CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - PHẠM MINH TUẤN

- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.. Giá trị cực đại giá trị cực tiểu còn gọi là cực đại cực tiểu và được gọi chung là cực trị của hàm số.. Giá trị a để đồ th

Contents

CHỦ ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1

A LÝ THUYẾT 1

B CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2

 DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 2

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 4

 DẠNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3 12

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 12

2 MỘT SỐ VÍ DỤ 12

C ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP 15

CHỦ ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên trên khoảng  a b (có thể ;

a là  ; b là  ) và điểm x0 a b;

- Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x    f x0 với mọi xx0h x; 0h và xx0 thì

ta nói hàm số f x đạt cực đại tại   x 0

- Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x    f x0 với mọi xx0h x; 0h và xx0 thì

ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại   x 0

2 Chú ý:

- Nếu hàm số y f x  đạt cực đại (cực tiểu) tại x thì 0 x được gọi là điểm cực đại 0

(điểm cực tiểu) của hàm số; f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của  0

hàm số; còn điểm M x f x 0;  0  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ

thị

- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị

cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

- Nếu hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng  a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu ;

tại x thì 0 f x  ' 0 0

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y f x  liên tục trên khoảng Kx0h x; 0h và có đạo hàm

trên K hoặc trên K\ x , với 0 h 0

- Nếu f x  trên khoảng '  0 x0h x; 0 và f x  trên khoảng '  0 x x0; 0h thì x0

là một điểm cực đại của hàm số f x  

- Nếu f x  trên khoảng '  0 x0h x; 0 và f x  trên khoảng '  0 x x0; 0h thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

Định lý 2: Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm cấp 2 trên khoảng x0h x; 0h, với

0

h  Khi đó:

- Nếu f x' 0 0, ''f  x0  thì 0 x là điểm cực tiểu 0

- Nếu f x' 0 0, ''f  x0  thì 0 x0 là điểm cực đại

4 Quỹ tích của các điểm cực trị

Định lý 1: Cho hàm đa thức y P x  , giả sử yax b P x     ' h x khi đó nếu x là 0

điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là y x   0 h x0 và y h x   gọi là

phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

Định lý 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ  

   , 0

u x

v x

  , khi đó nếu x0 là điểm cực trị

của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là      0

0

0

''

u x y

v x

 gọi là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

 Điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ab 0:

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0,c , ; Δ

b B

a

 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác luôn

nằm trên trục Oy

 Chứng minh một số công thức

 Gọi G 0;g , H 0;h , I 0;m và J 0;n lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Sau đây ta sẽ xây dựng các công

thức liên hệ giữa , , , g h m n với , , a b c

 G 0;g là trọng tâm tam giác ABC nên 3gy Ay By C, có nghĩa là

 Do tam giác ABC cân tại A và I 0;m nên IBIC Để I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC thì cần thêm điều kiện

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Tam giác ABC vuông cân tại A b38a 0

332

b S

a

 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 2  

I m , R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

388

J n , r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác ABC

8

b r

b a

O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC b38a4abc 0

Tam giác ABC cùng với O 0; 0 tạo thành hình thoi b22ac 0Tam giác ABC có các điểm cực trị cách đều trục hoành 2

b  ac

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hàm số y x 42ax2a2 Giá trị a để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành a

tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O thoả mãn:

A.a    4; 3 B a    2; 1 C a   1; 0  D a    0;1

Câu 2: Cho hàm số y x 42(a816) x2a22018 Biết rằng  2

0;

I a là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số Bán kính đường tròn đó có giá trị là:

A R  4 B R  2 C R  2018 D R 2018

Câu 3: [THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh] Tìm tất cả các giá trị tham số m sao cho đồ thị

hàm số y x 42m1x2m2 có ba điểm cực trị nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1

lập thành tam giác có diện tích lớn nhất

Câu 9: [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Cho hàm số y x 4mx22m có đồ thị là 1

 C m Tìm tất cả các giá trị của m để  C m có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi

A m  1 2 hoặc m   1 2 B Không có giá trị m

C m  4 2 hoặc m  4 2 D m  2 2 hoặc m  2 2

Câu 10: [THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN] Cho hàm số 4 2

y x  mx   Tìm tất cả các giá m trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa

Câu 15: [Sở Hải Dương] Cho hàm số yx42m4x2  có đồ thị m 5  C m Tìm số thực m

để đồ thị  C m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

m m

b a R

Do đó với điều kiện m 0 hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác cân ABC với A 0;1 ,

Tam giác ABC cân tại A 1

Suy ra toạ độ các điểm cực trị là A0;m2, B m m ; 2m4, Cm m; 2m4

Để bốn điểm A , B , C, O là bốn đỉnh của hình thoi thì trung điểm đường chéo OA thuộc

đường chéo BC

 2

2 4

0 22

2

m loai m

Ta có tam giác ABC cân tại A nên AOBC

Do đó tam giác ABC nhận O làm trực tâm OBAC OB AC 0

Gọi M N lần lượt là giao của , Ox với AB ; AC

2 2

;

;

AMN ABC

d A ox S

Yêu cầu bài toán suy ra

2 12

m m

 Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình ' 0y  có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:   '    '' 

Ví dụ 1: [Trần Hương Đạo-Ninh Bình] Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua

điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x 33mx  cắt đường tròn tâm 2 I 1;1 , bán

kính bằng R  tại hai điểm phân biệt 1 A B, sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn

A

O

C B

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1

2 khi sinAIB 1 AIBI

Gọi H là trung điểm AB ta có:   ,

Ví dụ 2: [Yên Lạc-Vĩnh Phúc] Cho hàm số y  x3 3mx23m  Với giá trị nào của m thì 1

đồ thị hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : d x8y74 0

I

Để A B, đối xứng qua đường thẳng d u AB d 0

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A x y và  1; 1 B x y 2; 2m0 Khi đó hoành độ trung

điểm I của đoạn AB là 1 2

Ví dụ 3: Cho hàm số yx33x2m2 m 1 Gọi S là tập hợp tất cả giá trị của tham số

m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B, sao cho  ABC có diện tích bằng 7, với

cách đều đường thẳng d y: 5x9 Tính tổng tất cả các phần tử của S

A B khác phía với đường thẳng d và có khoảng cách tới d bằng nhau tức là trung điểm I

của AB thuộc đường thẳng d, ta có:

f x  x x x Số điểm cực trị

y x  m x m  có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành một

tứ giác nội tiếp Tìm số phần tử của S

3

213

m    , m  1

C

3

13

Câu 5: [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An] Biết phương trình ax3bx2cx d  với 0 a 0 có

đúng hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số y ax3bx2cx d có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 6: [THPT Sơn Tây - Hà Nội] Cho hàm số 3 2

3

y x  x m , với m là tham số Gọi S là tập

hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 5 diểm cực trị Tổng tất cả các

Câu 9: [THPT An Lão lần 2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Câu 12: [THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội] Cho hàm số y x3mx , 5 m 0 với m là tham số

Hỏi hàm số trên có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

11-A 12-A 13-C 14-A 15-C

CÂU 1: LỜI GIẢI

x x x

Do f x  chỉ đổi dấu khi x đi qua x  3 và x 2 nên hàm số f x có 2 điểm cực trị   x  3

và x 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

Do f x  f x  nếu x 0 và f x  là hàm số chẵn nên hàm số f x  có 3 điểm cực trị x 2, 2

526

m m

m m

m m

    nên tam giác ABC cân tại A

Từ giả thiết suy ra A 120

Gọi H là trung điểm BC, ta có  2

23

CÂU 5: LỜI GIẢI

Vì phương trình ax3bx2cx d  với 0 a 0 có đúng hai nghiệm thực nên đồ thị hàm số

Vậy với a 0đồ thị hàm số y ax3bx2cx d luôn có ba điểm cực trị

CÂU 6: LỜI GIẢI

Đồ thị hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có 5 nghiệm phân

biệt và y đổi dấu qua 5 nghiệm đó, điều này tương đương với x33x2  có ba nghiệm m 0

x x

x

Xét hàm số             



, 0 , 0

CÂU 9: LỜI GIẢI

Do hệ số x2 là số dương và theo yêu cầu đề bài ta có bảng biến thiên như sau:

Cho y 0 có nghiệm  m 1 và  m 1 nên x0    m 1

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x nên 0 0      m 1 2 1 m1

Kết hợp điều kiện để hàm số liên tục trên 0; 2  thì   m 0 m0

Do đó g 1  22018m2   Suy ra hàm số 1 0 m g x luôn có ba cực trị trong đó có hai cực tiểu  

nằm bên dưới trục Ox nên hàm số y f x 2017 có 7 cực trị

CÂU 11: LỜI GIẢI

   thì f x  có nghiệm   0 x  , ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là 0 3

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

x   x  x , ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

Như vậy, các giá trị nguyên của m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là m1; 2; 3; ; 63

Tổng các giá trị nguyên này là: 63 1 63 

Như vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị

CÂU 13: LỜI GIẢI

2 24

m m

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số   4 2 3

1

2

y m x mx  chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

A m  1 B  1 m0

Câu 3: [Chuyên Quang Trung - Bình Phước] Cho hàm số

3

2 3 43

Câu 5: [THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1] Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ

thị hàm số y x 33mx24m3 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là

Câu 6: [THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh] Cho 3   2

y x mx  m  x có hai điểm cực trị là A và B sao cho A , B nằm khác

phía và cách đều đường thẳng y5x Tính tích các phần tử của 9 S

Câu 8: [THPT Kiến An – HP] Cho hàm số 3 2  2  2

yx  x  m  x m có đồ thị là đường cong

 C Biết rằng tồn tại hai số thực m , 1 m2 của tham số m để hai điểm cực trị của  C và hai giao

điểm của  C với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tính 4 4

Câu 9: [THPT Thăng Long – Hà Nội] Cho hàm số f x x3mx  , m là tham số Biết rằng đồ 2

thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a , b , c Tính giá trị biểu thức

1417

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M2m m3;  tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y2x33 2 m1x26m m 1x1  C một tam giác có diện tích

 C Biết đồ thị  C có ba điểm cực trị A , B , C và ABDC là hình thoi trong đó D0; 3 , A 

thuộc trục tung Khi đó m thuộc khoảng nào?

CÂU 1: LỜI GIẢI

Ta xét hai trường hợp sau đây:

TH1: m  1 0 m  1 Khi đó 2 3

2

y x   hàm số chỉ có cực tiểu (x 0) mà không có cực đại m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: m  1 0  m  1 Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có :

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  'y có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang

dương khi x đi qua nghiệm này 

Suy ra g x có   5 điểm cực trị khi và chỉ khi  2 và  3 có hai nghiệm phân biệt khác 4

m m m m

m nguyên dương và m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm

CÂU 3: LỜI GIẢI

Đạo hàm : y x22ax3a, y  0 x22ax3a 0  1

Hàm số có hai cực trị x ,1 x khi 2 y 0 có hai nghiệm phân biệt         0 a 3 a 0

Khi đó x ,1 x là nghiệm pt 2  1 , theo định lý Viet : 1 2

Như vậy y có giá trị lớn nhất bằng 1, đạt được khi CT m 0

CÂU 5: LỜI GIẢI

Ta có: y 3x26mx, 0 0

2

x y

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0 ; 4m3, B m2 ; 0

Ta có I m ; 2m3 là trung điểm của đoạn thẳng AB

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là :d x y  0

Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì:

3

2 3

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0

CÂU 6: LỜI GIẢI

y  x  m x m

Để  C m có đúng hai điểm chung với trục hoành điều kiện là  C m có hai điểm cực trị và một

điểm cực trị nằm trên trục hoành:

  C m có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có hai nghiệm phân biệt m1

  C m có một điểm cực trị nằm trên trục hoành  

m m m

CÂU 8: LỜI GIẢI

Ta có y 3x26x m 2 Ta có 2    9 3m2 6 3m2  nên đồ thị hàm số luôn có hai 3 0

điểm cực trị với  m Gọi x , 1 x là hai nghiệm của 2 y

Vậy hai điểm cực trị là  2   2 

Điểm uốn: y 6x6, y 0  x 1   Vậy điểm uốn y 0 U 1; 0

Ta có, hai điểm cực trị luôn nhận điểm uốn U là trung điểm

    nên T 11 6 2

CÂU 9: LỜI GIẢI

Đồ thị hàm số f x x3mx  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a , 2 b , c

333

CÂU 10: LỜI GIẢI

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A0; 5 ,   B 1; 4 Gọi G là trọng tâm tam giác ABO 

  AIB90o hay AIB vuông tại I

Gọi M là trung điểm AB , ta có M m ; 4 m và 1

2

4

AB IM

  Dấu “ ” xảy ra khi m 0

CÂU 13: LỜI GIẢI

Cách 2: Ta có tam giác ABC vuông tại C nên gọi M là điểm uốn của đồ thị hám số đồng thời là

trung điểm của AB Khi đó tam giác vuông có đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền do vậy

Đường thẳng   tiếp xúc với đường tròn  C khi và chỉ khi d I ,   R 2 1 4 5

Câu 1: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN] Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số

yx  m x  m  có ba điểm cực trị A , B , C sao cho trục hoành chia tam giác ABC

thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ số diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng 4

 có đồ thị  C m Gọi M a b là điểm cực đại của  ;

 C m tương ứng với m m 1 đồng thời cũng là điểm cực tiểu của  C m tương ứng với m m 2

Câu 5: Cho hàm số y x 3m3x22m9x m   với m là tham số thực Có bao nhiêu 6

giá trị m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A B, và khoảng cách từ O đến đường thẳng AB là

lớn nhất

Câu 6: [THPT Bình Minh-Ninh Bình]Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị  C Biết rằng

 C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1x2 x3 thỏa mãn điều kiện 0

Câu 7: [Quốc Học Huế] Cho hàm số f x có đạo hàm:  f x x x2 1 x22mx5  Có tất cả

bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị?  

Câu 8: [THPT Thuận Thành - Bắc Ninh] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

m để đồ thị hàm số y x m 2x2 có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn AB 2 30 Số phần tử của S là

Câu 9: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y x 42mx2 có ba điểm cực trị m

Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn

hơn 1