LƯỢNG GIÁC (HOT)

CHUYÊN ĐỀPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 0: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1... Dạng đẳng cấp thuần nhất theo sinx và cosx : 3.1.. Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa * về phương trình

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 0:

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Bảng giá trị của các góc đặc biệt

Gĩc

GTLG

00 (0)

30 0 6 π

 

 ÷

 

45 0 4 π

 

 ÷

 

60 0 3 π

 

 ÷

 

90 0 2 π

 

 ÷

 

2 Các hệ thức lượng giác cơ bản

 sin2α +cos2α = ∀α ∈1( R)

 α α = ∀α ≠ π ∈ 

tan cot 1 k ,k Z

2

2 2

α

2 2

1 1 cotg k ,k Z sin

Hệ quả:

 sin2α = −1 cos2α, cos2α = −1 sin2α

 tan 1 , tan 1

3 Giá trị các cung, góc liên quan đặc

biệt

“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch π”

3 Công thức lượng giác

 Cơng thức cộng:

 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

 tan(a – b) = tan tan

1 tan tan

− +

a b

a b

 tan(a + b) = tan tan

1 tan tan

+

−

a b

a b

 Cơng thức nhân đơi:

 sin2a = 2sina.cosa ⇒ sin a.cos a = sin2a 1

2

 cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1

= 1 – 2 sin2a

 tan2a = 2

2 tan

1 tan−

a a

 Cơng thức nhân ba:

 sin3a = 3sina – 4sin3a

 cos3a = 4cos3a – 3cosa

 Cơng thức hạ bậc:

 cos2a = 1 cos 2

2

a

+

 sin2a = 1 cos 2

2

a

−

 tg2a =1 cos 2

1 cos 2

a a

− +

 Cơng thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo

tan 2

x

 sinx = 2 2

1

t t

+

 cosx =

2 2

1 1

t t

− +

 tanx = 2 2

1

t t

−

 cotx =

2

1 2

t t

−

 Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

 cos cos 2cos cos

a b a b

a+ b=  +   − 

 cos cos 2sin sin

a b a b

a− b= −  +   − 

 sin sin 2sin cos

a b a b

a+ b=  +   − 

 sin sin 2cos sin

a b a b

a− b=  +   − 

 tan tan sin( ) ( , , )

a b

±

 cot cot sin( ) ( , , )

sin sin

a b

a b a b k k Z

a + b π

 cot cot sin( )( , , )

sin sin

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

 cos cos 1[cos( ) cos( )]

2

a b= a b− + a b+

 sin sin 1[cos( ) cos( )]

2

a b= a b− − a b+

 sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

a b= a b+ + a b−

 sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

b a= a b+ − a b−

PHẦN 1:

CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Hàm số y = sinx

1) Tập xác định D = ¡

2) Tập giá trị là [–1; 1]

3) Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ T =2p

4) Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

2 k 2k

  và nghịch biến trên mỗi khoảng

3

5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ O

2 Hàm số y = cosx

1) Tập xác định D = ¡

2) Tập giá trị là [–1; 1]

3) Là hàm số chẵn, tuần hồn với chu kỳ T =2p

4) Đồng biến trên mỗi khoảng (− +π k2 ; 2π k π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ;π π+k2π),k∈¢

5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy

3 Hàm số y = tanx

1) Tập xác định D \ { k , k }

2

p

= ¡ + pỴ ¢ 2) Tập giá trị là ¡

3) Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ T = p

4) Đồng biến trên mỗi khoảng ; ,

2 k 2 k k

5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng x= +π2 kπ(k∈ )

¢ làm một đường tiệm cận

4 Hàm số y = cotx

1) Miền xác định D = ¡ \ k , k{ pỴ ¢ }

2) Tập giá trị là ¡

3) Là hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ T = p

4) Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ π; +kπ), k∈¢

5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng x k= π(k∈¢ làm một đường tiệm cận.)

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

5 Chu kì của hàm số lượng giác

5.1 Định nghĩa:

Ta nĩi hàm số y = f(x) cĩ chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x).

5

p

= vì:

( 2 )

sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x

5

p

+ = + p = Hơn nữa, T 2

5

p

= là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x cĩ chu kỳ 2p

5.2 Chú ý:

 Hàm số y=sin(ax b+ ) và y=cos(ax b+ ) đều là những hàm số tuần hồn với cùng chu kì T = 2aπ

 Hàm số y=tan(ax b+ ) và y=cot(ax b+ ) đều là những hàm số tuần hồn với cùng chu kì T

a

π

= .

Ví dụ 2:

o Hàm số y = cos7x cĩ chu kỳ T 2

7

p

=

o Hàm số y sinx

3

= cĩ chu kỳ T =6p

o Hàm số y = cotg6x cĩ chu kỳ T

6

p

=

o Hàm số y t gx

3

= cĩ chu kỳ T = 3p

PHẦN 2:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A BIỂU DIỄN CUNG – GÓC LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Nếu cung (hoặc gĩc) lượng giác ¼ AM cĩ số đo là k2

n

p +

a (hoặc 0 k.360

a

n +

o

) với k Ỵ ¢ , n Ỵ ¥+ thì

cĩ n điểm M trên đường trịn lượng giác cách đều nhau.

Ví dụ 1 Nếu sđ ¼AM p3 k2

= + p thì cĩ 1 điểm M tại vị trí p3 (ta chọn k = 0)

Ví dụ 2 Nếu sđ ¼AM k

6

p

= + p thì cĩ 2 điểm M tại các vị trí 6p và 7

6

p (ta chọn k = 0, k = 1)

Ví dụ 3 Nếu sđ ¼AM k2

= + thì cĩ 3 điểm M tại các vị trí 4p, 11

12

p

và 19 12

p (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2)

Ví dụ 4 Tổng hợp hai cung x p6 k

= - + p và x k

3

p

= + p

Giải

Biểu diễn 2 cung x k

6

p

= - + p và x k

3

p

= + p trên đường trịn lượng giác ta được 4 điểm 6- p, 3p, 5

6

p

và 4 3

p cách đều nhau

Vậy cung tổng hợp là: x p3 kp2

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 Phương trình lượng giác cơ bản:

1) cos x = m m( £ 1, m = cosaÛ) cos x = cosa x k2 , k

= a + p é

ê

Û ê = - +ê a p Ỵ Z

2) sin x = m m( £ 1, m = sinaÛ) sin x = sina Û x k2 , k

= a + p é

ê = -p ap

3) t an x = m m( = t an x) Û t an x = t anaÛ x = a + k , kpỴ Z

4) cot x = m m( = cotaÛ) cot x = cotaÛ x = a + k , kpỴ Z

Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ:

1) cos x 0 x p2 k , k

2) cos x = 1Û x = k2 , kpỴ Z

3) cos x = - 1 Û x = p+ k2 , kpỴ Z

4) sin x = 0 Û x = k , kpỴ Z

5) sin x 1 x 2p k2 , k

6) sin x 1 x 2p k2 , k

= - Û = - + pỴ Z

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

7) sin x 12 = ⇔cos x 0= 8) cos x 12 = ⇔sin x 0=

Ví dụ Giải phương trình: (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3) 0

2 cos x 1

-=

Giải

Điều kiện: 2 cos x 1 0 x 2 k2

3

p

Ta cĩ:

1

3

é

=

ê

So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) cĩ họ nghiệm là: x k2 , k

Chú ý: Các họ nghiệm x k2

= - + và x k2

3

p

= p+ cũng là các họ nghiệm của (2)

 Một số dạng phương trình lượng giác:

1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác:

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0

Phương pháp giải tốn:

 Bước 1 Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu cĩ)

 Bước 2 Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 sin x2 + sinx- 2 = 0 (1)

Giải

Đặt t = sinx, 1- ££t 1 ta cĩ:

2

(1) Û 2t + t- 2 = 0 t 1 t 2

2

sin x sinp4

=

Vậy (1) cĩ các họ nghiệm

4

, k 3

4

p

é = + p ê

ë

¢

Ví dụ 2 Giải phương trình cot 32 x−cot 3x− =2 0 (2)

Giải

Đặt t = cot3x, ta cĩ phương trình :

2

3

k x

t t

x

π π

 = +



Vậy (2) cĩ các họ nghiệm là

4 3

k

x= +π π

và 1 cot 2

k

x= arc + π

, k∈¢

Ví dụ 3 Giải phương trình 2

3

2 3t gx 6 0 cos x + - = (3).

Giải

Điều kiện x 2p k

+

¹ p , ta có:

(3) Û 3(1+ t g x)+ 2 3tgx - 6 = 0 Û 3t g x + 2t gx- 3 = 0

Đặt t = tgx, ta được:

3t2 + 2t - 3 = 0 1

3

t gx t g

3 3

= - + p

ë

(thỏa điều kiện) Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau

Vậy (3) có họ nghiệm là x p6 k , kp2

2 Dạng bậc nhất theo sinx và cosx :

asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0)

Phương pháp giải toán:

Cách 1:

 Bước 1 Chia hai vế (*) cho a và đặt b t g

a = a

 Bước 2 Biến đổi (*) Û sin x + t g cos xa = ac Û sin(x + a) = accosa

Cách 2:

 Bước 1 Chia hai vế (*) cho a2 + b2 và đặt: 2a 2 cos , 2b 2 sin

c sin x cos cos x sin

a b

c sin(x )

a b

+

Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

a2 + b2 ³ c2

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 sin x- cosx = 2 (1)

Giải

Cách 1

(1) sin x cos x sin x t g cos x

6

p

sin x( ) 2 cos sin x( ) 1

Cách 2

(1) sin x cos x 1 sin x 1

p

Vậy (1) có họ nghiệm x 2 k2 , k

3

p

= + pÎ ¢

Ví dụ 2 Giải phương trình sin 5x + 3 cos 5x =2 sin 7x (2)

Cách 1

(2) sin 5x t g cos 5x 2 sin 7x

3

p

Û

sin 5x( ) sin 7x 7x 5x2 3 k2

3

p

ê

ë

6 , k

18 6

p

é = + p ê

ê

Cách 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5x

p

3 2

3

p

ê

ê

ë

6 , k

18 6

p

é = + p ê

ê

ê

¢ Vậy (2) có các họ nghiệm

6 , k

18 6

p

é = + p ê

ê = + ê

¢

3 Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx :

3.1 Đẳng cấp bậc hai:

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

Phương pháp giải toán:

Cách 1:

 Bước 1 Kiểm tra x p2 k

= + p có là nghiệm của (*) không

 Bước 2 Với x 2p k

+

¹ p , chia hai vế của (*) cho cos2x ta được: (*) Û atg2x + btgx + c = 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x.

Ví dụ 1 Giải phương trình:

2

( 3 + 1) sin x- ( 3- 1) sin x cos x- 3 = 0 (1)

Giải

Nhận thấy x p2 k

= + p không thỏa (1)

Với x p2 k

+

¹ p , chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

(1) Û ( 3+ 1)t g x- ( 3- 1)t gx- 3(1+ t g x) = 0 Û t g x2 - ( 3- 1)tgx- 3 = 0

t gx 1

4

t gx 3 t gx k

3

p

é = - + p

=

=

Vậy các họ nghiệm của (1) là

4 , k

t gx k

3

p

é = - + p ê

ê

¢

Ví dụ 2 Giải phương trình sin2x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos2x (2)

Giải

(2) 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin

x k

2

é - = - + p é = p

ê

ê = + p

ë

Cách khác:

2

(2) Û sin x + 3 sin x cos x = 0 Û sin x 0

sin x 3 cos x 0

= é ê

ê

x k sin x 0

3

= p é

=

ê

= - ê = - + p

Vậy (2) có các họ nghiệm là

x k

, k 2

3

= p é

ê

Î

ê = + p ê

¢

Chú ý:

Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau

3.2 Đẳng cấp bậc cao:

Phương pháp giải toán:

Cách 1:

 Bước 1 Kiểm tra x p2 k

= + p có là nghiệm của phương trình không

 Bước 2 Với x p2 k

+

¹ p , chia hai vế cho cosnx (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc

n theo tgx

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương

trình tích

Ví dụ 3 Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3)

Giải

Cách 1

Nhận thấy x p2 k

= + p không thỏa (3)

Với x k

2

p

+

¹ p , chia hai vế của (3) cho cos5x ta được:

(3) Û 2+ 2t g x = +1 t g x + t g x(1+ t g x) Û t g x5 - t g x3 - t g x2 + 1= 0

Û (t gx- 1) (t gx2 + 1)(t g x2 + t gx + 1) = 0 t gx 1 x k k

Cách 2

(3) Û cos x(2 cos x- 1) = sin x(1- 2 sin x)

Û cos x cos 2x3 = sin x cos 2x3 Û ê =éêëcos 2xt gx 1= 0 x 4 k2 x k

4

é = +

= + p

Vậy (3) có họ nghiệm là x p4 k , kp2

Chú ý:

2 cos x+ sin x = cos x + sin x Û 2 cos x( 5 + sin x5 ) =(cos x3 + sin x)(cos x3 2 + sin x)2

cos x + sin x- cos x sin x- cos x sin x = 0

4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Phương pháp giải toán:

 Bước 1 Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x( )

4

p + Þ - 2 £ £t 2 và

2

t 1 sin x cos x

2

 Bước 2 Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t.

Chú ý:

Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx

Ví dụ 1 Giải phương trình: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1).

Giải

Đặt t = sinx + cosx Þ - 2 £ £t 2 và sin2x = t2 – 1

Thay vào (1) ta được: t2 + ( 2+ 1)t + 2 = 0 Û t = - 1Út = - 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

(1)

5

3

ê + = - + p ê = - + p

ê

ë

Vậy (1) cĩ các họ nghiệm: x = p+ k2p, x p2 k2

= - + p, x 3 k2

4

p

= - + p (k Ỵ ¢ )

Ví dụ 2 Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2)

Giải

Đặt t = sinx – cosx Þ - 2 £ £t 2 và

2

1 t sin x cos x

2

Thay vào (2) ta được:

2

1 t

6t 6 t 12t 13 0

= -é

- = - Û + - = Û êêê = - (loại)

ê

ê = +p p

ë Vậy (2) cĩ các họ nghiệm x = p+ k2p, x k2

2

p

= - + p (k Ỵ ¢ )

5 Dạng phương trình khác:

Khơng cĩ cách giải tổng quát, tùy từng bài tốn cụ thể ta dùng cơng thức biến đổi để đưa về các dạng đã biết cách giải.

Ví dụ 1 Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1).

Giải

(1) cos 8x cos 6x cos 8x cos 2x

Û

x k

cos 6x cos 2x

4

p

é =

=

= - + p

Vậy (1) cĩ họ nghiệm là x k , kp4

Ví dụ 2 Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2).

Giải

(2) Û 2 sin 3x cos x = 2 sin 3x cos 3x Û sin 3x(cos 3x- cos x) = 0

x k

cos 3x cos x 3x x k2 x k

2

p

é =

ê

Vậy (2) cĩ họ nghiệm là x kp2

= , x k (kp3 )

Ví dụ 3 Giải phương trình sin2x+sin 32 x=2sin 22 x (3)

Giải

( )3 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 cos 2 cos 6 cos 4 2cos 4 cos 2 2cos 4 0

2cos 4 cos 2( 1) 0 cos 4 0 8 4 ,

cos 2 1

k

π



=

cáC DạNG PHƯƠNG TRìNH lợng giác



I Ph ơng trình bậc nhất đối với một hàm số l ợng giác:

Bài 1 Giải các phơng trình sau:

a)

2

1

d)

3

1 4 2

cot  =









 x−π

3









3 3 sin 4 2









+











4

sin 4 2









+











i)

3

1 4









 − π x

j) cosx = 3 sinx

II Ph ơng trình bậc hai đối với một hàm số l ợng giác:

Bài 2 Giải các phơng trình sau:

a) cos 2x +sin 2x +2 cosx +1=0 b) 4 sin 2x +8 cos 2x −9=0 c) sin 2 3x −2 sin 3x −3=0

d) 3 cot 2x −4 cotx + 3=0 e) 1−5 sinx +2 cos 2x =0 f) 0

2

5 cos 4 cos 2x − x + =

2 cos 8 sin

4

5− 2x − 2 x= − h) cos 2x +5 sinx +2=0 i) 2 sin 2x −cos 2x −4 sinx +2=0 k) 9 cos 2x −5 sin 2x −5 cosx +4=0 l) 5 sinx(sinx −1)−cos 2x =3

2 cos 3 3 cos 2

3









−

−











n) 3 cos 2x +2(1+ 2+sinx)sinx −(3+ 2)=0 p) tan 2x +( 3−1)tanx − 3 =0 q) 3 cot 3

sin

3

x Bài 3 Giải các phơng trình sau:

a) sin 4x +cos 4x =sin 2x −2 1 b) cos 2x +sin 2x +sinx =4 1 c) cos 2x +3 sinx =2

CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

5

5 cos

2 tan

2

1 2

= +

−

−

x

15 cot 15 tanx − o x + o = III Ph ơng trình đẳng cấp bậc nhất đối với sinx và cosx:

Bài 4 Giải các phơng trình sau:

a) 3 cos 3x +sin 3x = 2 b) sinx −cosx = 2 c) cosx − 3 sinx =2

d) 3 cosx +sinx =1 e) 3 cosx +4 sinx =5 f) 3 sin 3x − 3 cos 9x =1+4 sin 3 3x

g) cos 7x − 3 sin 7x = − 2 h) 4 sin 3 3x −1=3 sinx − 3 cos 3x

i) cos 2x − 3 sin 2x =1+sin 2x j) 4(sin 4x +cos 4x)+ 3 sin 4x =2

k) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x =1−sin 7x sin 5x

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau:

a)

2 cos sin

cos 2

− +

+

=

x x

x

2 cos sin

1 cos 2 sin

+ +

+ +

=

x x

x x

y

Bài 6 Giải các phơng trình sau:

a) 3 sin 5x−2 cos 5x=3 b)

5

2 cos sin

2 x − x = c) 3 cos 2x =sin 2x +sin 2xd)

sin − = −

IV Ph ơng trình đẳng cấp bậc Hai đối với sinx và cosx:

Bài 7 Giải các phơng trình sau:

a) sin 2x +2 sinxcosx +3 cos 2x −3=0 b) sin 2x −3 sinxcosx +1=0 c)

0 1 sin 2 cos sin

3

cos 2x − x x − 2x − = d) cos 2x −sinxcosx −2 sin 2x −1=0 e)

2 cos cos

sin

sin

f) 4 cos 2x +5 sin 2x −6 sin 2x =4 g) sin 2x +sin 2x +3 cos 2x =3

2 sin cos sin

3 2

3 cos

sin









 + π +

− π

−











x

2

3 sin 2 cos sin

4 2

cos

sin









 π− +

+ π +











x

V Ph ơng trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx:

Bài 8 Giải các phơng trình sau:

a) 3(sinx +cosx)+2 sinxcosx +3=0 b) 2(sinx +cosx)−sinxcosx =1

c) (1+ 2) (sinx +cosx)−2 sinxcosx −(1+ 2)=0 d) 2 sinxcosx −(sinx +cosx)+1=0 e) sin 2x −4(sinx +cosx)+3=0 f) sin 2x=sinx+cosx+1 g) 2 sin 2x −(2− 2) (sinx +cosx −1)=0

Bài 9 Giải các phơng trình sau:

a) sinx −cosx −sinxcosx +1=0 b) 6(sinx −cosx)+sinxcosx +6=0 c)

2

2 cos

sin 3x + 3x =

d) 4−4(sinx −cosx)−sin 2x =0 e) 2 sin 2x −( 6+ 2) (cosx −sinx)=2+ 3

f)

4

3 cos

2

1 1 cos sin 3 + 3 = −

Bài 10 Giải các phơng trình sau:

a) ( )( )

2

2 cos

sin cos sin

1− x x x + x = b) x x sin 2x

2

3 cos sin

c) 2 sin 2x −2(sinx +cosx)+1=0 d) sinxcosx+2 sinx+2 cosx=2 e) 1+tanx =2 2 sinx

f) sinx−cosx+7 sin 2x=1 g) ( x x)2 x 2x

sin 2 tan cos

sin − + =

2

1 2 cos 2 sin 2

3 2 cos 2

2

1 sin cos

sin

Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c



Bµi 1: T×m c¸c nghiÖm x∈(0;2π) cña ph¬ng tr×nh: sin x cos x

x cos 1

x sin x sin

+

=

−

−

Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 cos x−sin x =1

Bµi 3: T×m c¸c nghiÖm 









2

2

7 x cos 3 2

5 x









−











Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh

4 x sin









b

x 4 sin

2 x sin

1 x cos

c tg 2 x tg 2 x tg 2 5 x=tg 2 x−tg 2 x+tg 2 5 x

x cos x cos

gx cot x cos

−









=

2

17 sin x cos x

Bµi 5: T×m tæng c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau: x [ ]1 ; 70

x cos

1 x cos x cos x tg x

Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh

2

x sin 1 x sin x tg x

sin

x cos 2

x sin

2 2

4 4

+

+

=

−

− +

16

17 x sin x sin 8 + 8 = 2 c 2 cos 3 x+cos x+sin x=0

d 4 cos x−cos x−cos 4 x=1 e

x 4 sin

2 tgx 2 gx cot tgx

Bµi 7: T×m mäi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: sin x tg x+ 3(sin x− 3 tg x)=3 3 tho¶ m·n bÊt ph¬ng tr×nh

0

x

log

2

2

+

Bµi 8: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh

a cos 10 x+2 cos 2 x+6 cos x cos x=cos x+8 cos x cos 3 x

b sin 4 x cos 4 x 4 = 4 1









+









=

− +

2

x 4 cos 2 x sin 2

x cos x sin 2

x sin

d cos x−cos x+4 (3 sin x−4 sin 3 x+1)=0

e tgx tg 3 x tg 5 x=tgx−tg 3 x−tg 5 x

f cos x+2 sin x−cos x =1+2 sin x−cos x

Bµi 9: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh

x cos x cos x cos

x sin x sin x sin

= +

+

+

1 1

x cos x sin 2

x sin x sin 2 3 x sin 2

=

−

+

− +