Tính đơn điệu của hàm số

Cơ sở lý thuyết 1... Tìm m để hàm số luôn nghịch biến... Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

Trang 1

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

x y x

2

y x

=

−225

1

52

x y x

+

=

2

31

x y x

=+

− +

=

−12

y x

+

=+

24

22

Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)

I Cơ sở lý thuyết

1 Cho hàm số y= f x( ) xác định và có đạo hàm trên D

* Hàm số đồng biến trên ( , )a b ⊂D khi f x'( ) 0,≥ ∀ ∈x ( , )a b

* Hàm số nghịch biến trên ( , )a b ⊂D khi f x'( ) 0,≤ ∀ ∈x ( , )a b

Trang 2

= <



⇔ ∆ = + ≤



Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số y x m x= 2( − −) m Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

m≥ thì yêu cầu bài toán được thỏa

Cho hàm số y x m x= 2( − −) mx+6 Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

Trang 3

Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Cho hàm số y x= −3 mx2+3x−1 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Vậy: Với 1≤ ≤m 3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số 1 3 1(sin cos ) 2 3 sin 2

y= x − m+ m x + x m Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Lời giải:

TXĐ: D = R

Trang 4

Vậy: Với − 6≤ ≤m 6 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y mx= 3−(2m−1)x2+(m−2)x−2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Trang 5

Lời giải: TXĐ: D = R

Trang 6

* m= ⇒ =1 y' 4x+ ⇒3 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

* m= − ⇒ = > ⇒1 y' 3 0 m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán

Trang 7

+ m = 0 ⇒ ' 0,y ≥ ∀x nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

Hàm số đồng biến trên R khi

2

2 '

Trang 8

Trường hợp 1: m2+5m= ⇔ =0 m 0,m= −5

+ m= ⇒ = > ⇒0 y' 6 0 m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m= − ⇒ = −5 y' 60x+ ⇒6 m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán

x m

−

=+ − luôn đồng biến

Trang 9

Trang 10

Hàm số đồng biến trên R khi ' 0,y ≥ ∀ ≠x m

Trang 11

6

3 2 6

−+

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi 2

Vẽ bảng biến thiên ta có m≤(min ( )−∞,0)g x = − = −g( 1) 3

Kết luận: Với m≤ −3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số y= − +x3 3x2+mx−2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trênkhoảng ( )0; 2

Vẽ bảng biến thiên ta có m≥max ( ) 0(0,2)g x =

Vậy: m≥0 thì điều kiện bài toán được thỏa

Trang 12

Trường hợp 1: m= ⇒ =0 y' 2x− ≥ ⇔ ≥6 0 x 3 nên không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: m≠0

Hàm số đồng biến trên [2;+∞) khi ' 0,y ≥ ∀ ∈ +∞x [2, )

Trang 13

Trang 14

Tam thức g(x) có biệt thức ∆ =' 2(m−2)2 Ta xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1: ∆ = ⇔ = ⇒ ≥ ∀ ≠ − ⇒0 m 2 y' 0, x 1 hàm số đồng biến trên (0;+∞)Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán

Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình

Mặt khác: (1) 2f = nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

b Điều kiện x≥1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình

Trang 15

Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình sau 5x3− +1 32x− = −1 4 x (1)

Trang 16

Trang 17

t

+ = ⇔ + = ⇔ ÷   + ÷÷ =Xét

Mặt khác: f(3) = 0 nên t= ⇔ =3 x 343 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình log5x=log (7 x+2)

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là x>0

Trang 18

Điều kiện xác định của bất phương trình là 2− ≤ ≤x 4

Bất phương trình được viết lại thành 2x3+3x2+6x+16− 4− <x 2 3 (2)

Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên

Điều kiện xác định của phương trình là x≥ −2

Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Điều kiện xác định của bất phương trình x≥ −2

Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

So với điều kiện ta có x>0 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình log2 x+ +1 log3 x+ >9 1

Lời giải

Trang 19

Điều kiện xác định của phương trình là x> −1

(1)⇔ (x−1) + +2 x− >1 (x−3) + +2 3−x

22

t

t t

+

⇒ f(t) đồng biến trên (0;+∞)

Mặt khác: (1)⇔ f x( − >1) f(3− ⇒ − > − ⇔ >x) x 1 3 x x 2

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2< ≤x 3

7x+ +7 7x− +6 2 49x +7x−42 181 14< − x (1)

Lời giải

Trang 20

Điều kiện xác định của bất phương trình 6

7

x≥(1)⇔ 7x+ +7 7x− +6 2 49x2+7x−42 181 14− + x<0

00

x x

Trang 21

Vậy bất phương trình có nghiệm 1 1 17

Điều kiện xác định của hệ phương trình 3− ≤x y, ≤10

Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình

Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình x+ −3 10− =x y+ −3 10−y

Trang 22

Điều kiện của phương trình x≤ ∨ ≥0 x 1

Với điều kiện trên thì (*)⇔x x( − +1) 4 x x( − =1) m (**)

Đặt t= x x( −1), t≥0

Phương trình (**) trở thành t2+ − =4t m 0 có nghiệm t≥0

Trang 23

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NTĐiều kiện trên được thỏa khi m≥ −4

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,26 MB