Chuyên đề NC 02 so chinh phuong lớp 6

Chuyên đề nâng cao Số chính phương lớp 6 có hệ thống lý thuyết, bài tập và hướng dẫn giải đầy đủ. Là một trong những chuyên đề quan trọng trong Bộ các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 (Gồm 6 chuyên đề). Tài liệu dành cho giáo viên, phụ huynh và học sinh tham khảo, luyện tập để có kết quả dạy và học tốt hơn.

Trang 1

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Định nghĩa: Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.

Tức là, nếu A là số chính phương thì A k 2 ( k   ).

 Tính chất

1  Số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0; 1; 4; 5; 6; 9 không có chữ

số tận cùng là 2; 3; 7; 8

2  Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên

tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

Chứng minh

Giả sử A k 2 với k  

Phân tích k ra thừa số nguyên tố ta có: k a b c x y  (trong đó: z a , b , c, là các số

nguyên tố đôi một khác nhau và

* , , ;

Khi đó: Aa b c x y z2 a2xb2yc2z

(đpcm).

3  Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

a) Nếu A là một số chính phương, p là số nguyên tố và A p thì A p 2

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

b) Tích của các số chính phương là một số chính phương

c) A ab là số chính phương thì a m p  2, b m q  Đặc biệt, nếu 2 a là số chính phương

thì b cũng là số chính phương.

4  Số các ước của một số chính phương (khác 0 ) là số lẻ Ngược lại, một số có số các ước là lẻ thì số đó là số chính phương

Chứng minh

Gọi A là số tự nhiên khác 0

- Nếu A 1 thì A là số chính phương có một ước.

- Nếu A 1 thì A có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là:

Trang 2

A a b c x y z (a , b , c, là các số nguyên tố đôi một khác nhau)

Þ Số lượng các ước của A là S (x1)(y1)(z1)

a) Nếu A là số chính phương thì x y z, , , là các số chẵn, nên x  , 1 y 1, z 1, là các

số lẻ, do đó S là số lẻ.

b) Đảo lại, nếu S là số lẻ thì ( x1)(y1)(z1) là số lẻ

Þ các thừa số 1x  , y 1, z 1, đều là số lẻ

Þ x y z, , , là các số chẵn.

Đặt x 2x

 , y 2y

 , z 2z

 , ( x, y, z',   ) thì A a b x y c z2

nên A là số chính phương (đpcm)

5  Nếu số A nẵm giữa bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số

chính phương Nghĩa là: nếu

2 ( 1)2

n A n thì A không là số chính phương.

6  Hai đẳng thức thường dùng: a22ab b 2 (a b )2 (1)

2 2 2 ( )2

a  ab b  a b (2)

Chứng minh

Chứng minh đẳng thức (1) Ta có:

a  ab b  a ab  ab b a a b b a b  a b a b   a b

Chứng minh tương tự ta cũng có đẳng thức (2)

a  ab b  a  ab  ab b a a b  b a b  a b a b   a b

Cần chứng minh:

a) Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư là 0 hoặc 1

 Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu

(3 ) 9 3

- Nếu ( )2 2

chia cho 3 dư 1

b) Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Trang 3

 Nếu ( )2 2

- Nếu ( )2 2

chia cho 4 dư 1

Như vậy theo tính chất này ta thấy:

- Một số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

- Một số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1

c)  Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

 Giả sử A=n2 là số chính phương có tận cùng bằng 1

Khi đó n có tận cùng là 1 hoặc 9

TH1: Hai chữ số tận cùng của A là 1a ta có 2 ( )2 2

Vì chữ số hàng chục của 100a+20alà số chẵn nên chữ số hàng chục của 1a là số chẵn.

TH2: Hai chữ số tận cùng của A là 9a ta có

Vì chữ số hàng chục của 100a2+180a+80là số chẵn nên chữ số hàng chục của 9a là số

chẵn

KLC: Số chính phương có tận cùng bằng 1 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

(Chứng minh tương tự với trường hợp chữ số tận cùng là 4; 9)

 Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.

 Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

 Giả sử 2 ( )2

2

Vì chữ số hàng chục của 100a2+100a là chữ số 0 nên chữ số hàng chục của A là 2.

Trang 4

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

I MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG

Dạng 1 Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không

Để chứng minh số A không là số chính phương ta thường sử dụng một trong các cách

sau:

Cách 1: chứng minh chữ số tận cùng của A là một trong các số 2;3; 7; 8

Cách 2: chứng minh A p (với p là số nguyên tố) nhưng A p 2

Cách 3: chứng minh

2 ( 1)2

n A n

Bài 1: Các số sau có phải là số chính phương hay không? Vì sao?

a) A  3 3233320

b) B 1010 8

c) C 100! 7

d) D 1010 5

e) E 101001050 1

Hướng dẫn giải a) Ta có 3 9n với mọi n  nên2 32333209

2 3 20

A

     chia hết cho 3 và chia cho 9 dư 3

Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương.

b) Ta có 1010 có chữ số tận cùng là 8 nên 8 B không phải là số chính phương.

c) Ta có 100! 7 có chữ số tận cùng là 7 nên C không phải là số chính phương.

d) Ta có 1010 có chữ số tận cùng là 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 (vì 5

có hai chữ số tận cùng là 0.5 ) nên D không phải là số chính phương.

e) Ta có 101001050 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 1 nên E không phải là số chính phương

Bài 2: Cho F  31 32333100 Chứng minh rằng 2F 3 không là số chính phương

Hướng dẫn giải

Trang 5

Ta có: F  31 32 333100

Nên 3F 3233343101 3F F 3101 3

Do đó 2F  3 3101 3 3 3  1013100 3  350 23

không là số chính phương, vì 3 không phải là số chính phương

Bài 3: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số H 1234 1112 Số H có thể có 81 ước được không?

Giả sử H có 81 ước

Vì số lượng các ước của H là 81 (là số lẻ) nên H là số chính phương (1)

mặt khác, tổng của các chữ số của H là: 1 2 3   9 (1 0) (1 1) (1 2) 51      Vì

51 3; 51 9  ; nên H chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó H không là số chính phương: mâu thuẫn với (1) !

Vậy H không thể có 81 ước

Bài 4: Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên x và y khác 0 sao cho x2 vày

2

x y là số chính phương

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x y

Khi đó, ta có:

2 2 2 ( 1) ( 1)2

x x  y x  x x x  x 2

  không thể là số chính phương (dấu hiệu số 5)

(nếu x thì chứng minh tương tự ta có y x y 2 không là số chính phương)

Vậy không tồn tại hai số tự nhiên x và y

sao cho

2

x y và x y 2 là số chính phương.

Bài 5: Chứng minh số: n =20042+20032+20022- 20012 Không là số chính phương

Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004 ;2 2003 ;2 2002 ;2 2

2001 lần lượt là 6; 9; 4; 1 Do đó

n có chữ số tận cùng là 8 Nên n không phải là số chính phương.

Bài 6: Các tổng sau có phải là số chính phương không?

c) 10105 d) 10100+1050+1

b, Tổng A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương

c, Ta có: 10108 có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương

Trang 6

d, Ta có: 10105 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương

e, Ta có: 10100 10501 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho

9 nên không là số chính phương

Bài 7: Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương.

C1: Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không

chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90) Do đó số 1234567890không phải là số

chính phương

C2:

- Có thể luận rằng: 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số

tận cùng là 90) Nên 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài 8: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương

Ta thấy tổng các chữ số là 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9 Do đó số này không phải là số chính phương

Bài bổ sung: Tổng các chữ số của 1 số chính phương có thể là 1983 không?

Ta thấy tổng các chữ số là 1983 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9 Do đó số này không phải là số chính phương

Bài 9: Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phương.

Nhận xét:

Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên

Ta thấy: 20032= 401209 ; 20042 = 4016016 Nên 20032<4014025 2004< 2 Chứng

tỏ số 4014025 không phải là số chính phương.

Bài 10: Cho A  22 2324 2 20, chứng minh rằng A +4 không là số chính

phương?

2A =2(2 +2 +2 + + 2 )

Trang 7

21 2 21

2A A- =2 - 2 =2 - 4= A Þ A+ =4 221 không là số chính phương vì có mũ lẻ

Bài 11: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không là số chính phương?

Ta có: 1 2 3 2004 2005+ + + + + =2006.2005: 2 1003.2005= =A

1003.2005 17.59.401.5

A = = Phân tích A ta thấy A không là số chính phương

Bài 12: Chứng minh rằng 20042+20032+20022- 20012không phải là số chính phương

2

2004 có chữ số tận cùng bằng 6; 2

2003 có chữ số tận cùng bằng 9; 2

2002 có chữ số tận cùng bằng 4; 2001 có chữ số tận cùng bằng 1 Khi đó 2 20042+20032+20022- 20012 có chữ số tận cùng bằng 8 nên không là số chính phương

Bài 13: Chứng minh rằng A= + + + +1 3 5 2n- 1là tố chính phương

Tính tổng A ta được:

(1 2 1) 2

2

n

Vậy tổng trên là số chính phương

Dạng 2 Lập số chính phương từ các chữ số đã cho

Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số là 3 ; 6; 8; 8

Gọi A là số chính phương phải tìm

Vì số chính phương không tận cùng bằng 3; 8 nên do đó A phải tận cùng bằng 6

Þ hai chữ số tận cùng của A là 86 hoặc 36

- Nếu A có hai chữ số tận cùng là 86 thì A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

nên A không phải là số chính phương (loại).

- Nếu A có hai chữ số tận cùng là 36 thì A = 8836

Thử lại, ta có: 8836 94 2 là số chính phương

Vậy số cần tìm là 8836

Bổ sung 1: Cho 4 số 0,2,3,4 Tìm số chính phương có 4 chữ số từ 4 số trên

Gọi n2 là số chính phương phải tìm Þ n2 có tận cùng là 0 hoặc 4

Trang 8

Nếu n có tận cùng là 0 thì n2 có hai chữ số tận cùng là 00 (loại)

n có tận cùng là 4 thì n2 có tận cùng là 04, 24, 34

Do n2 là số chính phương nên nếu n2 n4

Þ tận cùng là 04 hoặc 24

Xét các số: 2304; 3204; 3024 chỉ có 2304 là số chính phương.

Bổ sung 2 : Cho 4 số 0,2,3,5 Tìm số chính phương có 4 chữ số từ 4 số trên

Gọi n2 là số chính phương phải tìm n2 là số chính phương nên có tận cùng là 0 hoặc 5 Nếu n có tận cùng là 0 thì n có hai chữ số tận cùng là 00 ( loại)2

Nếu n có tận cùng là 5 Þ n2 có tận cùng là 25

Ta có số cần tìm là 3025

Bổ sung 3 : Cho 4 số 0,2,4,7 Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 số trên.

Gọi n2 là số chính phương cần tìm nên n2 có tận cùng là 0 hoặc 4.

Nếu n có tận cùng là 0 thì n2 có 2 chữ số tận cùng là 00 (loại)

Nếu n có tận cùng là 4 thì n2 có tận cùng là 04; 24; 74

Do n là số chính phương nên nếu chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4 Þ n2 có tận cùng là

04 hoặc 24

Khi đó ta có các số: 2704; 7204; 7024, trong các số trên chỉ có số 2704 là số chính phương

Bài 2: Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không?

Gọi A là số gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6.

Nếu A có chữ số tận cùng là 0 thì A có hai chữ số tận cùng là 60

A

Þ chia hết cho 5 nhưng A không chia hết cho 52 25 (vì 60 25 )

A

Þ không là số chính phương.

- Nếu A có chữ số tận cùng là A Þ A có hai chữ số tận cùng là 06 hoặc 66

A

Þ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, do vậy A không phải là số chính

phương

Vậy A không phải là số chính phương.

Bài 3: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì được một số chính

phương

Trang 9

Gọi số phải tìm là n, ta có 135n a 2 (a  ) hay 3 5n a3  2.

Vì số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n3.5 (k2

k  ).

Vì n là số có hai chữ số nên 10 3.5 k2 99 k2{1;4}

- Nếu k  thì 2 1 n 15

- Nếu k  thì 2 4 n 60.

Vậy số cần tìm là 15 hoặc 60

Bài 4: Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau

Gọi số chính phương cần tìm là n2 aabb ( ,a bÎ ¥ và 1£ £a 9,0£ £b 9)

Ta có n2 aabb1100a11b11(100a b ) 11(99 a a b  ) (1)

(99a a b) :11 (a b) :11 a b 11

Thay a b 11 vào (1) ta được n2 11(99a11) 11 (9 2 a1)

  phải là số chính phương

Ta thấy chỉ có a 7 thì 9a  1 64 8 là số chính phương.2

Vậy a 7 b4 và số cần tìm là: 7744 11 8 2 2 882

Bài 5: Tìm số nguyên tố ab để ab ba- là số chính phương (0< < <b a 9)

Ta có: A =ab ba- =9a- 9b=32(a b- )

Để là số chính phương thì a b- là số chính phương

Mà 1£ -a b£ 8=> -a bÎ { }1;4

 Với a b- = Þ1 abÎ {21;32;43;54;65;76;87;98}

Thấy có 43 là số nguyên tố

 Với a b- = Þ4 abÎ {51;62;73;84;95}

Có 73 là số nguyên tố

Trang 10

Vậy số ab47;73

Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:

a) n2+2n+12 b) n n +( 3)

c) 13n +3 d) n2 + +n 1589

a Vì n2+2n+12 là số chính phương nên đặt n2+2n+12=k2 với (kÎ ¥ )

(n2 2n 1) 11 k2

⇔ 2 ( )2

Nhận xét thấy k+ + > -n 1 k n- 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể

viết (k n+ +1)(k n- - 1 ) =11.1

+ + =

ï î

Vậy n= Þ4 42+2.4+12 3= 6=62

b Đặt n n( +3) =a2 (a Î ¥)

Þ n2+ 3n=a2 ⇔ 4n2+12n=4a2

Û (4n2+ 12 n +9 – 9 ) = 4a2

Û 2 n +3 - 4a =9

Nhận xét thấy 2n+ +3 2a>2n+3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có

thể viết (2n+ +3 2a)(2n+3 – 2a) =9.1

Vậy n =1 , giá trị là 4.

c) Đặt 13n+ =3 y y2 ( Î ¥) Þ 1 3(n– 1) =y2– 16 13Û (n– 1) (= y+4)(y– 4)

( )( )

y+4 y– 4 13M

mà 13 là số nguyên tố nên y + M4 1 3 hoặc – 4 13y M

⇒ y = 13k± 4 với k Î ¥

⇒ 13 – 1(n ) =(13 4 – 16 k± )2 = 13 k(13 8)k±

⇒

2

13 8 1

Vậy

2

13 8 1

(Với k Î ¥

) thì 13 n + 3 là số chính phương.

Trang 11

d) Đặt n2 +n + 1589 = m2 với m Î ¥

Û 2n+1 +6355 4= m

⇔ (2m+2n+1 2 – 2)( m n- 1) =6355

Nhận xét thấy 2m+2n+ >1 2 – 2m n- 1 0> và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết

(2m+2n+1 2 – 2)( m n- 1) =6355.1 1271.5= =205.31 155.41=

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

Bài tập bổ trợ bài 5: Tìm a để các số sau là những số chính phương:

a) a2+ a + 43 b) a +2 81 c) a2+ 31 a + 1984

Kết quả: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728

Bài 5: Tìm số tự nhiên n ³ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + ¼ + !n là một số

chính phương

Với n =! 1.2.3 n

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1 2 là số chính phương

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương

Với n = 3 thì 1! + +2! 3! 1 1.2 1.2.3= + + = =9 32 là số chính phương

Với n ³ 4 ta có 1! 2! 3! 4! 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4+ + + = + + + =33 còn 5!; 6!; ¼; !n đều

tận cùng bởi 0 (lí do: trong tích có tích của hai thừa số 2.5) do đó

1! + 2! + 3! + ¼ + !n có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính

phương

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3

Bài 6: Biết xÎ ¥ và 2 < £ Tìm x sao cho x 9 x x( - 1.) (x x- 1 ) = (x- 2) (xx x- 1)

Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: éêx x( - 1)ùú2= (x- 2) (xx x- 1)

Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương

Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)

Do x là chữ số thỏa mãn 2< £ kết hợp với (1)x 9 ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7

Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762= 5776

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	777,12 KB
File đính kèm	NC 02 So chinh phuong.rar (598 KB)