Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh bađiểm thẳng hàng và ngợc lại.. Tôi đã biết cách chứng minh sự tơng đơng giữa định lý Ceva và định lý Mênênaúyt nhng không
Trang 1Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh ba
điểm thẳng hàng và ngợc lại.
Tôi đã biết cách chứng minh sự tơng đơng giữa định lý Ceva và định lý Mênênaúyt nhng không dành cho học sinh trung học cơ sở Tôi cha thấy cách chứng minh tơng
đ-ơng giữa hai định lý này bằng kiến thức của THCS ở bất cứ tài liệu nào Hiện nay tôi đã chứng minh nhng cha chắc chắn lắm, tôi đa một số bài tập tơng tự lên cho các thầy cô tham khảo
Nghỉ hè có nhiều thời gian hơn tôi xem xét lại và upload phần chứng minh tổng quát rất mong đợc sự giúp đỡ của các thầy cô!
Một số ví dụ:
Bài tập1:
Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC MB = MC Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi AM EF = K
Theo định lý Talét:
KM
AK
BF
AF
;
AK
KM AE
CE
; và 1
CM BM
Suy ra
BF
AF
CM
BM
AE
CE
= 1
áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I
Ta có
BF
AF
=
BC
AN
;
MC
BC
=2;
AI
MI
=
AN BM
Suy ra
BF
AF
MC
BC
AI
MI
=
BC
AN
.2
AN
BM
=1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABM thì F,I,C thẳng hàng
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy
Bài tập 2: Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D,
E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
BF
AF
CD
BD
AE
CE
=
BD
AE
CE
BD
AE
CE
=1
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD CF = I Ta có :
CE
AE
DB
CB
AI
DI
=
CD
AF
BF
CB
AN
CD
=
BF
AF
AN
CB
=
AN
CB CB
AN
. =1
áp dụng định lí Menenauyt cho ACD thì
AD, BE, CF đồng quy
1
A F
M
K E
E
A F
M
N
I
F
A
E
D
F
A
E
D I N
Trang 2Bài tập 3: Cho tam giác ABC đờng cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH
là phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đờng cao nên
AM = AN
Có:
BH
MA
BD
AD
;
AN
CH AE
CE
AN
CH CH
BH BH
MA AE
CE CH
BH BD
AD
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt tại M, N, K
Gọi AH BE = I
Ta có:
BD
AD
=
BH
MA
=
BH
AN
và
AK
BH AI
HI
.
BD
AD
CH
BH
AI
HI
=
AK
BH HC
BC BH
AN
.
AK
BC HC
AN
AE
CE CE
AE
. =1
áp dụng định lí Menenauyt cho ABH thì D,I,C thẳng hàng
Vậy AH, BE, CD đồng quy
Bài tập 4:Cho ABC vuông tại A, đờng cao AK Dựng bên ngoài tam giác những
hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB CE, I = AC BG
Đặt AB = c, AC = b
Có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC
CK
BK
= 2
2
b c
và
BD
AD
=
c
b
;
AI
CI
=
c
b
(do AIB CIG)
BD
AD
CK
BK
AI
CI
=
c
b
2 2
b
c
b
=1
áp dụng định lý Ceva cho ABC
thì AK, BG, CE đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC
cắt BG tại M AK BG tại O
Ta có
BD
AD
=
c
b
;
AO
KO
=
AM BK
suy ra
BD
AD
CK
BC
AO
KO
=
c
b
CK
BC
AM
BK
=
c
b
AM
BC
CK
BK
=
c
b
AI
CI
2
2
b
c
=
c
b
c
b
2
2
b
c
=1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABK thì D, O, C thẳng hàng
Vậy AK, BG, CE đồng quy
2
A
D
H
E
A
D
H
E K
I
H
A
B
G
E
C K
D
I
F
H
A
B
G
E
C K
D
I
F
M O
