c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. c Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác D
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2014 -2015 Môn thi: Toán Ngày thi: 16/03/2015
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
( Đề thi này có 06 bài, gồm 01 trang )
1
2 1
3 6 1
1
2
x x x
x x
a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q
b) Tìm x khi Q = 1
3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trình:
) 7 2 )(
1 2 (
9 9 6 1 7 2
5 2 1 2
3
x x
x x x
x x
x
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2
c) Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: x2 = y2 + 2y + 13
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho abc ≠ 1 và ab 1 bc 1 ca 1
Chứng minh rằng a = b = c
b) Cho sè tù nhiªn n 3 Chøng minh r»ng nÕu 2n 10a b (a, b N, 0 b 10) th× tÝch ab chia hÕt cho 6
Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H
a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA
b) Chứng minh rằng: HD HE HF 1
AD BE CF c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
d) Gọi M, N, P, Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB, EF,
FD, DE Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm
Bài 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC =b ; BC = a Đường phân
giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 1 2
( )
b
b a a b
Bµi 6: (1,0 điểm)
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 3
1 b 1 c 1 a 2
Hết
Họ tên thí sinh :……… Giám thị số 1 :………
Số báo danh : ……… Giám thị số 2: ………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014-2015
MÔN:
Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang
điểm Bài 1
(4,5đ) a) Đk: x 1;x 2.
2
Q
0,5 1,5
b) 2 1 1 2 1 3 ( 1)( 2) 0
Suy ra x = -1 hoặc x = 2
So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q = 1
3
0,5 0,5 0,5
c) 2 1
1
Q
; Vì 1 > 0; x
2 – x + 1 =
2
1 3 3
0
2 4 4
x
Q đạt GTLN 2
1
đạt GTNN 2 3
1 4
x x
x= 1
2(t/m) Lúc đó Q = 4
3 Vậy GTLN của Q là Q = 4
3 khi x=
1
2
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 2
(4,5đ) a) ĐK:
;
2
2
0
x
x
2
(Lo¹i)
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0
0,25
0,5
0,5 0,25
b) Ta có x3 – 2x2 – x + 2 = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1) = (x-2)(x-1)(x+1)
0,5 0,5 0,5
c)Ta có x2 = y2 + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12
(x + y + 1)(x - y – 1) = 12
Do x + y + 1 – (x - y – 1) = 2y + 2 là số chẵn và x , y N* nên
x + y + 1 > x – y – 1 Do đó x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyên
dương chẵn
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp: x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2
x = 4 và y = 1 Vậy (x; y) = (4; 1)
0,5
0,5 0,5
Trang 3Bài 3
(4,0đ) a) Từ ab 1b bc 1c ca 1a 1 1 1
Do đó:
1 1 b c
a b
c b bc
a c ac
b a ab
Suy ra: (a – b)(b – c)(c – a) = (a b)(b2 2 2c)(c a)
a b c
(a – b)(b – c)(c – a)(a2b2c2 - 1) = 0
(a - b)(b – c)(c – a) = 0 (do abc ≠ 1)
Suy ra a = b = c
0,5
0,5
0,5 0,5
b) Ta có 2n 10a b b 2 ab 2 (1)
Ta chứng minh ab 3 (2)
Thật vậy, từ đẳng thức 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b
Đặt n 4k r (k, r N, 0 r 3) ta có: 2n 16k2r
Nếu r 0 thì 2n 16k tận cùng là 6 b 6 ab 6
Nếu 1 r 3 thì 2n 2r 2r(16k 1) 10 2n tận cùng là 2r
suy ra b 2r 10a 2n 2r 2r(16k 1) 3 a 3 ab 3
Từ (1) và (2) suy ra ab 6
0,5
0,5
0,5
0,5 Bài 4
(5,0đ)
H A
D
E
F
a) Chỉ ra được BDH ADC (g.g)
BD DH
AD DC
BD.DC = DH.DA
0,5 0,5 0,5
b) Ta có: HBC
ABC
1 HD.BC
1
S AD.BC AD
2
Tương tự: HAC
ABC
HE S
BE S ; HAB
ABC
HF S
CF S
Do đó HBC HAC HAB ABC
HD HE HF S S S S
1
0,5
0,5
0,5
Trang 4c) Chứng minh được AEF ABC (c.g.c) AEFABC
Tương tự DECABC Do đó: AEFDEC
Mà AEF HEF DECHED= 900 nên HEFHED
EH là phân giác của góc DEF
Tương tự FH là phân giác của góc EFD
Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF
0,25 0,25
0,25
0,25
d)
H A
D
E
F
M
K Q
I
Do BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên EM = 1
2BC (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Tương tự : FM = 1
2 BC
Do đó: EMF cân tại M, mà Q là trung điểm EF nên MQ EF
MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của
tam giác DEF
Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường
trung trực của tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng
quy tại một điểm
0,5
0,5
Bài 5
(1,0đ)
H D
C B
A
Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC
Tam giác BAD cân tại B (BA=BD) có BH là đường cao nên cũng
là đường trung tuyến
2
AD AH
Trang 5Tam giác ABC có BD là đường phân giác , ta có :
2
DA
Tam giác HAB vuông tại H , theo đ/lý Pytago ta có :
2
4
AD
AB BH AH BH b (1)
Tam giác HBC vuông tại H , theo đ/lý Pytago, ta có
2
2 2 2
2
4
AD
AD
Từ (1) và (2) ta có :
2
1 1
b a b a
Vậy bài toán được c/m
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 6
(1,0đ)
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên
1 b 1 b 2b 2
Tương tự ta có : b 2 b bc
1 c 2
c
1 a 2
mà a + b + c = 3 nên a 2 b 2 c 2 3 ab bc ca
1 b 1 c 1 a 2
Cũng từ a + b + c = 3 (a + b + c)2 = 9
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab +
bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) 9 ab + bc + ca 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a 2 b 2 c 2 3 3 3
1 b 1 c 1 a 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú:
- Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm