chuyen de tam thuc bac hai

ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I... CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÔNGCỤ TAM THỨC BẬC HAI I.

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

TỔ TOÁN

-    

CHUYÊN ĐỀ :

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA TAM THỨC BẬC HAI

LÝ THỊ LOAN THẢO

Tháng 5/2008

ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ

I Phương pháp:

Cơ sở của phương pháp là sử dụng sự đánh giá các giá trị của hàm số bằng một trong hai công cụ sau đây của tam thức bậc hai :

( i ) :

( ) 2 ( ) ( )0 ( ) ( )0

x R

Ỵ

( ) 2 ( ) ( )0 ( ) ( )0

x R

Ỵ

(ii) : Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

( );

y =f x " Ỵx R (1) ta biến đổi :

(1) Û g x( ) =[a y x( )] 2 +[b y x c y( )] + ( ) 0 = (*)

TH 1 : Khi a y( ) 0 :¹ $ Ỵx R Û D ³g 0 (2)

TH 2 : Khi a y( ) 0 = Þ y0 là một điểm của tập giá trị (3) ; tương ứng

0

x Ỵ R

Kết hợp (2) và (3), ta được tập giá trị f(R) viết dưới dạng :

0 0

max ( ) ( )

min ( ) ( )

x R

x R

Ỵ

Ỵ

é = =

ê

Þ ê = =

ê

ë

II Bài tập ứng dụng

Bài 1

Cho hàm số : y = f(x) = 4x 2 -4ax + a 2 – 2a, trên tập D = [ -2 ; 0 ] Tìm

a để min ( ) 2 x RỴ f x =

Giải

Để ý rằng đỉnh S của Parabol

(P) : y = f(x) = 4x2 -4ax + a2 – 2a là 0 2

a

x = ta xét ba trường hợp của vị trí xs so với đoạn D = [ -2 ; 0 ] với chú ý rằng : a1 = 4 > 0

TH1 :

Khi : 0 2

a

x = > 0 Û a > 0

Nhìn vào đồ thị, ta có :

2

min ( ) (0) 2 2

x D f x f a a

0

a

a a

é >

ê

ê = +

ë

TH2 :

2

s

a

x = <- Û <-a

Nhìn vào đồ thị, ta có :

2

min ( ) ( 2) 6 16 2

- = - = + + =

2

4

6 14 0

a

a

é

<-ê

Û Û Ỵ Ỉ

ê + + =

ë

TH3 :

2

s

a

Nhìn vào đồ thị, ta có :

min ( ) ( )s 2 2

1 1

a

a a

é- £ £

ê

ê

=-ë

Kết luận a=- 1;a= + 1 3

Bài 2

Tìm GTLN và GTNH của hàm số :

2 2

2 1 ( ) ;

1

+

-= = " Ỵ

- +

Giải

Ta đi tìm GTLN và GTNN của hàm số đặc trưng :

2 2

2 1 ( )

1

+

-= =

- + ; trên R

1

+

- + , ta có :

2

1

+

2

Û = - - + + + = (1) " Ỵx R

Xét tam thức bậc hai F(x0) qua các trường hợp :

TH1 : y0- = Û2 0 y0=2 lúc đó (1) Û - 3x0 + = Û 3 0 x0 = Ỵ 1 R

Do vậy y0 = 2 là một điểm của tập giá trị

TH2 : y ¹0 2 Lúc đó tam thức bậc hai có nghiệm khi :

( ) ( ) ( )

0

2

2

F

y

ïïï

ïïỵ

2

0

y

ỵ

Kết hợp hai trường hợp trên ta có : - £ 1 y0 £ 3

max ( ) 3;

max ( ) 3;

ï

{ }

max ( ) max 3;1 3

x R f x

Ỵ

Þ = =

Để ý rằng :

( ) 0

min ( ) 0 1

f x

f x

ïï

ïïỵ Vậy GTLN f x x RỴ ( ) 3= và GTNN f x x RỴ ( ) 0=

Bài 3

Tìm GTNN của hàm số sau :

2 0

1 ( )

x

= + + ; trên nửa khoảng ( ;o +¥ )

Giải

1

x

2

1

x

Û = + + ( x0 > 0 )

2

ç

÷

Ta cần tìm điều kiện để tam thức bậc hai F(x0) có nghiệm dương muốn thế ta xét :

( ) 4(2 )(1) 8 ( 8)

D = - = - =

-Để ý rằng : 0 0 02 0

0

1 0; 0

x

= + + > " >

3

0 8 0 2

Û D ³ Û - ³ Û ³

2 0

0

0 0

2

F

F

y

y

y

ïï

ïïí

ïï = > " >

ïï

ïïỵ

Vậy tam thức bậc hai F(x0) có nghiệm khi y ³0 2 và lúc đó hai nghiệm đều dương : x0.2³ x0.1> Þ0 max ( ) 2f x =

Bài 4

Cho phương trình với tham số a³ 1 như sau :

x 2 + 2(a-3)x + a - 13 = 0 (1)

Tìm a để nghiệm lớn của phương trình đã cho đạt giá trị lớn nhất

Giải :

Ta có D / = a2 – 7a + 22 =

2

ç - ÷+ > " ³

Phương trình (1) có 2 nghiệm :

2 1

2 2

ê

ê

ë

Xét nghiệm lớn :

2

ỵ

Ta thấy y =- 12 không thoả (*) với mọi a³ 1

1

2

Suy ra GTLN = 6 khi a = 1

Vậy a = 1 thì GTLN của x2 = 6

Bài 5:

Cho f(x) = 2x 2 +2(m+1)x +m 2 + 4m +3 có 2 nghiệm x 1 ,x 2 Tìm GTLN của biểu thức :

1 2 2( 1 2)

A = x x - x +x

Giải :

Điều kiện tồn tại nghiệm x1, x2 là D /³

-Lúc đó:

[ ]

2

2

4 3 2( 1) 2

1 8 7 ; 5; 1

2

+ +

= + +

Þ = + + " Ỵ

-ù Xét :

[ ] [ ]

2

9

2

m

-Vậy GTLN của A là 92

BÀI TẬP :

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

f(x;y) = (x - 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2 ; " "x y;

2 Cho hàm số y =f x( ) = 3x2 - 6x + 2a- 1 ;x Ỵ -[ 2; 3 - ]

Định giá trị của a để giá trị lớn nhất của hàm số lại đạt giá trị nhỏ nhất

3 Cho hàm số y =f x( ) =x2 +(m + 1)2 + 2 x +m- 1

Tìm tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn 3

m2+8m+7

m -7 -5 -1

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÔNG

CỤ TAM THỨC BẬC HAI

I Phương pháp

Cơ sở của phương pháp , muốn chứng minh một bất đẳng thức : A B³

(1) bằng công cụ tam thức bậc hai ta phải thực hiện việc quan sát (1) , để thiết lập một tam thức bậc hai đặc trưng cho (1) là f(x)

Thông thường f(x) được thiết lập cần thỏa :

0

D ³ Û ³

0

D £ Û ³ ….v.v…

0

( ) 0;

0

f

f

a

ì D £

ïï Þ ³ "

íï >

ïỵ

0

( ) 0;

0

f

f

a

ì D £

ïï Þ £ "

íï <

f(x) hoặc Df phải thỏa C ³ D

Mà từ các phương pháp khác ta chứng minh được : A B³ (1)

II Bài tập ứng dụng

Bài 1 :

Chứng minh rằng : , ,"a b c RỴ ; ta có :

(a b c- ) ( - d ) (£ ac bd- )

Giải :

Xét tam thức đặc trưng cho bất đẳng thức (1) như sau :

f x = a - b x - ac bd x- + c - d

2 2 2 2 2

( ) ( )( )

Þ D = - - - - (*)

Mà : f x( ) (= ax c- )2- (bx d- )2 ( luôn có nghiệm ) Þ D ³ 'f 0

(a b c) ( d ) (ac bd)

Bài 2:

Cho a,b,c,d là bốn số thực thoả mãn : b < c < d Chứng minh rằng : (a + b + c + d) 2 > 8(ac + bd)

Giải :

Yêu cầu bài toán tương đương với viêc chứng minh :

(a + b + c + d)2 - 8(ac + bd)> 0 , với b < c < d

Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho bất đẳng thức như sau:

f(a) = a2 + 2(b + c + d – 4c)a + (b + c + d)2 – 8bd

Ta có : D / = (b + c + d – 4c)2 – [(b + c + d)2 – 8bd]

Þ D = -8bc – 8c2 – 8cd + 16c2 + 8bd

/

Þ D = (8bd - 8bc) + (8c2 – 8cd)

/

Þ D = 8b(d – c) + 8c(c – d)

/

Þ D = 8(d - c)(b – c)

Từ b < c < d

/

0 0 0

d c

b c

ì - >

ïï

Þ í

ï - >

ïỵ

Þ D >

Mà a = 1 > 0

Nên f(a) > 0 , với mọi a( với mọi b < c < d)

Suy ra (a + b + c + d)2 - 8(ac + bd)> 0 (đpcm)

Bài 3:

Chứng minh rằng "x y z, , Ỵ ¡ , ta có :

19x 2 + 54y 2 + 16z 2 + 36xy - 16xz – 24yz ³ 0 (1)

Giải :

Ta biến đổi về dạng của tam thức f(x) ( xem y,z như tham số )

( ) 19 4(9 4 ) 54 16 24 0

Û = + - + + - ³

Với /

f

D = -702y2 + 168yz – 240z2 (2)

Để xét dấu /

f

D , ta tính :

/

(2)

D = -16124z2

/

(2)

/

0,

0, ,

f

z

y z

Þ D £ "

Þ D £ "

(vì aDf =- 702 0< )

Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai , ta có :

( ) 0, , ,

f x ³ "x y z ( đpcm)

Đẳng thức xảy ra

2(4 9 ) (*) 19

f

x

ìï D = ïïï

-ï = ïïïỵ Nhưng

/ (2) /

0

0

y

ìï D = ïï

ï

D = Û íï = Û ì ïïí = Þ =

ỵ

Do đó đẳng thức trong (1) xảy ra khi x = y = z = 0

Bài 4:

Cho a , b, c là 3 số dương thoả mãn điều kiện :

a b c ab bc ca

ìï + + =

ïí

ï + + = + +

ïỵ

Chứng minh rằng : a , b , c £ 83

Giải :

Ta chứng minh c £ 83 Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự Đặt S = a+b , P = a.b Ta biến đổi (1) :

2 2 2 8 0 (2) 2 2(1-c)S 2 2 8 0 (4) (1-c)S-P+c =0 (3) (1-c)S-P+c =0 (5)

ï + + - = ï - + - - =

Bằng cách giải phương trình bậc hai (4), ta có :

S=(1-c)+3=4-c

S=(1-c)-3=-c-2 (*)

é

ê

ê

ë

(*) không xảy ra vì S = a+b >0 mà – c - 2 < 0

Thay vào (5) ta được (4) và (5) 24

ì = + = ïï

Û í

ïỵ Suy ra hệ ì + =ïïx y xy c2 4 -4c c 4

íï = - +

( ít nhất một nghiệm là x = a và y =b)

Dẫn đến

(4 ) 4( 4 4) 0 3 8 0

8 ( 3 8) 0 ( 0)

3 8

, ,

3

a b c

- - - + ³ Þ - + ³

Þ - + ³ Þ £ >

Þ £

( vì vai trò của a, b, c ngang nhau trong (1)

Bài 5:

Cho 0 a b c< £ £ Chứng minh rằng : nếu x , y , z là 3 số không âm thì

4

ỉ ư÷ + ç

+ + ççè + + ÷÷ø£ + + (1)

Giải :

Thiết lập tam tam thức bậc hai đặc trưng cho (1) có 2 nghiệm (không âm ) là : a1 =a,a2 =c như sau :

2

Mà b a cỴ [ ]; Þ f b( ) 0 < vì a =1 > 0

2

( ) (2) (y 0)

ac

b y

b

Để ý rằng : f(a) = f(b) = 0

( ) (3) ( ) (4)

ïïï

Þ í

ïïïỵ

Cộng (2) , (3) ,(4) theo vế ta có :

(ax by cz) ac x y z (a c x)( y z) (5)

ç

Theo bất đẳng thức Côsi thì :

+ + + çç + + ÷÷³ + + çç + + ÷÷

Aùp dụng tính chất bắc cầu của (5) và (6) ta được :

ç

4

ç

Bài 6:

Cho n số dương a 1 , a 2 ,…, a n sao cho 0 < £a1 a2 £ £ a n Chứng minh rằng :

1

a a a

Giải :

Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho bất đẳng thức (1) :

f(X) = X2 – (a1+an)X + a1an (có a1,an là các nghiệm)

Để ý rằng với mọi ak Ỵ [a a1 , n] ; k = 1 ; 2 ;3 …; n

2

( )k k ( n) k n 0

f a a a a a a a

1

k

a

( )

1

1

1 ( )

1

1

k

k

k

a

a

a

a

ïï

ïï

ïï

ïï

+ í

ïï

ïï

ïï

ïï

ïïỵ

BÀI TẬP :

1 Cho các số thực a ,b , c không đồng thời bằng 0 thoả mãn :

1

ïí

ïỵ

Chứng minh rằng a b c, , Ỵ -éê 4 43 3; ùú

ê ú

ë û

2 Cho 0£ £x 1;0£ y £ và x + y = 3xy Chứng minh rằng 1

3 4£ x +y £ 8

3 Cho n số 0£ a a1, , ,2 a n £1 Chứng minh rằng :

1+ + + +a a a n ³ 4(a + + +a a n)

4 Cho 3 số thực a,b , c thoả: a3 > 36 và abc = 1 Chứng minh rằng :

2

3

+ + > + +