ôn tập hè cho khối 12

Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai.. Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành

3tan tantan 3

sin sin

α −β

α − β =

α βe) Công thức biến đổi tổng thành tích

Để giải phơng trình lợng giác ta thờng tiến hành theo các bớc sau:

1 Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa

Phơng pháp 1 Xem phơng trình cần giải có thuộc dạng quen thuộc hay không?

Phơng pháp 2: Xem phơng trình cần giải có thể:

+) Đa về phơng trình tích đợc hay không?

+) Có thể đa về phơng trình phụ thuộc vào 1 hàm lợng giác hay không? Nếu đợc ta chọn

ẩn là hàm lợng giác đó

Phơng pháp 3: Sau khi không áp dụng đợc hai phơng pháp trên

Xem phơng trình có thuộc một trong các dạng sau:

+) A2 + B2 = 0+) A + B =0

Giải các phơng trình lợng giác sau

f) cos2x + 9cosx + 5 = 0

h) Giải và biện luận: m.cos2x – 2m + 3 = (2m +3)cosx

Dạng 3 Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c

Dạng 4 Phơng trình đối xứng, phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

-a) 4sin x 3 3 sin 2x 2 cos x 42 + − 2 =

b) sin x 2sin x cos x 3cos x 03 + 2 − 3 =

c) Giải và biện luận m sin x2 +(m 3 cos x m sin x 1 0+ ) 2 + − =

d) 2sin 2x 3 3 sin x cos x− ( + )+ =8 0

e) cos x sin x 3sin 2x 1 0− + − =

f) Xác định m để phơng trình sau có nghiệm: sin x cos x sin x cos x m 0− − + =

về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản

về pt bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài 1: Giải phơng trình lợng giác

2) m(tanx + cotx) = 2cotx

Bài 4: Giải phơng trình lợng giác

1) sinx - cosx =

2

3

1 + , x∈(0; 2π)2) sin2x - 2sinxcosx = 5

nghiệm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3

Bài 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2

x y

sin cos 2

cos 2

− +

+

=

Bài 6: Tìm m để mọi nghiệm của phơng trình sinx + mcosx = 1

-đều là nghiệm của phơng trình

msinx + cosx = m2 ##

đại số hoá ptlgBài 1: Giải phơng trình lợng giác

1) sin2x + 3cos2x + 3cosxsinx =

-2

1sin2x 2) 2 2sin2x - 3sin2x = 2- 6

3) 2sin2x + sin 2x =-1

4) cosx + sinx - 4sin3x = 0

5) sinx(2cosx + sinx) = 2cos2x +1/2

6) 5sinx – 2 = 3(1- sinx)tan2x

Bài 2: Giải phơng trình lợng giác

1) cos2xsin2x + 1 = 0

2) 2- tan2x = 2/ cos2x

3) 4(tanx + cotx) + 3(tan2x + cot2x)=-2

4) tan2x - tanx = 0,5sin2x

5) tan2x + cotx = 4cos2x

Bài 3: Giải phơng trình lợng giác

1) 1+ sin2x = cosx + sinx

2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0

4) sin3x - cos3x = cos2x

5) sin3x + cos3x = cosx + sinx+ sin2x

6)  cosx - sinx + 4sin2x = 1

7) tanx+cotx+cosx+sinx = 2

-x

x sin

1 cos

Bài 4: Giải phơng trình lợng giác

1) 3sin3x - 3cos9x = 1+ 4sin33x

4

x

x x

x

4) 2cos2(6x/5) + 1 = 3cos(8x/5)

1 sin 4 cos 3

6 sin

4

cos

+ +

+ +

x x

x x

6) sin4x +(1+ sinx)4 = 17

-ptlg đa về dạng tíchBài 1: Giải phơng trình lợng giác

1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1

2) (1+ tanx +

x

cos

1) (1+ tanx -

x

cos

1) = 2 3

x

x

tan 1

2 cos

+

6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0

Bài 2: Giải phơng trình lợng giác

1) sin2x + sin22x+ sin23x = 3/2

2) cos23xcos2x - cos2x = 0

3) cos3xcos3x +sin3x sin3x = 2/4

4) cos3xcos3x +sin3x sin3x = cos34x

5) sin4x + cos4x + cos(x-π/4)sin(3x-π/4) = 3/2

x

x x

tan 1

tan 1 2 sin 1 ) 2 sin

1

cos 1

sin1

cos1

4) tan200tanx+ tan400tanx + tan200tan400 =1

5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x

6) tan22x- tan23x- tan25x = tan22xtan23xtan25x

7) ( 3/cosx)- (1/sinx) = 8sinx

Bài 6: Giải phơng trình

1) sin2x + sin2y + sin2(x +y)=9/4

2) tan2x + tan2y + cot2(x +y)=1

Bài 7: Tính các góc của tam giác ABC

không tù thoả mãn

Cos2A + 2 2cosB + 2 2cosC = 3

Ptlg chứa tham sốBài 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm

msin2x + cos2x + sin2x + m = 0

Bài 4: Tìm m để phơng trình có nghiệm

m(tanx - cotx) = tan2x + cot2x

Bài 5: Chứng minh với mọi m, phơng trình sau luôn có nghiệm

1) sin4x + cos4x+m cosxsinx = 1/2

2) (1/cosx)- (1/sinx) = m

Phương phỏp 1: Dựng cỏc cụng thức lượng giỏc đưa về phương trỡnh dạng tớch.

Vớ dụ 1 Giải phương tỡnh: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2cos 2 (1 cos 4 )

22cos 2 cos 2

42

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ 4 Giải phương trình lượng giác: 8 8 17

Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

⇔ (1−cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0

⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng

Giải các phương trình sau:

1 cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:

2

x k= π x= +π n π

2 tanx.sin2x − 2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

8 sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:

sin

2

x x

sin x− 3 cos x=sin cosx x− 3 sin xcosx

12.Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos( sin )

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

14.Giải phương trình: x ) 2 sin x tanx

4 ( sin

Giải

4 (

sin

(cosx≠ 0 ) x )] cosx 2 sin x cosx sinx

2 2 cos(

1

⇔(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔sin2x = 1 hoặc tanx = 1.

15.Giải phương trình: sin 2 cosx( x+ −3) 2 3 osc 3x−3 3 os2c x+8( 3 cosx−sinx)−3 3 0= .

Giải

3

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2sin cos 6sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

⇔ 3 3 sin3x+9sin2 xcos 3 3 sin cosx + x 2 x+cos3 x−cos x = 0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

(3) ⇔ 3 3 tan3 x+8 tan2 x 3 3 tan + x = 0

tan x 0 x kπ

17.Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos( sin )

Giải

-Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8+ ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x)

* 4sin 3 sin x x = 2 cos 2( x−cos 4x) ;

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) :D y= −2 2m (là đường song

song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y t= +2 4t với

k x

-( ) ( )

3 cos5 sin 5 2sin

k k

PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

-I)QUI TẮC ĐẾM

a)Qui tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì công việc đó có m+n cách thực hiện

b)Qui tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành cộng việc

n C

b/ Có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ

III)NHỊ THỨC NIU TƠN

Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn

Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp

Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 có bao nhiêu cách chọn một viên bi ?

Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ?

-Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá , của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật

Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách

CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ

Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :

a Có hai chữ số đôi một khác nhau ?

b Có 3 chữ số đôi một khác nhau ?

c Có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :

a Có hai chữ số đôi một khác nhau

b 3 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 ?

c Có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 ?

Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :

a) Có hai chữ số đôi một khác nhau ?

b) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

c) Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550

Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :

c) Số có 3 chữ số và lớn hơn 250

-Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên :

a) Có 3 chữ số và đôi một khác nhau

b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau là luôn có mặt số 5

CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT

Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau

b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt

Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :

a) Các học sinh ngồi tuỳ ý

b) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn

Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :

a) Bạn C ngồi chính giữa

b)Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút

Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc

a) Có bao nhiêu cách sếp khác nhau

b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau

Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau

Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau

Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ

Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóa học Chọn từ đó ra 4 người

để dự hội thảo khoa học Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Phải có đủ 3 môn

b) Có nhiều nhất 1 nhà toán học và có đủ 3 môn

Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế

Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng

Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu

Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra

Bài 26A : Có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông )

Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi

dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp

Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam

và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :

a) Mọi người đều vui vẻ tham gia

b) Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia

Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Nếu ít nhất hai nữ

SỬ DỤNG KHAI TIỂN NHỊ THỨC NEWTON

Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :

2

1

x x

 + 

  ,

9 2

3

1

x x

 + 

  ,

10 3

2

1

x x

 + 

20 2

1

x x

 + 

Bài 34: Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x)n là 90 Tìm n ?

Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển

20 3

2

2

x x

x x

x x

1

x x

 + 

-Giíi h¹n cña d·y sè

D¹ng 1: Chia cho n cã sè mò cao nhÊt.

Bµi 1: Chia lu«n cho n cã sè mò cao nhÊt.

1)

n n

n n

2

1 2 6

n n

+

+

− 2 2

5

2 1

75

3342

2 3

+

−

++

−

n n

n n n

1 2 lim

n

n

5)

5 3

2 2

2 +

+ +

−

n

n n

6)

7 3

5 4

2 + +

− +

n n

n n

7)

9 6 4

2

4 5

+ +

−

− +

n n

n n n

8)

5

2 3 7

2 +

+

−

n

n n

9)

n n

n n

−

− + 2

3

2

1 2 3

5 1 3 2

2 lim

2 2

3

n

n n

n

11)

n n n

n n

3

11 7

3

3 5

− +

− +

lim

n n

3 2

n n

(2 1) ( 1)

3513lim 3

2

+

−

++

n n

n n

2 2

1 2

2 7 1 lim

2 lim

n

n n

2 3 2

4 +

−

− +

n n

n n

20)

12

8 5 7 lim

n

n n

1 2 lim

4 3 +

+ +

n

n n n

23)

n n n

n n

− +

+ +

1 1

lim

2 +

+

− +

n

n n

25) lim(3n3 − 7n+ 11) 26) lim 2n4 −n2 +n+ 2 27) lim 3 1 + 2n−n3

28) lim 3 n9 + 8n2 − 7

29)

1 2

2 1 lim

2 +

− +

n

n

2 3

1 1

lim

2 +

+

− +

lim

n

n n n

+

2)

2 3

2

4 2

− +

+ + +

n n

n

2 3

2 1

2 2

2

+ +

+ + +

n n

n

4)

2 3

3

+ + +

+ +

+

n n

n

n

5)

2 11

2 1

3 3

3

+ +

+ + +

n n

n

4

1

2 1

2 2 3 3

12

)12(

31

++

−+++

n n

n n

5

1

5

1 5

1 1

3

2

3

2 3

2 1

) 1 2 )(

1 2 (

1

5 3

1 3

) 1 (

1

3 2

1 2 1

1 lim

n

+ +

) 2 2 ( 2

1

6 4

1 4 2

1 lim

n n

Bài 3: Sử dụng định lí 6 - SGK

n

4 3

5 3 7

5 2 3 lim

+

−

n n

5 3 2

5 4 lim

+

−

5 )

3

(

5 )

n n

cos 4 sin 3 lim

+

+

n

n n

1 lim

232lim

+

−

++

−

→ x x

x x

1 5

2

3 5

2

+ +

−

x x

x

Bài 2: Phân tích thành nhân tử.

1)

2 5 3

10 3

2

− +

x x

a x

a

x n n a

) ( lim

a x

a x na a

1 lim

−

− +

−

n nx

x n

x

lim

x x

11

lim

h

x h x

h

3 3 0

1 9)

3

15 2

lim

2

− +

− +

−

x x

6 ) 5 (

1 lim

2 3

−

−+

→ x x

x x x

6 5

6

2 3

2 3

+ +

−

x x x

3 2

1 lim 2

2

− +

− +

5 4)

2

1 5 3 lim

x

1 lim

x

1 1

lim

2 0

− + +

25

3 4

− +

x

x

+

− +

−

→

1 2

1

lim

2 0

10)

4 10 2

3 lim

lim

0

− +

→ (n ∈N, n ≥ 2) 13)

6

2 2 lim

2 4

2 3

1

1 3 2

2

58 3 lim

17)

3 2

1 lim 2

x

−

− +

→

5 5

lim

x

x x

x

−

− +

→

1 1

lim

1

1 2 lim

4)

x

a x a

x

− +

x

1 1

0

+ +

− +

2 3

2 4

2 3

x

7)

23

24

23

x

8)

x

a x a

x

3 3

−

x x x

x

x x

x

x

+

− +

−

→

1 3

1 lim

2 0

Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba)

a)

-x

x

x

1 4 1

lim3

0

− +

2

2 4 lim3

lim3

→ x

x x

Bài 6: Nhân lợng liên hợp (cả tử và mẫu)

lim

3 1 4

2 lim

1 lim

2 3

1 lim

2 3

2 4

lim

2 2

− +

x

3 0

8 1

2

→ (ĐHQG K– A 97) 2)

23

24

23

x

3)

1

75

3 2 3

4)

2 3

2 4

2 3

2 3

1

5 7 lim

2 3

−

− +

x x

x

x x

x

3 0

5 8 4 3

x

7 1 2

lim

− +

x x

3 2

−

x x x

1

; 1

+

=

0

; sin

0

; 1 2

3 2

x x

x

x x

1 0;

x x

x o x

2

; )(

2

; 6

5 )(

2

x mx

x x

x

xf Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = 2

3

; 3

3 1;

5

6

1

; )3 2(

5

x x

x x

x x

x

f T×m limx→1 f(x); limx→3 f(x) 10)

34

1lim 2

4

2 lim

x x

1 3 lim

x x

x x

+ +

1 2

2 3 3 2 lim

x x x

−

− +

1)

x→

x n

nx x

x

!

sin

2 sin

sin tan

a x

a x

b x

b x

c x

x x

x

cos 1 lim

3 0

−

c x

c x

2 2

3 sin 5

lim

1

x x

x

3 cos 2 cos cos

sinsin

22sinlim

x

a x

a x

a x

++

−+

→

2 0

tantan

22tan

lim

x

a x

a x

a

x

++

−+

→

22) lim0cos cos2 .cos

x

cx bx ax

a

−

− +

sin sin

lim

0

) (

tan sin

bx ax

x

25)

x

x x

1 1

a x

)cos(

)cos(

lim

0

−

−+

0

tan sin

lim

x

x x

sin cos

tantan

.tan

lim

x

a x

a x a

x

−

−+

0

4 sin sin 2 sin lim

x

x x x

7 cos 5 cos

1 lim

2 sin sin

∞

→

0

cos 1

lim

x

x x

x

− +

0

sin 1 tan 1 lim

x

x x

x

+

− +

) 1 tan(

2 3 lim

− +

x x

0

2

cos lim

cos 2 2

50) lim 2cos2sin2 11

x x x

x x

sin tan

x

2 cos 1 lim

2 0

−

34

)1sin(

5 sin 7 sin lim