đó ta suy ra tínhlồi của nó Với y1, y2 ∈ X, ta có

2

= limt→0 +



− 2f (x)t

≤ limt→0+

εkyk



− ϕ(0)ε

kyk

=f



x0 + εkyky

Điều này có nghĩa là y 7→ f+0 (x0, y)là liên tục tại y = 0 Từ đó, theo Định

lý 1.1.9, hàm y 7→ f+0 (x0, y) liên tục với mọi điểm y ∈ X Định lý đượcchứng minh

Từ Định lý 1.1.16, ta có một đặc trưng sau:

Hệ quả 1.1.17 Một hàm liên tục lồi là G-khả vi tại x ∈ intdomf nếu

và chỉ nếu f+0 (x, y) = f−0 (x, y), ∀y ∈ X

1.2 Dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi

Trong mục này, ta sẽ xét X là một không gian Banach thực

Định nghĩa 1.2.1 ([2], [4]) Ta nó rằng f : X −→ R là khả dưới viephân (subdifferentiable) tại một điểm x ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm

x∗ ∈ X∗, gọi là dưới gradient (subgradient ) của f tại x, sao cho

f (y) − f (x) ≥ hx∗, y − xi, ∀y ∈ X (1.6)Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được ký hiệu là ∂f (x) và ánh xạ

∂f : X −→ 2X∗ được gọi là dưới vi phân (subdifferential ) của f

Chú ý 1.2.2 Từ định nghĩa trên, ta có các khẳng định sau là đúng

(1) ∂f (x) là một tập con lồi đóng yếu* (weak*-closed) của X∗;

(2) f có một giá trị cực tiểu tại x nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (x);

(3) Nếu f là chính thường và ∂f (x) 6= ∅, thì x ∈ domf

Định nghĩa 1.2.3 (1) Một siêu phẳng đóng trong X ×R có dạng:

(3) Một siêu phẳng không thẳng đứng H trong X ×R được gọi là siêu

phẳng tựa với trên đồ thị của hàmf tại điểm (x0, f (x0)) nếu(x0, f (x0)) ∈

H và trên đồ thị của hàm f được giới hạn bởi một trong hai mặt phẳngcon đóng xác định bởi H Trong trường hợp này, H có dạng:

H = {(x, t) ∈ X ×R | hx∗, x − x0i + f (x0) = t}, (1.7)ngoài ra, ta có

epif ⊆ {(x, t) ∈ X ×R | hx∗, x − x0i + f (x0) ≤ t} (1.8)

Chú ý 1.2.4 (1) (x, t) ∈ epif dẫn đến (x, t+n) ∈ epif, với mọin ∈ N.

Do đó, với mọi (x, t) ∈ epif, không thể xảy ra bất đẳng thức

Chứng minh (=⇒) Giả sử x∗ ∈ ∂f (x) Khi đó, với mỗi y ∈ X, tacó

f (x) − f (x − ty)

t ≤ hx∗, yi ≤ f (x + ty) − f (x)

t , ∀t > 0.

Bây giờ, qua giới hạn khi t −→ 0+, ta thu được (1.9)

(⇐=) Cho y ∈ X, z = y − x và ϕ(t) = f (x + tz), t ∈ R Khi đó, theo

Bổ đề 1.1.14, với t1 = 0, t2 = 1, ta thu được

Hệ quả 1.2.7 Một hàm lồi, liên tục, chính thường f là G-khả vi tại

x ∈ intdomf nếu và chỉ nếu nó có duy nhất một dưới gradient tại x; trongtrường hợp này ta có ∂f (x) = f0(x)

Định lý 1.2.8 Giả sử f1, f2 là hai hàm lồi trên X sao cho tồn tại mộtđiểm x0 ∈ domf1 ∩ domf2, trong đó f1 liên tục Khi đó, ta có

Thật vậy, nếu x∗ ∈ X∗ thỏa mãn hx∗, xi = kxk2 = kx∗k2, thì với mọi

Qua giới hạn khi k −→ 0+, ta có hx∗, zi ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X Do đó,

|hx∗, zi| ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X Khi đó, cho z = x, ta được

|hx∗, xi| ≤ kxk2 và kx∗k ≤ kxk (1.11)Tiếp theo, trong bất đẳng thức đầu tiên của (1.10), ta cho z = x và k < 0.Khi đó, ta nhận được

Một hàm song liên hợp (biconjugate function) của f, f∗∗ : X −→ R

được định nghĩa như sau:

(8) f∗ là hàm lồi trên domf∗

Mệnh đề 1.2.12 Nếu f : X −→ R là hàm lồi, chính thường và nửa liênetục dưới, thì f∗ cũng là hàm chính thường

Chứng minh Với mọix0 ∈ domf vàε > 0, ta có (x0, f (x0)−ε) /∈ epif

Vì trên đồ thị của hàm f là một tập con lồi đóng trong X × R, nên tồn

tại (x∗0, α) ∈ X∗ ×R sao cho

sup(x,t)∈epif

(hx∗0, xi + αt) < hx∗0, x0i + α(f (x0) − ε) (1.12)

Từ x0 ∈ domf, nên α 6= 0 Hơn nữa, ta có α < 0 (Vì nếu α > 0 thì

vế trái của (1.12) là +∞) Bây giờ, ta có thể giả sử rằng α = −1 Do

(x, f (x)) ∈ epif, nên theo (1.12), ta có

f∗(x∗0) = sup

x∈domf

(hx∗0, xi − f (x)) ≤ hx∗0, x0i − f (x0) + ε,

điều này có nghĩa là x∗0 ∈ domf∗ Mệnh đề được chứng minh.

Mệnh đề 1.2.13 Cho f : X −→ R là hàm chính thường Khi đó,e x∗ ∈

∂f (x) nếu và chỉ nếu

f (x) + f∗(x∗) = hx∗, xi

Bổ đề 1.2.14 (Tính đối ngẫu Fenchel )

Cho hai hàm lồi f, g : X −→ R Khi đó, nếu g là liên tục, thì ta có

infx∈X[f (x) + g(x)] = max

x ∗ ∈X ∗[−f∗(x∗) − g∗(−x∗)]

Định lý 1.2.15 Giả sử f1, f2 : X −→ R là các hàm lồi và f1 là hàmliên tục Khi đó, ta có

Từ Hệ quả 1.1.8 (2) và Mệnh đề 1.2.12, ta suy ra định lý sau:

Định lý 1.2.16 Cho f : X −→ R là một hàm chính thường Khi đó,e

f∗∗ = f nếu và chỉ nếu f là lồi và nửa liên tục dưới

1.3 Không gian Banach trơn

Ta sẽ bắt đầu với định nghĩa và một số chú ý về các không gian Banachtrơn

Định nghĩa 1.3.1 ([4]) Một không gian Banach X (thực hoặc phức)được gọi là trơn nếu với mọi x 6= 0 tồn tại duy nhất một x∗ ∈ X∗ sao cho

kx∗k = 1 và hx∗, xi = kxk

Chú ý 1.3.2 Trong trường hợp X là một không gian Banach phức, ta

sẽ ký hiệu bởi XR, không gian X được xét như một không gian thực

Với mỗi x∗ ∈ X∗, ta ký hiệu bởi Rex∗ ∈ XR∗, hàm thực được định nghĩanhư sau:

hRex∗, xi = Rehx∗, xi, ∀x ∈ X

Khi đó, ta có kx∗k = kRex∗k Hơn nữa, với mọi x∗ ∈ X, ta có

hx∗, xi = hRex∗, xi − ihRex∗, ixi

Suy ra X∗  x∗ 7→ Rex∗ ∈ XR∗ là một phép đẳng cấu, đẳng cự R-tuyếntính (R-linear isometric isomorphism) Từ đó, ta đi đến kết luận rằng mộtkhông gian Banach phứcX là trơn nếu và chỉ nếu XR là trơn Do đó, trongcác phần dưới đây, ta có thể giả thiết rằng X là một không gian Banachthực

Với r > 0 và x0 ∈ X, hình cầu mở và hình cầu đóng được ký hiệu lầnlượt là:

trong (1.13), ta nhận được hx∗, xi ≥ kxk Từ đó, ta có hx∗, xi = kxk và

kx∗k = 1 Mệnh đề được chứng minh

Định lý sau đây được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.3.3

Định lý 1.3.4 X là trơn nếu và chỉ nếu chuẩn là G-khả vi trên X \ {0}.Mệnh đề 1.3.5 X là trơn nếu và chỉ nếu với mọi x 6= 0, tồn tại duynhất một siêu phẳng tựa của hình cầu Skxk(0) tại x.

Định nghĩa 1.3.6 Với τ > 0, ta định nghĩa

ρ(τ ) = 1

2kxk=kyk=1sup (kx + τ yk + kx − τ yk − 2) ;ρ(τ, x) = 1

Định nghĩa 1.3.7 Cho X là một không gian Banach

(1) X được gọi là trơn đều (uniformly smooth) nếu

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng X không trơn Khi đó, tồn tại

1.4 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach

Định nghĩa 1.4.1 ([3], [4]) Cho X là một không gian Banach

(1) Một hàm tăng ngặt và liên tục ϕ : R+ −→ R+, sao cho ϕ(0) = 0

và limt−→+∞ϕ(t) = +∞ được gọi là hàm trọng số (weight function);(2) Ta gọi ánh xạ đối ngẫu trọng số ϕ là ánh xạ J : X −→ 2X∗ đượcđịnh nghĩa bởi

J x = nx∗ ∈ XR∗ | hx∗, xi = kx∗kkxk, kx∗k = ϕ(kxk)o

Ánh xạ đối ngẫu tương ứng với trọng số ϕ(t) = t được gọi là ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc hóa (normalized duality mapping);

(3) Một lựa chọn của ánh xạ đối ngẫu (selection of the duality mapping)

J là một ánh xạ đơn trị eJ : X −→ X∗ thỏa mãn eJ x ∈ J x, với mọi

x ∈ X

Nhận xét 1.4.2 Với mọi x ∈ X, ta có J x 6= 0 Thật vậy, ta xét y =x.ϕ(kxk) Khi đó, theo Định lý Hahn-Banach, tồn tại y∗ ∈ X∗ sao cho

ky∗k = 1 và hy∗, yi = kyk Từ đó, hiển nhiên x∗ = y∗.ϕ(kxk) ∈ J x

Định lý 1.4.3 (Asplund ) ([2], [4]) Nếu J là một ánh xạ đối ngẫu cótrọng số ϕ, thì J x = ∂ψ(kxk) với mọi x ∈ X

Ta sẽ sử dụng kết quả của Bổ đề 1.4.4 dưới đây để chứng minh Định lý1.4.3

Bổ đề 1.4.4 Giả sử ϕ là một trọng số trên R+ và

ψ(t) =

Z t 0ϕ(s)ds

Khi đó, ψ là một hàm lồi trên R+

Chứng minh Định lý 1.4.3 Giả sử x∗ ∈ Jx và y ∈ X sao cho

kyk > kxk Khi đó, theo Bổ đề 1.4.4, ψ là một hàm lồi Thành thử, nhờvào Bổ đề 1.1.14, ta có

Hệ quả 1.4.5 (1) Không gian Banach X là trơn nếu và chỉ nếu mọi

ánh xạ đối ngẫu J có trọng số ϕ là đơn trị Trong trường hợp này, ta có

là một siêu phẳng tựa của hình cầu Skxk(0) tại x

Mệnh đề 1.4.6 ([4]) Cho J là một ánh xạ đối ngẫu được kết hợp với

một hàm trọng số ϕ Khi đó,

(1) Với mọi x ∈ X tập J x là lồi và đóng-yếu* trong X∗;

(2) Ánh xạ J là đơn điệu, nghĩa là

hx∗ − y∗, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ Jx, y∗ ∈ Jy;

(3) J (−x) = −J x, ∀x ∈ X;

(4) J (λx) = ϕ(λkxk)

ϕ(kxk) J x, ∀x ∈ X, λ > 0 Đặc biệt, mỗi lựa chọn của

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc hóa là thuần nhất;

(5) Nếu ϕ−1 là hàm ngược của trọng số ϕ, thì ϕ−1 là một hàm trọng

số Ngoài ra, nếu ta ký hiệu J∗ là ánh xạ đối ngẫu trên X∗ có hàmtrọng số ϕ−1, thì x∗ ∈ Jx bất cứ khi nào x ∈ J∗x∗;

(6) Nếu J1 và J2 là hai ánh xạ đối ngẫu có trọng số lần lượt là ϕ1 và

ϕ2, thì

ϕ2(kxk)J1x = ϕ1(kxk)J2x, ∀x ∈ X

Mệnh đề 1.4.7 (a) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc hóa trong không gianHilbert thực là toán tử đồng nhất;

(b) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc hóa trên một không gian Banach thực X

là tuyến tính nếu và chỉ nếu X là một không gian Hilbert

Mệnh đề 1.4.8 Cho J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc hóa trên X Khi

đó, với mọi x, y ∈ X, các điều kiện sau đây là tương đương:

(a) kxk ≤ kx + kyk, ∀k > 0;

(b) Tồn tại x∗ ∈ Jx sao cho hx∗, yi ≥ 0

Chứng minh (a) =⇒ (b) Với mọi k > 0, x∗k ∈ J(x + ky) và

yk∗ = x

∗ k

ky∗k ≤ 1, hy∗, xi ≥ kxk và hy∗, yi ≥ 0