Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H.. EF FD DE Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ NI PK, , đồng quy tại một điểm Bài 5.. 1,0 điểm Cho tam giác ABC cân tại A có AB ACb BC; a.Đường ph
Trang 1HUYỆN HOẰNG HÓA Năm học: 2014-2015
Môn thi: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015 Bài 1 (4,5 điểm)
Cho biểu thức : 1 63 3 2 2
: 2
x
a) Tìm điều kiện xác định của ,Q rút gọn Q
b) Tìm x khi 1
3
Q
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q
Bài 2 (4,5 điểm)
a) Giải phương trình :
2
1
2 1 2 7 2 1 2 7
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x32x2 x 2
c) Tìm các giá trị ,x y nguyên dương sao cho : x2 y2 2y13
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Cho abc 1 và ab 1 bc 1 ca 1
Chứng minh rằng a b c
b) Cho số tự nhiên n3.Chứng minh rằng nếu 2n 10ab a b , ,0 b 10
thì tích ab chia hết cho 6
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H , , a) Chứng minh rằng: BD DC DH DA
b) Chứng minh rằng: HD HE HF 1
AD BE CF
c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
d) Gọi M N P Q I K, , , , , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC CA AB ,, ,
, ,
EF FD DE Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ NI PK, , đồng quy tại một điểm
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có AB ACb BC; a.Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC Chứng minh rằng:
2
1 1 b
b a a b
Bài 6 (1,0 điểm)
Cho , ,a b c0;a b c 3.Chứng minh rằng: 2 2 2 3
b c a
ĐÁP ÁN
Trang 2Câu 1
a) ĐK: x 1;x 2
2
2 1
Q
2
1
2
1 3
x
x
So sánh với điều kiện suy ra x2 thì 1
3
Q
c) 2 1 ;
1
Q
x x
Vì
2
2 4 4
Q đạt GTLN x2 x 1đạt 2 3 1
1
GTLN x x x tm Lúc đó 4
3
Q
Vậy GTLN của Q là 4
3
Q khi 1
2
x
Câu 2 a) ĐK: 1; 7
x x
2
2
2 3 2 7 2 5 2 1 2 7 2 1 6 9 9
2 1 2 7 2 7 2 1 2 7 2 1 2 7 2 1
4 20 21 4 12 5 4 16 7 6 9 9
0 ( )
1
( ) 2
Vậy phương trình có một nghiệm x0
b) Ta có
c) Ta có:
2
Do x y 1 x y 1 2y2là số chẵn và ,x y *nên x y 1 x y 1.Do đó
1
x y và x y 1là hai số nguyên dương chẵn
Trang 3x
và y1.Vậy x y; 4;1
Câu 3
a) Từ ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1
Do đó:
Suy ra : a b b2 2 2c c a
a b b c c a
a b c
1 0
a b b c c a 0
(do abc 1)
Suy ra a b c
b) Ta có: 2n 10a b b 2ab 2 (1)
Ta chứng minh ab 3 (2)
Thật vậy , từ đẳng thức 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b
Đặt n4kr k r , ,0 r 3 ta có: 2n 16 2k r
Nếu r 0thì 2n 2r 2 16r k 1 10 2ntận cùng là 2r
Suy ra b2r 10a2n 2r 2 16r k 1 3 a 3ab 3
Từ 1 và 2 suy ra ab 6
Trang 4Câu 4
a) Chỉ ra được BDH ADC g g( ) BD DH BD DC DH DA
AD DC
b) Ta có:
1 2 1 2
HBC
ABC
HD BC
Tương tự HAC ; HAB
BE S CF S
Do đó: HBC HAC HAB ABC 1
c) Chứng minh được AEF ABC c g c AEF ABC
Tương tự: DEC ABC.Do đó: AEF DEC
Mà AEFHEF DECHED900nên HEF HED
EH
là phân giác ngoài của góc EFD
Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF
K I
Q
M
H F
E
D A
Trang 5d) Do BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên
2
EM BC(trung tuyến ứng với
cạnh huyền), Tương tự: 1
2
FM BC
Do đó: EMF cân tại M, mà Q là trung điểm EF nên MQEF
MQ
là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của tam giác DEF
Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ NI PK đồng quy tại một điểm , ,
Câu 5
Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC
Tam giác BAD cân tại B BABDcó BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
2
AD
AH
Tam giác ABC có BD là đường phân giác, ta có:
2
DA
Tam giác HAB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:
2
(1) 4
AD
Tam giác HBC vuông tại H, theo định lý Pytago, ta có:
H
D A
B
C
Trang 6 2 2
2
2 2 2
2
4
AD
AD
Từ (1) và (2) ta có:
2
1 1
b a b a
Vậy bài toán dược chứng minh
Câu 6
Do a b, 0và 1b2 2bvới mọi b nên:
b b b
Tương tự ta có: 2 ; 2
Cũng từ 2
a b c a b c
2 2 2
Mà a2 b2 2ab b; 2 c2 2 ;bc c2 a2 2acnên a2 b2 c2 ab bc ca
Suy ra 3ab bc ca 9 ab bc ca3 2
Từ 1 , 2 suy ra 2 2 2 3 3 3
dfcm
Đẳng thức xảy ra a b c 1