Bài toán tìm cực trị của biểu thức nhiều biến là bài toán khó nhất trong các đề thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia, phần lớn học sinh không giải quyết được, nguyên nhân chính là vì dạng toán này quá khó chỉ có một phần nhỏ có thể làm được, tuy nhiên nếu giáo viên hướng dẫn cho học sinh một cách hệ thống và phương pháp rõ ràng, tôi tin rằng sẽ có nhiều học sinh làm được bài toán này.
Trang 11. M Đ UỞ Ầ
Lý do ch n đ tàiọ ề
Trong nh ng năm qua trữ ường THPT Nh Thanh r t coi tr ng vi c b iư ấ ọ ệ ồ
dưỡng, nâng cao năng l c nghiên c u khoa h c cho giáo viên thông qua nhi uự ứ ọ ề hình th c nh : đ i m i sinh ho t t nhóm chuyên môn theo hứ ư ổ ớ ạ ổ ướng nghiên c uứ bài h c, ng d ng công ngh thông tin trong các ti t d y, phát đ ng phongọ ứ ụ ệ ế ạ ộ trào vi t chuyên đ , sáng ki n kinh nghi m gi ng d y, nghiên c u các đ tàiế ề ế ệ ả ạ ứ ề khoa h c s ph m ng d ng, t ch c ho t đ ng ngo i khoá.ọ ư ạ ứ ụ ổ ứ ạ ộ ạ
Đ i v i môn toán có nhi u đ n v ki n th c giáo viên ph i tích c c trauố ớ ề ơ ị ế ứ ả ự
d i, b i dồ ồ ưỡng đ i m i phổ ớ ương pháp thì m i đ t hi u qu khi truy n t iớ ạ ệ ả ề ả
ki n th c cho h c sinh. Hi n nay c u trúc đ thi THPT Qu c Gia có nh ngế ứ ọ ệ ấ ề ố ữ câu h i phân lo i r t khó, vì v y m i giáo viên ph i tìm tòi, tìm ra phỏ ạ ấ ậ ỗ ả ươ ngpháp m i đ h c sinh có th gi i quy t các bài toán khó này m t cách hi uớ ể ọ ể ả ế ộ ệ
qu nh t trong các đ thi h c sinh gi i, thi THPT Qu c Gia. ả ấ ề ọ ỏ ố
Bài toán tìm c c tr c a bi u th c nhi u bi n là bài toán khó nh t trong cácự ị ủ ể ứ ề ế ấ
đ thi h c sinh gi i và thi THPT Qu c Gia, ph n l n h c sinh không gi iề ọ ỏ ố ầ ớ ọ ả quy t đế ược, nguyên nhân chính là vì d ng toán này quá khó ch có m t ph nạ ỉ ộ ầ
nh có th làm đỏ ể ược, tuy nhiên n u giáo viên hế ướng d n cho h c sinh m tẫ ọ ộ cách h th ng và phệ ố ương pháp rõ ràng, tôi tin r ng s có nhi u h c sinh làmằ ẽ ề ọ
được bài toán này. V i lý do nh v y, tôi m nh d n ch n đ tài ớ ư ậ ạ ạ ọ ề “K năng ỹ
d n bi n đ gi i bài toán tìm c c tr c a bi u th c, nh m nâng cao hi u ồ ế ể ả ự ị ủ ể ứ ằ ệ
qu c a vi c ôn t p h c sinh gi i và thi THPT Qu c Gia t i tr ả ủ ệ ậ ọ ỏ ố ạ ườ ng THPT
Nh Thanh” ư
M c đích nghiên c uụ ứ
Rèn luy n k năng tìm c c tr c a bi u th c nhi u bi n, k năng đánh giáệ ỹ ự ị ủ ể ứ ề ế ỹ
bi u th c b ng b t đ ng th c trong bài toán tìm c c tr ể ứ ằ ấ ẳ ứ ự ị
Đ i tố ượng nghiên c uứ
Nghiên c u b t đ ng th c, các h qu c a các b t đ ng th c AMGM,ứ ấ ẳ ứ ệ ả ủ ấ ẳ ứ Bunhiacopski, Cauchy – Schwarz
Nghiên c u các các bài toán tìm c c tr c a hàm s , c a bi u th c.ứ ự ị ủ ố ủ ể ứ
Trang 2môn toán ngoài nh ng k năng chung v d y h c nó còn đữ ỹ ề ạ ọ ược th hi n quaể ệ
nh ng y u t đ c thù c a b môn ch ng h n: k năng gi i toán, k năng tínhữ ế ố ặ ủ ộ ẳ ạ ỹ ả ỹ toán k năng d n bi n trong bài toán tìm c c tr cũng không ph i là ngo iỹ ồ ế ự ị ả ạ
l ệ
2.2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c uự ạ ủ ấ ề ứ
Trong gi ng d y toán lâu nay t i trả ạ ạ ường THPT Nh Thanh đa s giáoư ố viên th c hi n r t t t công tác chuyên môn nh : Đ i m i sinh ho t t , nhómự ệ ấ ố ư ổ ớ ạ ổ chuyên môn theo hướng nghiên c u bài h c; phát đ ng phong trào vi t chuyênứ ọ ộ ế
đ , các đ tài Tuy nhiên chuyên đ ề ề ề “K năng d n bi n đ gi i bài toán tìm ỹ ồ ế ể ả
c c tr c a bi u th c ự ị ủ ể ứ ” thì đa s giáo viên trong t ch a nghiên c u m t cáchố ổ ư ứ ộ
có h th ng.ệ ố
Đ i v i h c sinh ch có m t s ít có ý th c t h c, ph n còn l i h c t pố ớ ọ ỉ ộ ố ứ ự ọ ầ ạ ọ ậ
th đ ng, không sáng t o, d a ch y u vào th y (cô) giáo. Đa s h c sinh cònụ ộ ạ ự ủ ế ầ ố ọ
ch a có ý th c v nghiên c u toán h c. Trong h c toán ph n l n h c sinh cònư ứ ề ứ ọ ọ ầ ớ ọ
r t y u v ph n b t đ ng th c, các ho t đ ng c a h c sinh ph n này chấ ế ề ầ ấ ẳ ứ ạ ộ ủ ọ ở ầ ủ
y u là ch ng minh các b t đ ng th c hay áp d ng các b t đ ng th c có s n.ế ứ ấ ẳ ứ ụ ấ ẳ ứ ẵ
Đó là nh ng đi u h n ch trong cách h c c a h c sinh t i trữ ề ạ ế ọ ủ ọ ạ ường THPT Như Thanh nói riêng và t i các trạ ường THPT nói chung.
2.3. Các gi i pháp th c hi n đ gi i quy t v n đả ự ệ ể ả ế ấ ề
2.3.1. Đ nh nghĩa giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm sị ị ớ ấ ỏ ấ ủ ố
Đ nh nghĩa 1:ị Xét hàm s ố f(x) v i ớ x D. Ta nói r ng ằ M là giá tr l n nh t c aị ớ ấ ủ
f(x) trên D, n u nh th a mãn các đi u ki n sau:ế ư ỏ ề ệ
1. f(x) M, x D
2. T n t i ồ ạ x0 D sao cho f(x0) M
Khi đó ta kí hi u: ệ M max f(x)
D x
Đ nh nghĩa 2:ị Xét hàm s ố f(x) v i ớ x D. Ta nói r ng ằ m là giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
f(x) trên D, n u nh th a mãn các đi u ki n sau:ế ư ỏ ề ệ
1. f(x) m, x D
2. T n t i ồ ạ x0 D sao cho f(x0) m
Khi đó ta kí hi u: ệ m min f(x)
D x
Trang 3c b a z
c y
b x
a2 2 2 2
2.3.3. S d ng đi u ki n ban đ u đ đánh giá đ a v hàm s m t bi nử ụ ề ệ ầ ể ư ề ố ộ ế
Đi u ki n ban đ u th ề ệ ầ ườ ng g p: ặ
0
;b x a x b a
x
0 0
0
; ,
b y b x
a y a x
b y a x b
a y
y
x
Nh n xét: ậ Vi c đánh giá đi u ki n ban đ u c a bài toán là r t quan tr ng ệ ề ệ ầ ủ ấ ọ trong vi c gi i bài toán c c tr c a bi u th c, giúp chúng ta rèn luy n k ệ ả ự ị ủ ể ứ ệ ỹ năng chuy n bài toán c c tr nhi u bi n thành bài toán c c tr c a hàm s v i ể ự ị ề ế ự ị ủ ố ớ
Ta có: a,b,c 1 ; 3 a 1 b 1 c 1 0 abc ab bc ac a b c 1 0
5 0
5 2
1 72 2
x
x abc x
x
x x
f , x 11 ; 12
2
1 )
(
x x
f x 11 ; 12 nên
11
160 ) 11 ( ) (x f f
bc ab
abc a
c c b b a P
2
1 72 12
2 2 2 2 2 2
Trang 4Nh n xét: ậ Đây là bài toán r t hay. Ta ph i dùng hai l n gi thi t c a các ấ ả ầ ả ế ủ
bi n ế
a ; c b; 1 ; 3 đ tìm ra mi n giá tr c a ể ề ị ủ x ab bc ca và đánh giá đ ượ c P thông qua bi n x. Cũng t bài toán trên ph i chăng b ng vi c đánh giá đi u ki n ế ừ ả ằ ệ ề ệ ban đ u chúng ta s gi i quy t đ ầ ẽ ả ế ượ c m t l p các bài toán d ng này b ng ộ ớ ạ ằ cách đ a v hàm s m t bi n, chính vì v y qua chuyên đ này tác gi mu n ư ề ố ộ ế ậ ề ả ố rèn luy n cho h c sinh k năng gi i toán c c tr b ng ph ệ ọ ỹ ả ự ị ằ ươ ng pháp d n bi n ồ ế
L i gi iờ ả
Vì x , z y, 1 ; 2 , nên ta có
4 2
2 2 0
2 2
2
4 4
2 4
4 4
2
8 4
2
2
yz
z y yz
z y x
yz yz
z y x yz
z y yz
z y x yz
z
y
x
zx yz
xy
A
1
4 4
2
4 1
1
4 4
2
4 1
yz
z y yz
z y
yz yz
z y yz
z y
x
yz A
1
4 2
4 4
4 1
yz
yz yz
4 1
)
t
t t
t t
9
2 27
4 1
2 2
8 4 )
t t
t t
f , nên f(t) đ ng bi n trên ồ ế 1 ; 2
Suy ra
6
7 ) 2 ( ) (t f f
2
8 2
2
2
yz
z y yz
z y x z y x xyz
zx yz xy A
Bài 3: Cho các s th c không âm ố ự a, b, c th a mãn ỏ a 1 ,b 2 ,c 3. Tìm giá tr ị
l n nh t c a bi u th cớ ấ ủ ể ứ
8 27 3
12 8
8 3
2 1
2 2
2 2
a
b c
a b c b
b c
b a
bc ac ab B
Trang 52ab ac bc b c b a c (3)
T (1), (2), (3) ta đừ ược
8 ) ( 8
) (
8 )
( 1
2
c a b c b
b c
a b c b
b c
a b c
b
c a b c
b
B
8 ) (
8 )
( 1
2
c a b c b c a b c
b
c a b c
2 ) (
t t
t t
f v i ớ t 0 ; 13
6 0
8 1
6 10 3 2 8
8 1
2
)
t t
t t
t t
(
21
47 ) 13 (
f
T đó suy ra ừ
7
16 max
7
16 )
1b c a
L i gi iờ ả
T gi thi t ta có: ừ ả ế
x z y z y z
y x z
4
1 1
1
x
x x
z y z
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có: ụ ấ ẳ ứ P x y z x y z
1 1 1
4 1
1
2 1
1
3
2 3 3
2 2
2
1
1 6
2 1
4 1
1 2
x
x x x x
x x
x P
Xét hàm s : ố 3 2 3
1
1 6
2 ) (
x
x x x x f
1
1 5 2 )
(
x
x x
L p b ng bi n thiên ta đậ ả ế ược:
108
91 5
1 ) (x f f
4 1
1 1
1 1
1
2 2
2
Bài 5: Cho a b c 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
2 2
2
a c c b b a ca bc ab c b a P
Trang 6t t
Xét hàm f(t) trên 1 ; ta có:
3 3
2 2
2
2 1
2 1
1
1 1
1 1
2
)
('
t t
t t t
t t
t
f
3 3
3 3
2 3 3 3 3
1
1 1
2 1 1
1 1
t t t t t
t t
t t t t
y y
x x
y y
x x
xy y
xy y
x
xy x
) ( 2
1 2
1
1
3
t f t
t t t
t
P
Xét hàm f(t) trên 2 ; ta được: ln f(t) 3 ln(t 1 ) ln(t 2 )
2 1
5 2 2
1 1
t t
) ( ' 2
1 5 2
f t
t t
5 ) (t f f P
Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ 2 2 , 0
2
t x
y y x
V y giá tr nh nh t c a bi u th c P là ậ ị ỏ ấ ủ ể ứ
4 27
Bài 6: Cho x,y,z 0 ;xyz x y z 20. Tìm giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
2
2z y z x y x P
Trang 7L i gi iờ ả
Nh n xét: ậ Có m t chú ý quan tr ng c a bài 6 là m t phép bi n đ i nh ộ ọ ủ ộ ế ổ ỏ
yz yz yz z y x x yz xz xy x z x y
t
t t t t t
10
z
y x yz
z y x xyz
K t lu n: ế ậ
1
2 16
min
z
y x P
Nh n xét r ng có m t phép bi n đ i làm gi m bi n s m t cách đ n gi n là ậ ằ ộ ế ổ ả ế ố ộ ơ ả
x
x xy
x y y x
, c b
a Tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ
b
a c a
c b c
b a P
Trang 8x x y y
x f y
x x
1 1 1
x
x x x x x x f y
t t
P
Xét hàm g(t) trên 1 ; 2 ta có: lng(t) 3 ln t 1 ln t 1 2 lnt
2
; 1
; 0 1 1
2 2 2 1
1
2 2 3
3 2 1
1 1
t t
t t t
t t
t t t t t t t t
1 2 1 2 2
) (
2 3
g t
Nh v y ư ậ
2
1 2 ) (
2
t g P
Đ ng th c x y ra khi ẳ ứ ả
2
1
; 2
2
; 1
;
; 2
2 2
2
c a y
x x
t
x y
V y ậ
2
1
; 2
2
; 1
;
; 2
1 2 max
2
c b a P
L i gi iờ ả
Nh n xét: ậ Gi thi t ch cho d li u liên quan t i a, b dù không d đoán đ ả ế ỉ ữ ệ ớ ự ượ c
đ ng th c x y ra nh ng ta v n có th khai thác đ ẳ ứ ả ư ẫ ể ượ c gi thi t b ng b t đ ng ả ế ằ ấ ẳ
th c Cauchy Schwarz v i m c tiêu là ch còn bi n c ứ ớ ụ ỉ ế
Ta có: 22 22 22 22
2
.
a
y b
x y
c x
c a
y y
c b
2 1 2 1
2 2
2 2
a b
c c c
a
c b
c P
) ( 1 2
6 2
c b c P
Trang 9L p b ng bi n thiên ta suy ra: ậ ả ế
2
6 8
3 1 4
6 1 4
6 1 ) (
2
f c f P
V y ậ
4
6 1 , 2
6 ,
6 2
6 8
2
1 2
1
ab
b a c a b
b a c ab
c b a
L i cóạ
3a c 2 2b2 8 2 a c 2 b2 a c 2 8 4 a c b 4ac 8 4 ab ac bc 2
2 7
3 9
2 3
1 2
1 2
1 2
2 3
2 1
2
1
2
3 4
2 4
2 2
ca bc ab
ca bc ab ac
bc ab
bc ab ab
bc
ac
ac
ca bc ab bc
c b a ab
2 9 ) (
t t
t t
4
13 7 5
45 7
ca bc ab t
z y x z x x
z y x z x
z y x
b a c c b
c b a P
3 4
8 2 3
2 2
2 2
Bài 10: Cho các s th c ố ự x , z y, 0 ; 1 và z min x,y,z Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
bi u th c ể ứ
yz xz xy z y y
yz z
x
z y
Trang 10Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta đụ ấ ẳ ứ ược A B
B A
2
x
z y
x
2
2
2 2
2 2
z y y
yz
2
2 1
Do đó
yz xz xy z
y x
xz yz xy yz xz xy z y
yz z
x
z y x
2
1 2 2
V i đi u ki n ớ ề ệ x , z y, 0 ; 1 ta luôn có
z y x z y x xyz xz
yz xy z
y x z y x z
yz xz xy yz xz xy
V y ậ min P 4 đ t đạ ược khi x y 1 x; 0
b bc
abc ab
c ac
b bc
a P
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 0 1
0 1
1
bc
c b c
b bc c
Bài 11: Cho các s ố a , c b, 0 ; 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ
abc ab
c ac
b bc
a P
1 1
1
Trang 11Ta có ' ( ) 1 12 0 t 1 ; 2
t t
f suy ra f(t) đ ng bi n trên ồ ế 1 ; 2
2
5 ) 2 ( ) (t f
Có nhi u bài toán tìm c c tr c a bi u th c ta ch c n s d ng các bi n đ i c ề ự ị ủ ể ứ ỉ ầ ử ụ ế ổ ơ
b n đã làm gi m đ c s bi n. Tuy nhiên bài toán c c tr có d ng phân th c ta ả ả ượ ố ế ự ị ạ ứ
ph i s d ng các b t đ ng th c đ đánh giá m i làm gi m đ c s bi n c a bài ả ử ụ ấ ẳ ứ ể ớ ả ượ ố ế ủ toán.
Các b t đ ng th c h qu th ấ ẳ ứ ệ ả ườ ng dùng
H qu 1: ệ ả Cho a, b R ta có a b 2 4ab
H qu 2: ệ ả Cho a ,b 0 ta có 3 3 3 2 2
4 a b ab
b a b a
H qu 3: ệ ả Cho a ,b 0 ta có a1 b1 a4b
H qu 4: ệ ả Cho a ,,b c R ta có a b c a b c ab bc ca
3
2 2
2
H qu 5: ệ ả Cho a ,,b c R ta có ab bc ca 2 3abc a b c
H qu 6: ệ ả Cho a , c b, 0 ta có a1 b1 c1 a 9b c
H qu 7: ệ ả Cho a ,b 0 vàab 1 ta có a b ab
1
2 1
1 1
1
H qu 8: ệ ả Cho a ,b 0 vàab 1 ta có 11a 11b 1 2ab
Nh n xét: ậ Trên đây ch là m t s h qu tiêu bi u th ỉ ộ ố ệ ả ể ườ ng s d ng đ tìm ử ụ ể
c c tr b ng cách d n bi n, ngoài ra ta có th s d ng các h qu khác ho c ự ị ằ ồ ế ể ử ụ ệ ả ặ các b t đ ng th c khác. ng d ng các h qu trên đ gi i các bài toán sau ấ ẳ ứ Ứ ụ ệ ả ể ả
b a ca
bc ab c
ab b
a
2 2
2 2
4 4
Do a , c b, 1 ; 2 nên a b 0, chia t và m u c a M choử ẫ ủ a b 2 ta được:
Bài 1: Cho các s th c ố ự a , c b, 1 ; 2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
ca bc ab c
ab b
a P
4
2
2
2 2
Trang 121 4
1 1
c b
a c
M
v i ớ
b a
c
1 4
1 )
t t t
2 2 )
t t
t t
1
; 6
1 )
1 2
2 2
c
b a c
b a c
b a
c b a
V i hai s th c ớ ố ự x, y tùy ý, ta có 2 2 2 2 2
4
1 4
3 4
y xy
T gi thi t ừ ả ế c 0 và a3 b3 c c 1 s d ng đánh giá trên ta thu đử ụ ược
1 0
4 2 4
3 3
2 2
3 3
2
c
b a b
a c b
a c b ab a b a c b
2
t
t P
Xét hàm s ố 2 2
1 2
2 )
(
t
t t
1
2 )
(
t
t t
f , t 0 ; 1
Bài 2: Cho các s không âm ố a, b, c th a mãn ỏ c 0 và a3 b3 c c 1 Tìm giá trị
nh nh t c a bi u th c: ỏ ấ ủ ể ứ 2 2 22
c b a
c b a P
Trang 13Do đó f (t) là hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế 0 ; 1
8
3 ) 1 ( ) (t f
3
16
z y x
z z
y x
y z
y x
x
Áp d ng ụ h qu 2 ệ ả ta có
3 3
3 3
1 4
1 4
1
z y x
z z
y x
y x z
y x
y z
y x
Do đó
3 3
16 1
4
1
z y x
z z
y x
z
z y x
z
16 1
4
16 1
4
1 )
1
; 0 9
1 0
) (' 4
3 6 189 )
t
t t
f t
t t
L p b ng bi n thiên suy ra ậ ả ế
81
16 9
1 ) (t f
f , t 0 ; 1
81
16 )
(t
f P
Nh n xét: ậ Ta ch c n bi n đ i ỉ ầ ế ổ 2 x y z 2 2 x2 y2 z2 z2 4 x y z 4xy
Bài 3: Cho x , z y, 0 tho mãn ả x y z 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u ị ỏ ấ ủ ể
th c ứ
3
3 3
z y x
z y x P
Bài 4: Cho x, y, z là ba s th c thu c đo n ố ự ộ ạ 1 ; 2 Tìm giá tr nh nh t c a bi uị ỏ ấ ủ ể
th cứ
2 2 2 2
2
2
y x P
Trang 14xy z y x z
y x z
y x z
y x
y x P
4 4
2
2 2
2 2 2
2
4 1
4
z
y z
x z
y z x
z
y z x y
x z y x z
y x
t t
t t
f trên 1 ; 4
4 1
2 4 )
(
t t
t t t
f , t 1 ; 4 Suy ra f (t) là hàm s đ ng bi nố ồ ế trên 1 ; 4 Do đó
6
1 ) 1 ( ) (t f
c
b c
a c
a c b c
1 x x2 y2
y y
x
P
Bi n đ i gi thi t ế ổ ả ế 12 22 22
b a
c ta thu được
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
1 2
1 2
2
y x b
c a
c b
a
Bài 5: Cho các s th c ố ự a , c b, 0 th a mãn ỏ 12 22 22
b a
c Tìm giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
c b a
c c
a
b c b a P
Trang 151 1
1 1 1
1 1
1
1 1
y x y
x y x y
x x
y y
4 1 2
y x y
x
P y
x y
x y x P
Đ t ặ t x y t 4. Do đó
1
1 2
4 2
t t
Xét hàm s ố
1
1 2
4 2 ) (
t t
t
2 1
4 3 )
t t
t t t
f , t 4 ; và f ('t) 0 t 4 (vì t 4 ; )
Suy ra f (t) là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ế 4 ;
3
5 ) 4 ( ) (t f
3
5 )
(t
f P
3 2 2
0 2
Do đó P y x z x y y z x x y y x x y x y y x x y y
3 2
2 3
2 12 3
2
2 10
Bài 6: Cho các s th c d ng ố ự ươ x, y, z thay đ i th a mãn đi u ki n ổ ỏ ề ệ x 2y z 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ P y x z x y y z x x y y
3 2 2 10
Trang 163 2
3 12
3 2
3 12
y x y x
y x y x y x
y x y x
3
12 t
t t
t
Xét hàm s ố
3 2
3 12
) (
t
t t
t t
Ta có
; 0 5 18
; 0 2 3
2 4 12 0
) ( ' 3
2
3 12
12 )
t t
f t
t
t t
f
L p b ng bi n thiên suy ra ậ ả ế
7
6 ) 2 ( ) (t f
MinP , giá tr nh nh t đ t đị ỏ ấ ạ ược khi x 2y,z 4y
Nh n xét ậ ta có th coi ể P là hàm c a z và x, y là tham s và xét hàm P(z) trên ủ ố
c a b
a
c a b
P
2 5 2 5 1
5 1
5 1
x y
y x y x
P
2 5
1 2
5
1 5 2 2 1
5
2 2
2
Bài 7: Cho các s th c d ng ố ự ươ a, b, c thay đ i th a mãn đi u ki n ổ ỏ ề ệ a b,a c. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ P a a b c a b c a c b
2 5 2 5 5
Trang 17Ta có 5 12x 5 12y 10 24x 2y và 2x 2y 5 0 , x,y 0 ; 1
y x
P
2 2 10
4 5
2 2 1
5
2 2
5
5 1
5
2
y x y
x P
Đ t ặ t x y t 0 ; 2 vì x , y 0 ; 1
5
5 1 5
2
t t
P
5
5 1 5
2 ) (
t t
t
5 1 5
60 24 5
1 5
5 1
25 )
(
2 2
t t
t
t t t
t
t t
y y x z y
z
y y
. Đ t ặ
1 1
0 , ,
;
;
c abc
c b a x
z c z
y b y
b b a
b a ab
P 2 15 2 16
Xét hàm s ố
c c c
f 16 )
( 2 trên 1 ; Ta có ' ( ) 2 162 f' (c) 0 c 2
c c c f
Bài 8: Cho ba s th c d ng ố ự ươ x ,,y z th a mãn ỏ 0 x y z. Tìm giá tr nh nh t c aị ỏ ấ ủ
bi u th c:ể ứ P y2 xz x3z y2 z2 xz y4 y2 z3 x215z x3
Trang 18
L p b ng bi n thiên suy ra ậ ả ế f(c) f( 2 ) 12 , c 1 ;
V y ậ MinP 12giá tr nh nh t đ t đị ỏ ấ ạ ược khi
2 2 1
c
b a
hay 2x y 2 z
L i gi iờ ả
Đ t ặ a x.c;b y.c; x,y 1
Thay x 1 vào gi thi t ta có: ả ế b c b c 0 (không th a mãn gi thi t)ỏ ả ế
Tương t ự y 1 cũng không th a mãn .ỏ
x y
x xy y
0 1 1 1 0
1 1 1 2
1 1
x
M t khác ặ
xy y
x y x y xy
y x xy
x y
x y x x
y y
x
P
2
1 1
1 1
1
2 2
2 2
xy y
x y x y x xy
y x
P
2
1 1
2
Hay
xy xy
xy xy
xy xy y
x xy
xy
P
2 3
3 3 2
2
1 1
2 3
2 2
Đ t ặ t xy ;t 4, khi đó ta có P t t t t t
2 3
3 3 2
2
2 3
Xét hàm s ố
t t
t t t t f
2 3
3 3 2 )
( 3 22 trên 4 ;
2 3
18 4 6 4
2 3
6 6 4
)
t t
t t t
t t
t
t t t t t
Bài 9: Cho a ,,b c là các s th c dố ự ương th a mãn ỏ
c
ab c
b c
tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ 2 2 2
b a
c b a
c a c
b c b a