TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (HAY)

Tìm các điểm x i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.. CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường SơnVậy hàm nghịch biến trên R

CHUYÊN ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Quy tắc:

1 Tìm TXĐ của hàm số

2 Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm x i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập BBT

4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

2

Bài 2 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

3 2

x 100



Bài 3 Chứng minh rằng:

2



1

;1 2

b) Hàm số y x2  x 20 nghịch biến trên khoảng   ; 4 và đồng biến trên

khoảng 5; 

Bài 4 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

6 6

Bài 4 Chứng minh rằng:

a) f x  cos2x 2x 3  nghịch biến trên R

b) f x   x cos x2 đồng biến trên R

Giải:

4



Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

Vậy hàm nghịch biến trên R

4



Vậy hàm đồng biến trên R

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:

1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) đồng biến trên K.

 Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) nghịch biến trên K.

2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức  b2  4ac Ta có:

f (x) 0, x R

0





 



f (x) 0, x R

0





 



3 Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K” Ta thực hiện theo các bước sau:

Hàm số đồng biến trên K f '(x,m) 0, x K    m g(x), x K m g(x)     

Bài 1

3

Giải:

TXĐ: R

Ta có: f '(x)x2 4x 2a 1  ,  2a 5

2

Bài 2

Với giá trị nào của m, hàm số f (x) mx 3 3x2 m 2 x 3   nghịch biến trên R ?

Giải:

TXĐ: R

Ta có: f '(x) 3mx 2  6x m 2 

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi f '(x) 3mx 2  6x m 2 0, x R    

3

9 3m(m 2) 0







 Vậy, với m1 thì thỏa mãn bài toán

Bài 3

Với giá trị nào của m, hàm số  

2

f x

2x 1



của nó

Giải:

2

 

  Đạo hàm:

2

2

f '(x)

2x 1





2

  

Bài 4

x m





Giải:

TXĐ: D R \ m

Đạo hàm:

2 2

y'

x m





2

y' 0, x  m m  1 0  m 1 v m 1

Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 3

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

Bài 5

Giải:

Ta có: y' mx 2  2 m 1 x 3 m 2      

Hàm số đồng trên 2;  y' 0, x 2    mx2  2 m 1 x 3 m 2         0, x 2

2

6 2x



Bài toán trở thành:

6 2x



2

2 2

2

BBT:

x 2 3 6 

f’(x) 0 f(x)

2

3 0

Ta cần có:

 2; 

2

3



Bài 6

Tìm m để hàm số

2

y

x 2



Giải:

Ta có:

2

2

y'

x 2



 Hàm số nghịch biến trên 1;  y' 0, x 1    mx2 4mx 14 0, x 1   

2

14









Ta có:

14(2x 4)





x 1 

f’(x) f(x)

0 14

5



Ta cần có:

 1; 

14

5



5

Bài tập tự giải:

Bài 1 Tìm các giá trị của tham số a để hàm số f x  1x3 ax2 4x + 3

3

Bài 2 Với giá trị nào của m, hàm số y x 2 m

x 1

  

Bài 3 Định a để hàm số 1 2  3   2

3

ĐS: a1 v a 2

Bài 4 Cho hàm số m 1 x 2 2x 1

y

x 1



khoảng xác định của nó

Bài 5 Cho hàm số yx3 m 1 x  2  m2 2 x m  Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m

Bài 6 Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng 0; 

9

Bài 7 Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2)

10

Bài 8 Cho hàm số

2

y

x m



a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; 

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:

 f(x) đồng biến trên đoạn a; b thì  f a  f x  f b , x   a; b

Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 5

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

 f(x) nghịch biến trên đoạn a; b thì  f a  f x  f b , x   a; b

Bài 1

Cho hàm số f x  2sin x tan x 3x 

2







2



Giải:

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0;

2







1

2







Bài 2

a) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x x đồng biến trên nửa khoảng 0;

2





b) Chứng minh rằng

3

x



Giải:

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0;

2







cos x

2



2





Xét hàm số

3 x g(x) tan x x

3

2







2









tan x x, x 0;

2



2







2



3

x



Bài 3

x 1





 , với mọi x > 1

Giải:

x 1





x 1



2

x 1



Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 0; nên cũng đồng biến trên khoảng  1; Vậy ta 

luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1 Đó cũng là điều phải chứng minh

Bài tập tự giải:

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x x, x 0   và sin x 0, x 0  

b)

2 x

2

c)

3 x

6

3 x

6

2



2



2



Bài 2 Cho hàm số f x  4x tan x, x 0;

4



a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;

4



Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 7

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

Bài 3. Chứng minh rằng:

2

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

Bài 1

Cho hàm số f x  2x2 x 2

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2; 

Giải:

a) TXĐ: D2;

x



Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2; 

b) NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì 0 < 11 < 18 nên  c 2;3 sao cho f(c) = 11 Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên 2; nên c

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 2

Cho hàm số f(x) = sin2x + cosx

3



3





b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1, phương trình sin2x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0; 

Giải:

a) Hàm số đã cho liên tục trên 0; và có đạo hàm 

f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), x0;



BBT:

x 0 / 3  y’ + 0 

y 5 / 4

1  1

Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn 0;

3



3





3







4

3



 

  sao cho f(c) = 0 Số c là nghiệm của phương trình sin2x + cosx = m Vì hàm f nghịch biến trên ;

3





trình có nghiệm duy nhất

3



    ta có 1 f x  5

4

m 1;1 Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc 0; 

Bài 3

Giải phương trình: x5 x3  1 3x 4 0   (3)

Giải:

3



3

 

3

2 1 3x

3

 

nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này

Bài 4

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : x 3

Xét hai hàm số f (x) 2 3 x 

 và g(x) x2 8x 14 xác định và liên tục trên  ;3 , ta có:

f '(x) 2 3 x 1 ln 2 0

2 3 x



Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 9

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

Như vậy f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên  ;3 Mặt khác

f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là nghiệm của (4) và đó là nghiệm duy nhất

Bài 5

Giải phương trình: 4(x 2) log (x 3) log (x 2)  2   3   5(x 1) (5)

Giải:

5(x 1)

4(x 2)



 Xét hai hàm số f (x) log (x 3) log (x 2) 2   3  và g(x) 5(x 1)

4(x 2)





tục trên khoảng 3; , ta có:

 f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến

 2

45

4 x 2

Mặt khác ta có f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghiệm của (5) và cũng là nghiệm duy nhất

Bài 5

Giải phương trình: 3.25x 2 3x 10 5 x 2 3 x 0

Giải:

Đặt t = 5x-2 (t > 0) Khi đó:

x 2 2

x 2

1

t













Ta có:



x 2

5

1

3



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 2 log 3 và x 2  5 

Bài 5 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i D-2006) ề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006) ển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006) ại học, Cao đẳng khối D-2006) ọc, Cao đẳng khối D-2006) ẳng khối D-2006) ối D-2006)

a 0

y x a





 Chứng minh hệ trên có nghiệm duy nhất

Giải:

Xét hệ:





với điều kiện xác định x 1, y 1

Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng 1;

Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng 1; và có đạo hàm

f '(x) ex a ex 1 1

x 1 x a 1



Do a > 0 nên với mọi x > -1, ta có:

x a x

0

x 1 x a 1









 Như vậy f’(x) > 0 với mọi x > -1  f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng 1;

1 a x



 

1 x

1 a x



  và x ( 1) lim f (x)

  Vậy, phương trình (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng 1; Từ đó suy ra đpcm

Bài tập tự luyện:

Giải các phương trình sau:

b) x 2 2x 1      3 x 6 4   x 6 2x 1     3 x 2 ĐS: x = 7

ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chú ý Cho f(x) là hàm số liên tục trên T, thì:

a) f x  a với mọi x T  a max f x  

b) f x  a với mọi x T  a min f x  

c) f x  a có nghiệm a min f x  

d) f x  a có nghiệm a max f x  

Bài 1

Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 11

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

Cho phương trình m x2  2x 2 1  x(2 x) 0  Tìm m để phương trình có nghiệm

x0,1 3

Giải:

Xét bất phương trình : m x2  2x 2 1  x(2 x) 0 (1) 

Đặt t  x2  2x 2  x2  2x t 2 2

Ta xác định điều kiện của t :

Xét hàm số t x2 2x 2 với x0,1 3



x 0 1 1 3 t’  0 +

t 2 2

1 Vậy với x0,1 3

Khi đó :



2

m

t 1 với t [1;2]



2

f(t)

t 1 với t [1;2] Ta có:



2

2

Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t[1,2] 

 

t 1;2

2

m max f(t) f(2)

3

Đó là giá trị cần tìm của tham số

Bài 2

Tìm m để phương trình 4 x4  13x m x 1 0    có đúng một nghiệm

Giải:

Ta có: 4 x4 13x m x 1 0     4 x4 13x m 1 x  

4







Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3–6x2–9x–1 ứng với x 1 tại một điểm duy nhất

Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 trên nửa khoảng  ;1

Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)

x – 1

2

 1 f’(x) + 0 

f(x)

3

2

12

 

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

Đó là các giá trị cần tìm của tham số m

Bài 3





Giải:

Ta có:

x 1









Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 13

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

(I) 

2 2

y 2x m

y 2x m

1 x

x



1 x2 x2 2x 1

Xét hàm số

2

1

x

Giới hạn : xlim f (x)    ; limx 0  ; limx 0    và f(1) = 2

BBT :

x – 0 1 f’(x) + +

f(x)

 2

– –

Từ BBT ta thấy :

Yêu cầu bài toán xảy ra khi m > 2 Đó là các giá trị cần tìm của tham số

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

log x log x 1 2m 1 0    có ít nhất một nghiệm thuộc 1;3 3

Giải:

3

t log x 1 Với x1;3 3

  thì t [1;2] Khi đó phương trình đã cho tương đương với : t2  t 2 2m

Bài toán trở thành tìm m để phương trình t2  t 2 2m có nghiệm t [1;2]

Xét hàm số f(t) = t2 + t – 2 với t [1;2] Ta có : f’(x) = 2t + 1 > 0, với mọi t [1;2]

Vậy yêu cầu bài toán xảy ra khi :

x [1;2]min f (x) 2m max f (x)x [1;2] f (1) 2m f (2) 0 2m 4 0 m 2

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

Tìm m để phương trình m 1 x  2  1 x 2 2 2 1 x 4  1 x 2  1 x 2 có nghiệm

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : x [ 1;1] 

Đặt t 1 x 2  1 x 2 Với x [ 1;1]  , ta xác định điều kiện của t như sau :

Xét hàm số t 1 x 2  1 x 2 với x [ 1;1] 

Ta có :

t '

, cho t ' 0  x 0

x  0 11 t’  0 +

t 2 2

0 Vậy với x [ 1;1]  thì t0; 2

2

t 2

 Bài toán trở thành tìm m để phương trình

2

m

t 2



Xét hàm số

2

f (t)

t 2



 với t0; 2

2

2

t 2

 Suy ra : t 0; 2max f (t) f (0) 1, min f (t) ft 0; 2  2 2 1

 

Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy ra khi t 0; 2min f (t) m  t 0; 2max f (t)  2 1 m 1

giá trị cần tìm của tham số

Bài 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)

Tìm m để phương trình x2 mx 2 2x 1   có nghiệm thực phân biệt

Giải:

 

2

2

1 x 2









(*)

NX : x = 0 không phải là nghiệm của (2) Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :

Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 15

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

  2

1 x 2 (*)

m 3 x







 



2

  

Xét hàm số

2

f (x)

x

2

  

 

2

2

BBT :

x – 0 1 f’(x) + +

f(x)

 

9

2 –

2

2

Bài 7 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007)

Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 x    4 2  1 1  có nghiệm

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : x 1

Khi đó :

 

2

4

t

x 1







Khi đó, (2)  3t2 m 2t  3t22t m (3)

Bây giờ bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm t0;1

Xét hàm số f(t) = 3t2 2t trên nửa khoảng 0;1 Ta có : 

f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) = 0 6t 2 0 t 1

3

t 0 1 1 f’(t) + 0 

f(t)

1 3

0 1

3

Bài 8 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007)

Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x2 2x 8  m(x 2) luôn có hai nghiệm thực

Giải:

Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 17

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT Vũ Trường Sơn

Bài 9 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007)

Giải:

Bài 10 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008)

Giải:

Bài tập tự giải

Bài 1 Tìm m để bất phương trình x 4 6 x     x2  2x m đúng với mọi x [ 4;6] 

ĐS : m 6

ĐS : 2 2 2 m 2  

x x y y 1 3m







có nghiệm

4

Trường THPT Long Hải Phước Tỉnh Trang 19