094 đề HSG toán 8 hoằng hóa 2013 2014

4,5điểm Cho tam giác ABC.. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H.. Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC BH BECH CFBC c 2.. Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng n

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014

Thời gian : 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 2 2 . 1 1 : 1

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P có giá trị nguyên

c) Tìm x để P 1

Câu 2 (4,5 điểm)

a) Giải phương trình : 3 2

x  x  x 

b) Giải bất phương trình sau: 1 1 2 3 1

x      

c) Cho biết 2 2

1 3

x

  Hãy tìm giá trị của biểu thức

2

4 2

1

x Q

x x



Câu 3 (5,0 điểm)

a) Tìm x y, thỏa mãn đẳng thức 2 2

5x  5y  8xy 2y 2x  2 0

b) Cho a, b, c  thỏa mãn a b c   0.Chứng minh:  5 5 5

30

a b c

c) Chứng minh rằng a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1

             

       , trong đó a, b, c

là các số thực không nhỏ hơn 1

Câu 4 (4,5điểm) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H

Chứng minh rằng:

a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

BH BECH CFBC

c)

2

.

4

BC

AD HD

d) Gọi I, K, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD,

CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên một đường thẳng

Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Trên tia đối của các tia BA, CA lấy theo thứ

tự các điểm D, E sao cho BDCEBC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O

vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở

K Chứng minh AB = CK

….hết…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 HOẰNG HÓA Câu 1

a) ĐKXĐ: x 0;x  1



Vậy 2

1

x P

x





1

x



Từ đó suy ra x2;0;3; 1  , kết hợp với điều kiện được x 2;3

P



Mà x   1 x 1nên x  1 0và xx    1 0 x 1và x  1

Kết hợp với ĐKXĐ được    1 x 1 và x 0

Câu 2

3

5

x

x







 



Vậy S   2;3;5

b)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : / 7

4

S x x 

1 3

x

x

2

x x x

  

2

             

Lại có :

2

4 2

2

4

x x

       

Suy ra

2

4 2

4

1 21

x Q

x x

Câu 3

) 5 5 8 2 2 2 0

25 25 40 10 10 10 0

Do  2

5x 4y 1  0và  2

9 y 1  0với mọi x y,

Nên  2  2

5x 4y 1  9 y 1  0

Suy ra x 1;y  1

b) Ta có:

Do a 2a 1  a a 1  a 2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho

2, 3 và 5, do đó chia hết cho 30

Lại có a 1  a a 1chia hết cho 6 nên 5a 1 a a 1chia hết cho 30

Từ đó suy ra a5achia hết cho 30

Tương tự b5bchia hết cho 30 và 5

c cchia hết cho 30

Từ đó suy ra  5 5 5    5   5   5 

a  b c  a b c   a a  b  b c c chia hết cho 30

Mà a b c  0nên 5 5 5

a b c chia hết cho 30

2 2 2 2 2 2

)

ab bc ca

a b c abc a b c ab bc ca a b c a b c a b b c c a

a b b c c a abc a

             

b c a b c ab bc ca

ab bc bc ca ca ab a b b c c a

 2  2   2  2   2  2 

Câu 4

a) Ta có: AEB AFC g g( ) AE AF  AC AB

Từ đó suy ra AEF ABC c g c( )

( ) CD CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH BE. CH CF. BC BD. BC CD. BC2

.

DC DB BC

2

.

4

BC

AD HD

H F

D

E A

d)

Từ giả thiết suy ra EI / /CF EK, / /BC EQ, / /AB ER, / /AD

Áp dụng định lý Ta let ta có:

IK DF

IR DF

Từ (3) (4) và (5) suy ra bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng

R Q

K

I

H F

D

E A

Câu 5

Vẽ hình bình hành ABMCABCM(1)

Ta có : 1 1

B  C  CBM nên BO là tia phân giác của CBM

Tương tự CO là tia phân giác của BCM

Do đó MO là tia phân giác của BMC

1

1

1

M

O

E D

A

B

C

Ta có : 1 1

M  BMC BACK nên tam giác KMC cân tại C

(2)

Từ (1) và (2) suy ra CK AB