SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ- PHẠM MINH TUẤN

CÂU 3: LỜI GIẢI Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là.. Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực... Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Tìm

Trang 1

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho hàm số đa thức bậc ba y f x  có đồ thị

đi qua các điểm A 2; 4 , B 3; 9 , C4;16 Các đường thẳng AB , AC , BC lại cắt đồ thị tại lần lượt tại các điểm D , E , F ( D khác A và B , E khác A và C , F khác B và C ) Biết rằng tổng các hoành độ của D , E , F bằng 24 Tính f 0

a

  

Trang 2

Ví dụ 2: (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa) Biết rằng đồ thị hàm số y f x( )ax4bx3cx2dx e

, a b c d e, , , ,  ; a0, b0 cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt Khi đó đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số yf x( )ax4bx3cx2dx e cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt bên

phương trình f x  0 a x x  1x x 2x x 3x x 4 , với x i  i, 1,2,3,4 là các nghiệm

Trang 3

+ Với m 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 0 và x 3

+ Với m  0; 4 phương trình luôn có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3  0; 4

Chứng minh bằng quy nạp ta có: Phương trình k 

f x m với m  0; 4 có 3k nghiệm phân biệt

Ta có f6 x 0  f f 5 x 0  

 

5 5

03

Trang 4

Ví dụ 4: [THPT THÁI PHIÊN] Cho hàm số f x  x x1x2x3x4x5x6x7

Hỏi đồ thị hàm số y f x  cắt trục hoành tại tất cả bao nhiêu điểm phân biệt?

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có f x  có các nghiệm: 0;1; 2; 3; 4; 5;6;7   0

Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn: 0;1 ; 1; 2 ; 2; 3 ; 3; 4 ; 4; 5              ; 5;6 ; 6;7    

Chẳng hạn xét trên đoạn 0;1  thì tồn tại x sao cho: 1      1

    Suy ra x x là một nghiệm của phương trình 1 f x  0

Làm tương tự vậy các khoảng còn lại ta suy ra f x  có 7 nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm 0

số y f x  cắt trục hoành tại 7 điểm phân biệt

Ví dụ 5: (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA) Cho hàm số 4 2

y x  mx m Tập tất cả các giá trị của tham số m là khoảng  a b; để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y   tại bốn điểm phân 3

biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1 Khi

đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây?

A 63  B 63 C 95 D 95 

Trang 5

t t

y x ax bx c có đồ thị  C Giả sử , , a b c

thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện b      Khi đó 1 a c b 1  C cắt trục hoành tại

bao nhiêu điểm phân biệt?

Trang 6

6

PMT

Câu 4: (Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018) Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên dưới đây

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x    f m có ba nghiệm phân biệt

 



 có đồ thị  C Gọi A , B là hai điểm

phân biệt trên đồ thị  C có hoành độ x , 1 x thỏa 2 x1  Giá trị nhỏ nhất của AB là: 1 x2

 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?

A 6 nghiệm B 9 nghiệm C 4 nghiệm D 5 nghiệm Câu 8: [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH] Cho hàm số yf x( )ax3bx2cx d có bảng biến

thiên như sau:

-2 -2

2 2

Trang 7

Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long) Cho hàm số f x x33x2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m để đồ thị hàm số g x  f x  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ? m

0

m m

0

m m

Trang 8

8

PMT

Câu 13: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc) Cho đồ thị  C m :y x 32x2 1 m x m  Tất cả giá trị

của tham số m để  C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa

Câu 15: (THPT Sơn Tây - Hà Nội) Cho hàm số y x 3mx2  x m  C m Hỏi có tất cả bao nhiêu

giá trị của m để đồ thị hàm số  C m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp

      do đó theo nguyên lý của hàm số liên tục, tồn tại các giao

điểm của đồ thị hàm số y x 3ax2bx c với trục hoành trong các khoảng:

 ; 1 ; 1;1 ; 1;   Vậy có 3 giao điểm 

CÂU 2: LỜI GIẢI

Trang 9

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

 PT (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt   1

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Trang 10

m P

01

y x



31

x x

  

  

Lập BBT ta có

Trang 11

2

11

;1

x  x     x t Bấm máy tính ta được 1 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực

Trang 12

d f

Bảng biến thiên của hàm số y f x( ) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x  có bốn nghiệm phân biệt m

Ta có phương trình hoành độ giao điểm x21x29m x 4   

14

m x

Trang 13

13

PMT

Giải phương trình bằng MTBT ta được 4 nghiệm

1 2 3 4

2,1690,1142,454,94

x x x x

 

  

Ta có bảng biến thiên

BBT thiếu giá trị f x tại x  3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 0       , m 4 4 m 0 m      m  3; 2; 1

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài ra

0

tx t

Trang 14

Phương trình hoành độ giao điểm 4   2

Cách 1: Để đường thẳng d cắt đồ thị  C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 thì

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa 0u1u2 4

m m

Cách 2: Phương trình (1) có hai nghiệm u 1 1; u23m  suy ra đường thẳng d cắt đồ thị 1  C

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và

Phương trình hoành độ giao điểm của  C m và trục hoành:

Trang 15

m m

PT hoành độ giao điểm: 3 2  

Phương trình hoành độ giao điểm của  C m và Ox : x3mx2  x m 0

Trang 16

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 Tính giá trị biểu thức:

Câu 5: [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Đường thẳng d y x:  4 cắt đồ thị hàm số

 

y x  mx  m x tại 3 điểm phân biệt A 0; 4 ,B và C sao cho diện tích tam giác MBC

bằng 4, với M 1; 3 Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6: [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Biết đường thẳng y3m1x6m cắt đồ thị hàm 3

số y x 33x2 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại 1

Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

sao cho tam giác IBC có diện tích bằng 4

Trang 17

17

PMT

Câu 8: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc) Cho hàm số y x 32mx23m1x có đồ thị 2  C

Đường thẳng d y:   x 2 cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt A 0; 2 , B và C Với M 3;1 ,

giá trị của tham số m để tam giác MBC có diện tích bằng 2 6 là

Câu 9: (THPT Gia Định - TPHCM) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

y mx cắt đồ thị hàm số y x 33x2mx  tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho 2 AB BC

A m   ; 3 B m    ;  C m    ; 1 D m1; 

Câu 10: [HAI BÀ TRƯNG – HUẾ] Đường thẳng d y x:  4 cắt đồ thị hàm số

 

y x  mx  m x tại 3 điểm phân biệt A 0; 4 ,B và C sao cho diện tích tam giác

MBC bằng 4, với M 1; 3 Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 11: [THPT Chuyên LHP] Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m thỏa mãn phần hình

phẳng hữu hạn giới hạn bởi đồ thị 3 2 2

Do đồ thị hàm số f x x3bx2cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

Trang 18

Do đồ thị hàm số y f x 22018x33.22018x22018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ x1, x2, x3 nên theo định lý vi-et ta có:

1 2 2 3 3 1

1 1 3 2018

3020182

Trang 19

19

PMT

 m 2 2  m   2 (do m  ) 0

Phương trình hoành độ giao điểm là:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C : 3 2  

Trang 20

Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m   2

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Trang 21

Phương trình hoành độ giao điểm của  C m và 3 2    

Hoành độ giao điểm của  C và d là nghiệm của phương trình

Trang 22

  

  

Phương trình hoành độ giao điểm mx x 33x2mx2    2 



    

Ta có AB BC B là trung điểm của AC

Mà phương trình  2 luôn có S  2 2.1, nghĩa là luôn có x Ax C 2x B hay Bluôn là

trung điểm của AC với mọi m 3

Trang 23

23

PMT

Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C : x32mx2m3x  4 4

Với x 0, ta có giao điểm là A 0; 4

d cắt  C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m   2

2

y  x  mx có   9m2   4 0, m R.Suy ra đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị

Trang 24

I m  m m  m là tâm đối xứng của đồ thị

Để 2 phần hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi đồ thị y x 33mx24x m 2 và trục hoành có 1

diện tích bằng nhau thì điểm I phải thuộc trục hoành Hay: 2m3m24m 1 0 (*)

Xét hàm số f m( ) 2m3m24m có 1 f m( ) 6m22m    4 0, m R

Khi đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất

ĐỀ SỐ 3 THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Tìm trên hai nhánh của đồ thị  C , các điểm M , N sao cho các

tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang

Câu 2: Gọi  C m là đồ thị của hàm số yx43m1x23m  , m là tham số Tìm các giá trị 2

dương của tham số m để  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của  C m tại

giao điểm có hoành độ lớn nhất hợp với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 24

Câu 4: [Sở Tiền Giang] Xét đồ thị  C của hàm số yx33ax b  với a , b là các số thực Gọi

M , N là hai điểm phân biệt thuộc  C sao cho tiếp tuyến với  C tại hai điểm đó có hệ số góc

bằng 3 Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1, giá trị nhỏ nhất của a2b2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 3

Trang 25

Gọi M m y( ; M), ( ;N n y N) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của  C

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A , B Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C , D

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: yy m x m( ).(  )y M

Vậy mọi điểm M , N thuộc 2 nhánh của  C đều thoả mãn bài toán

Phương trình hoành độ giao điểm của  C m và trục hoành là

 C m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt  Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 

Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Vì (2) luôn có hai nghiệm là t1, t3m  với mọi m và vì 2 m  (giả thiết) nên ta có 0

1 3 m , suy ra với mọi tham số 2 m  , 0  C m cắt Ox tại 4 diểm phân biệt và nếu gọi A là

giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là xA 3m 2

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì B0 ;6m2 3 m2  Tam giác mà tiếp

tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (vuông tại O ) , theo giả thiết ta có :

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,62 MB