Tìm giá trị nguyên của biểu thức

ví dụ: VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a... Cách giải: Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai của ẩn x hoặc y.. Từ đó ta tìm được điều kiện của tham số.. V

CHUYÊN ĐỀ 2

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

A CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP:

Phương pháp 1: Đưa phương trình nghiệm nguyên về dạng: ax + by = c (1)

1 Cách giải:

Bước 1: Rút ẩn x theo ẩn y ( hoặc ẩn y theo ẩn x )

X = c by

a



Bước 2: Chia tử cho mẫu và đưa về dạng: x = f(y) + g y( )

a

Bước 3: Dựa vào điều kiện nguyên của x và tính chất chất chia hết ta suy ra g(y) chia hết cho a hay a là ước của g(y) để tìm nghiệm nguyên y

Bước 4: Thay y vào x ta tìm được nghệm nguyên của (1)

2 Ví dụ:

VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

2x + 5y = 7

Giải:

a ta có: 2x + 5y = 7 2x = 7 - 5y x = 7 5

2

y



= 3 - 2y +1

2

y



Do x, y nguyên nên 1

2

y



có giá trị nguyên Đặt 1

2

y



= t ( t  Z )

 1 - y = 2t  y = 1 - 2t

Thay y = 1 - 2t vào x ta được: x = 3 - 2.( 1 - 2t ) + 1 (1 2 )

2

t

 

= 1 + 5t

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 2x + 5y là 5 1

1 2

x t





 

 VD2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 7y = 112

Ta có: 5x + 7y = 112 x = 112 7

5

y

22

5

y

Do x, y nguyên nên 2 2

5

y



có giá trị nguyên

 (2 - 2y) 5 hay 2( 1- y )  5

mà ƯC(2,5) = 1 nên (1 - y)  5 hay (y - 1)  5 Đặt y - 1 = 5t ( t  Z )

 y = 5t + 1 thay vào x ta được x = 21 - 7t

vì x, y nguyên dương nên x > 0, y > 0

1

5

3

t

t



< t < 3

 t = 0, 1, 2

Với t = 0  x = 21 ; y = 1

t = 1  x = 14 ; y = 6

t = 2  x = 7 ; y = 11

Vậy nghiệm của phương trình là ( x = 21 ; y = 1 ), ( x = 14 ; y = 6 ), (x = 7 ; y = 11 )

Phương pháp 2: Phương trình nghiệm nguyên đưa được về dạng: A(x 1 ,x 2, ., x n ) B(x 1 ,x 2 , ,x n ) = a (2)

Với a  Z

1 Cách giải:

Đặt A(x1,x2, .,xn) = t với t là ước của a

 B(x1,x2, ,xn) =a

t

Giải hệ phương trình:

A(x1,x2, ,xn) = t

a B(x1,x2, ,xn) =

t









Ta tìm được x1,x2, .,xn và thay vào (2) ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình (2)

2 Ví dụ:

VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 - y2 = 1987

Giải: x2 - y2 = 1987 ( x - y )( x + y ) = 1987

Vì 1987 là số nguyên tố nên chỉ có thể xãy ra:

( x - y )( x + y ) = 1 1987 = 1987 1 = (-1) (-1987) = (-1987) (-1)

Vậy có 4 cặp số là 4 nghiệm của các hệ phương trình:

1 1987

x y

x y

 





 



994 993

x y





 











Vậy phương trình x2 - y2 = 1987 có 4 nghiệm: (x = 994; y = 993), (x = 994; y = -993)

(x = -994; y = -993), (x = -994; y = 993)

VD2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x - y + 2xy = 6

Giải:

Ta có: x - y + 2xy = 6 2x - 2y + 4xy = 12

2x - 2y + 4xy - 1 = 11

2x - 1 + 2y(2x - 1) = 11

(2x - 1)((1 + 2y) = 11

Vì 11 là số nguyên tố nên chỉ có thể xãy ra (2x - 1)((1 + 2y) = 1.11 = 11.1 = (-1) (-11) = (-11) (-1) Vậy có 4 cặp số là 4 nghiệm của các hệ phương trình:













      





Vậy phương trình x - y + 2xy = 6 có 4 nghiệm (x = 1; y = 5), (x = 6; y = 0) (x = 0; y = -6), (x = -5; y = -1)

Lưu ý: Nếu A(x 1 ,x 2, ., x n ) B(x 1 ,x 2 , ,x n ) = 0 A(x1,x2, ,xn) = 0

B(x1,x2, ,xn) = 0



 



Phương pháp 3: Phương trình nghiệm nguyên đưa được về dạng:

[An(x1,x2, ,xn)]2 + [A2(x1,x2, ,xn)]2 + + [An(x1,x2, ,xn)]2 = 0 (3)

1 Cách giải:

vì [An(x1,x2, ,xn)]2  0 [A2(x1,x2, ,xn)]2  0

[An(x1,x2, ,xn)]2  0 Nên vế trái của (3)  0 Do vậy phương trình (3) chỉ xãy ra khi và chỉ khi

2 2

2

[An(x1,x2, ,xn)] = 0

[A2(x1,x2, ,xn)] = 0

[An(x1,x2, ,xn)] = 0



















(I)

Giải hệ phương trình (I) ta được nghiệm của phương trình (3)

2 ví dụ:

VD1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a 5y2 - 12y + x2 - 2x( y - 2 ) = -8

b (x - 1)(y + 1) = (x + y)2

c x2 + y2 - x - y = 8 Giải:

a 5y2 - 12y + x2 - 2x( y - 2 ) = -8  5y2 - 12y + x2 - 2x( y - 2 ) + 8 = 0

4y2 - 8y + 4 + x2 - 2x(y - 2) + y2 - 4y + 4 = 0

(2y - 2)2 + x2 - 2x(y - 2) + (y - 2)2 = 0

(2y - 2)2 + [x - (y - 2)]2 = 0



 Vậy nghiệm nguyên của phương trình 5y2 - 12y + x2 - 2x( y - 2 ) = -8 là (x = -1 ;y = 1)

b (x - 1)(y + 1) = (x + y)2  (x + y)2 - (x - 1)(y + 1) = 0 [(x - 1) + (y + 1)]2 - (x - 1)(y + 1) = 0

(x - 1)2 + (y + 1)2 + 2(x - 1)(y + 1) - (x - 1)(y + 1) = 0 (x - 1)2 + (y + 1)2 + (x - 1)(y + 1) = 0

(x - 1)2 + 2.(x - 1) 1

2

y 

+

2

1 2

y 

  +

2

3( 1) 4

y 

= 0

[(x - 1) + 1

2

y 

]2 + 3

4(y + 1)2 = 0

1

1

y

x

y



 



Vậy nghiệm nguyên của phương trình (x - 1)(y + 1) = (x + y)2 là (x = 1; y = -1)

c x2 + y2 - x - y = 8 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 4x2 - 4x +1 + 4y2 - 4y + 1 = 32 + 2

(2x - 1)2 + (2y - 1)2 = 34 (*)

Vì x nguyên nên vế trái là tổng của hai số chính phương Vậy 34 có dạng

a2 + b2 = 34 trong đó a < 6, b < 6 Lần lượt thử chọn các giá trị của a, b ta thấy

34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương là 32 và 52

Do đó (*)  (2x - 1)2 + (2y - 1)2 = 32 + 52 hoặc (2x - 1)2 + (2y - 1)2 = 52 +32

(2 1) 3 (2 1) 5

x y

 



hoặc

(2 1) 5 (2 1) 3

x y





2 1 3

x y



 

 



(I) hoặc 2 1 5

x y





 

Giải hệ (I) và (II) ta được nghiệm của phương trình x2 + y2 - x - y = 8 là

(x ; y) = (2 ; 3), (2;-2),(3;-1), (3 ; 2), (-1;3), (-1 ; -2), (-2 ; -1), (-2;2)

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2

1 Cách giải:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai của ẩn x hoặc y

và xem các ẩn còn lại là tham số

Ví dụ dạng x2 - 2x(5y - 3) + y2 -2y = 0 ta xem y là tham số, ẩn là x

Bước 2: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, nghĩa là phương trình bậc 2 chỉ có nghiệm  ( hoặc  ')  0 Từ đó ta tìm được điều kiện của tham số

Bước 3: Dựa vào điều kiện x, y nguyên nên ta tìm x, y với ( hoặc  ') = n2 (  hoặc  ' là số chính phương )

2 Ví dụ:

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

a 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) (1)

b 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (2) Giải:

a 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 -28x = 0 xem phương trình ẩn là y ta có: ' = (3x - 14)2 - 3(12x2 - 28x

= 196 - 27x2 Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì '  0 196 - 27x2  0

 x2  196

27

Do x nguyên nên x = 0, 1, -1, 2, -2

Do y nguyên nên ' là số chính phương Lần lượt thay các giá trị của x vào ' ta có:

x = 0  ' = 196 ( thỏa mãn số chính phương)

x = 1  ' = 169 ( thỏa mãn số chính phương ) Khi đó: x = 0  y = o hoặc x = 1  y = 8 hoặc x = -1  y = 10

Thử lại ta được nghiệm nguyên của phương trình (1) là

(x = 0 ; y = o), (x = 1 ; y = 8), (x = -1 ; y = 10)

b 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 = 0

Giải phương trình bậc 2 ẩn y ta có:

' = (2x + 1)2 - (3x2 + 4x - 5) = x2 - 4 Suy ra y = -(2x + 1)  x 2 4

Do x, y nguyên nên 2

4

x  nguyên hay x2 - 4 là số chính phương Suy ra x2 - 4 = n2 ( n  Z )

x2 - n2 = 4 (x - n)(x + n) = 4

2

x n

x n

 





 



2

x n

x n

  





  



 x = 2 hoặc x = -2 Với x = 2  y = -(2.2 + 1)  0 = -5 Với x = -2  y = -[2.(-2) + 1] - 0 = 3 Vậy phương trình (2) có nghiệm nguyên là: (x = 2 ; y = -5), (x = -2 ; y = 3)

Phương pháp 5: Biến đổi phương trình về dạng [A(x 1 , x 2 , , x n )] 2 = B(x) (5)

1 Cách giải:

Nhận xét: Vế trái = [A(x1, x2, , xn)]2  0 Suy ra vế phải = B(x)  0

Từ đó suy ra các giá trị của x Thay vào phương trình (5) ta tìm được y tương ứng

2 Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên

x2 - xy + y2 = 3 Giải: x2 - xy + y2 = 3  x2 - 2.x

2 2

3

y y

y

  = 3 

2

2

3 3

y

vì vế trái bằng

2

0 2

y x

  nên vế phải bằng 3 2

3

4y

  0

4 y  y  4 y    4 y4

Vì y nguyên nên y =     4; 3; 2; 1; 0 Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình x2 - xy + y2 = 3 ta có:

Với x = 4;3;0 phương trình x2 - xy + y2 = 3 vô nghiệm

x =   2; 1;0 ta được các nghiệm nguyên của phương trình x2 - xy + y2 = 3 là: (x ; y) = (-1 ; -2), (1 ; 2), (-2 ; -1), (2 ; 1), (-1 ; 1), (1 ; -1)

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1 Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

a 3x - 2y = 6

b 5x2 + y2 - 8xy - 4x = -4

c x2 + y2 + z2 = x(y + z)

d (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y

e xy - 2x - 3y + 1 = 0

Gợi ý: b Chuyển thành dạng A x 2 + B x 2 = 0

c biến đổi thành dạng A(x,y) 2 + B(y,z) 2 + C(y) 2 + D(z) 2 = 0

d Chuyển về dạng A(y) B(x) = m

2 Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:

a (3x - y)(5x + 3y) = 1

b (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Chú ý: b 3x + 4y > x + 2y  3 ( vì x, y nguyên dương )

3 Giải phương trình : x2(x + 2y) - y2(y + 2x) = 1991 với x, y  N

Gợi ý: Phân tích vế trái thành tích A(x, y) B(x, y) = 1991

4 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

(x + 2y)(3x + 7y) = 216

Gợi ý: Đặt x + 2y = A; 3x + 7y = B

Rút x, y theo A, B

Từ x, y nguyên dương ta lập hệ bất phương trình theo A, B và giải

5.Tìm nghiệm nguyên của phương trình

a x2 - 4xy + 5y2 = 169

b x2- (y + 5)x + 5y + 2 = 0

c 6x2 + 5y2 =74

Gợi ý:

a Đưa về dạng tổng [A(x,y)] 2 + B(y) 2 = m 2

b Xem x là ẩn của phương trình bậc hai Giả sử phương trình có nghiệm và áp dụng hệ thức vi-et để giải

c Sử dụng tính chẳn lẻ: vế phải số chẳn suy ra vế trái số chẳn