TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A , B sao cho côsin góc... Tìm trên đường thẳng y  những điểm 2 mà

1 PMT

Contents

CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1

A LÝ THUYẾT 1

B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 1

C ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP 5

CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

Cho hàm số y f x  có đồ thị  C

1 Tiếp tuyến của  C tại điểm M x f x 0;  0  có phương trình y f x' 0 x x 0   f x0

với f x là hệ số góc của tiếp tuyến và ' 0 M x f x 0;  0  gọi tiếp điểm (điểm tiếp xúc)

của tiếp tuyến và  C

2 Điều kiện để hai đường y f x  và yg x  tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành

độ x là: 0    

 00  00

f x g x

f x g x









B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: [Chuyên Thái Bình-Thái Bình] Họ parabol  P m :y mx 22m3x m   2 m 0 luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi Đường thẳng d đó đi qua điểm nào dưới

đây?

A 0; 2   B  0; 2 C  1; 8 D 1; 8  

HƯỚNG DẪN GIẢI

Gọi H x y là điểm cố định mà  0; 0  P luôn đi qua m

0 2 0 1 6 0 0 2 0

m x  x   x y   ,  m 0

2 PMT

1

y x

3 PMT

B

; 22

x

4 PMT

Giao điểm 2 tiệm cận là 1; 2

Ví dụ 5: Cho hàm số y x 42x2 có đồ thị là 1  C Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết

tiếp tuyến tiếp xúc với  C tại hai điểm phân biệt

5 PMT

Câu 1: [Lương Văn Chánh - Phú Yên] Cho hàm số 2

2

x y x





 có đồ thị  C Gọi M x y 0; 0 (với x 0 1) là điểm thuộc  C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt

tại A và B sao cho SOIB8SOIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận) Tính

6 PMT

x y x





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc

 C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A , B sao cho côsin góc

7 PMT

Câu 9: Cho hàm số y  x3 3x2 Tìm trên đường thẳng 2  d y  các điểm mà từ đó kẻ : 2

được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị

Câu 10: Cho hàm số y x 42x2 , có đồ thị là 3  C Tìm trên đường thẳng y  những điểm 2

mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C





 có đồ thị  C Biết khoảng cách từ I  1; 2đến tiếp tuyến của

 C tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất?

Câu 12: Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị hàm số  C

tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Khi đó,

khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị  C đến  bằng?

Câu 13: Cho hàm số

3 22

3

x

y  x  x , gọi đồ thị của hàm số là  C Gọi M là một điểm

thuộc  C có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung,

M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại M

A y   9 B y  64 C y  12 D y   8

8 PMT

Câu 14: Cho hàm số

 1 

x y x



Câu 15: Cho hàm số 1

x y x

 



 có đồ thị là  C , đường thẳng : d y  Với mọi x m m ta luôn có

d cắt  C tại 2 điểm phân biệt , A B Gọi k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với 1, 2  C

CÂU 1: LỜI GIẢI

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có dạng d y: y x  0 x x 0y0

Ta có M x y 0; 0   C 0

0 0

22

x y x

Lại có

42

24

22

x

x x

16 8

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

9 PMT

x x

 

   

Bài ra x 0 0 nên x0   4 y0 4 2x0y0  4

CÂU 2: LỜI GIẢI

Vậy đường thẳng d cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt: A  2; 2, B 2; 4 và C 0; 2

Gọi k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của 1, 2  C tại A và B , ta có:

 

k y   , k2y 2  Vậy 9 k k 1 2 81

CÂU 3: LỜI GIẢI

10 PMT

Gọi điểm A a   ; 2  d :y  Đường thẳng đi qua A có dạng 2 yk x a    2

Điều kiện tiếp xúc:

2

2 2

21

21

x

k x a x

k x

a a

 

  

Vậy tổng hai hoành độ là: 2

CÂU 6: LỜI GIẢI

11 PMT

Ta có: y 3x24x m  Giả sử 1 A a a ; 32a2m1a2m là tiếp điểm của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến tại A là: y3a24a m 1 x a  a32a2m1a2m

Do tiếp tuyến qua M 1; 2 nên:  2    3 2  

y y



4310981

m m

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  Tiếp tuyến  đi qua M có dạng yk x m   1 2m

Vì  tiếp xúc với  C nên hệ phương trình

12 PMT

Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2mxm1y m   7 0

Gọi K x y là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua Ta có  0; 0 2mx0m1y0   m 7 0

0 0

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M có dạng: y k x m (  ) 2

 là tiếp tuyến của  C  hệ phương trình sau có nghiệm x:

13 PMT

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C  hệ  * có nghiệm x phân biệt đồng thời  2 có

3 giá trị k khác nhau   3 có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị x thỏa phương trình

 2 có 3 giá trị k khác nhau

5

3(2) 0

có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với  C

CÂU 10: LỜI GIẢI

Gọi M m ; 2 là điểm thuộc đường thẳng y  Phương trình đường thẳng đi qua 2 M m ; 2 có hệ

x     k k , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài

toán Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán

CÂU 11: LỜI GIẢI

14 PMT

0 0

0 2 0

23

11

x

x x

1

x A x

15 PMT

M M M M

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M là y  8

CÂU 14: LỜI GIẢI

16 PMT

CÂU 15: LỜI GIẢI

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C là

1

x

x m x

12

17 PMT

Câu 1: [SGD Nam Định] Cho hàm số 2

2

x y x





 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm

cận của  C Tiếp tuyến của  C cắt hai đường tiệm cận của  C tại hai điểm A , B Giá trị nhỏ

nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng

Câu 2: [CHUYÊN VINH] Cho đồ thị   1

:2

x

C y

x



 và d d là hai tiếp tuyến của 1, 2  C song song

với nhau Khoảng cách lớn nhất giữa d và 1 d là 2

Câu 3: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN] Cho hàm số 2

1

x y x



 có đồ thị  C và điểm

(0; )

A a Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN

đến  C với M , N là các tiếp điểm và MN  Tổng các phần tử của S bằng 4

18 PMT

Câu 5: Gọi  d là tiếp tuyến của đồ thị   2 3

Câu 6: Cho hàm số y x 3ax2bx c , y24x63 có đồ thị  C cắt Oy ở A và có đúng hai

điểm chung với trục Ox là y  và N Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua 1 y x Tính 2

4

x

y  x  , có đồ thị là  C Gọi  d là tiếp tuyến của  C tại điểm M

có hoành độ x a Tìm a để  d cắt lại  C tại hai điểm , E F khác M và trung điểm I của

đoạn EF nằm trên parabol  P :y   x2 4

A a 0 B a  1 C a 2 D a 1

Câu 8: [Toán Học Tuổi Trẻ] Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng :d y mx m   cắt đồ thị 3  C :y2x33x2 tại ba điểm phân biệt A , B , 2 I1; 3 mà tiếp tuyến với  C tại A và tại B vuông góc với nhau Tính tổng các phần tử của S

C y x mx  m x có hai điểm nằm về hai phía của trục tung mà

tiếp tuyến của  C m tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng  d x: 2y  ? 5 0

19 PMT

3

y mx  m x   m x có đồ thị là  C m Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị  C m tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d x: 2y  3 0





 có đồ thị  C và điểm A 0;a Hỏi có tất cả bao

nhiêu giá trị nguyên của a trong đoạn 2018; 2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến

 C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?

Câu 14: [THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa] Cho hàm số 2 1

1

x y x

trên trục tung mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị  C Biết tập hợp các giá trị của

m là nửa khoảng a b Giá trị của a b;  bằng:

20 PMT

y x

24

:

22

x

x x

2

x A x

21 PMT

1

;2

1 1

11

22

x

x x



1 2

1 1

11

022

x

x x y

x x



Khi đó dd d1 , 2  dN d; 1   1

2 1

2214

d d

d

x x

(d) là tiếp tuyến của (C)

 

2

11

2

21

x

kx a x

k x

22 PMT

84

0 0

1

22

x

x x

23 PMT

 d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt 0

  B2x 0 2; 2

Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2; 2 là giao điểm hai đường tiệm cận

Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên  C có hoành độ  C sao cho tiếp tuyến tại đó

tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

0 0

CÂU 6: LỜI GIẢI

Giả sử  C cắt Ox tại M m( ; 0) và ( ; 0)N n cắt Oy tại (0; ) A c

Tiếp tuyến tại y 1 có phương trình: y(3m22am b x m )(  )

Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m32am2bm c  0

24 PMT

Nếu y  là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có 1  C tiếp xúc với Ox tại N Do

CÂU 7: LỜI GIẢI

Phương trình tiếp tuyến  d :

25 PMT

I I

So với điều kiện (*) nhận a 0

CÂU 8: LỜI GIẢI

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và  d : 3 2

Để đường thẳng  d cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có ba nghiệm phân

biệt 2x2    có hai nghiệm phân biệt x m 1 0 x 1

m m

Do tiếp tuyến với  C tại A và tại B vuông góc với nhau nên k k   1 2 1

Với k là hệ số góc tiếp tuyến với 1  C tại A , k là hệ số góc tiếp tuyến với 2  C tại B

26 PMT

CÂU 9: LỜI GIẢI

Ta có yx2x2 1 m x m  

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox Hệ phương trình sau có nghiệm 0

0

y y

2 0

12

x

m x

x m m x

Vậy m 2 hoặc m 1 đồ thị hàm số tiếp xúc Ox lần lượt tại các điểm A 2; 0 , B 1; 0

* Tổng quát: Đồ thị hàm số bậc ba có điểm chung với trục Ox tại điểm A a ; 0 và tiếp xúc với Ox

27 PMT

Do m nguyên dương nên m 1 hoặc m 2

CÂU 11: LỜI GIẢI

Theo bài toán, phương trình   có đúng một nghiệm âm

Nếu m 0 thì    2x    (không thỏa) 2 x 1

Nếu m 0 thì dễ thấy phương trình   có 2 nghiệm là x 1 hay x 2 3m

28 PMT

CÂU 13: LỜI GIẢI

Đường thẳng d đi qua điểm A 0;a , hệ số góc k có phương trình: y kx a 

Để d là tiếp tuyến của  C thì hệ phương trình

2131

x

kx a x

k x

2

;1

x

M x x

2

;1

x

N x x

a

x x a





 Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi

a a

nên trên đoạn 2018; 2018 số giá trị nguyên của a thỏa

yêu cầu bài toán là 2018

CÂU 14: LỜI GIẢI

Hoành độ giao điểm của  d và  C là nghiệm của phương trình 2 1

1

x

x m x

29 PMT

Để  d cắt  C tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình  * phải có hai nghiệm phân biệt

9 241803

Do đó tổng của các giá trị của tất cả các phần tử của S bằng 6

CÂU 15: LỜI GIẢI

x x



  

 

- Gọi  là đường thẳng đi qua M 0;m và có hệ số góc là k  : y kx m 

- Đường thẳng  là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

30 PMT

2

2

12

2

21

Dựa vào BBT ta thấy: phương trình  1 có nghiệm 1 1

Câu 1: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Tìm trên hai nhánh của đồ thị  C , các điểm M , N sao cho các

tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang

Câu 2: Gọi  C m là đồ thị của hàm số yx43m1x23m , 2 m là tham số Tìm các giá trị

dương của tham số m để  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của  C m

tại giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24

31 PMT

Câu 5: (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG) Cho hàm số y x 33xcó đồ thị  C Gọi S là tập hợp

tất cả giá trị thực của k để đường thẳng d y: k x   cắt đồ thị 1 2  C tại ba điểm phân biệt

CÂU 1: LỜI GIẢI

Gọi M m y( ; M), ( ;N n y N) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của  C

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A , B Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C , D

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: yy m x m( ).(  )y M

Vậy mọi điểm M , N thuộc 2 nhánh của  C đều thoả mãn bài toán

CÂU 2: LỜI GIẢI

32 PMT

Phương trình hoành độ giao điểm của  C m và trục hoành là

x43m1x23m (1) 2

Đặt tx2, t Phương trình (1) trở thành : 0 t23m1t3m  (2) 2 0

 C m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 

Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Vì (2) luôn có hai nghiệm là t1, t3m với mọi 2 m và vì m 0 (giả thiết) nên ta có

1 3 m , suy ra với mọi tham số 2 m 0,  C m cắt Ox tại 4 diểm phân biệt và nếu gọi A là

giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là xA 3m 2

Gọi f x x43m1x23m , phương trình tiếp tuyến d của 2  C m tại A là

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì B0 ;6m2 3 m2  Tam giác mà tiếp

tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (vuông tại O ) , theo giả thiết ta có :

33 PMT

CÂU 5: LỜI GIẢI

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và d :

34 PMT

Theo định lý vietè: 1 2

1 2

12